(共44张PPT)
第二节 同角三角函数的基本关系、诱导公式
【课程标准】
1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x;
2.能利用单位圆中的对称性推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
知识梳理·思维激活
【必备知识】精归纳
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:_________________.
(2)商数关系:=tan α (α≠+kπ,k∈Z) .
sin2α+cos2α=1
2.三角函数的诱导公式
点睛诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.
公式 一 二 三
角 2kπ+α(k∈Z) π+α -α
正弦 sin α __________ ___________
余弦 cos α ___________ __________
正切 tan α __________ ___________
公式 四 五 六
角 π-α
正弦 __________ __________ __________
余弦 __________ __________ __________
正切 ___________
-sin α
-sin α
-cos α
cos α
tan α
-tan α
sin α
cos α
cos α
-cos α
sin α
-sin α
-tan α
【基础小题】固根基
教材改编 易错易混
1,2 3,4,5
D
C
CD
A
5.(忽视三角函数值符号)若化简后的结果为,则角α的取值范围为 .
【题型一】同角三角函数的基本关系
角度1 简单的求值问题
[典例1]已知sin α=-,则13cos α+12tan α= .
核心题型·分类突破
【方法提炼】
简单求值问题的两种思路
(1)利用sin2α+cos2α=1实现角α的正弦、余弦的互化.
(2)利用=tan α实现角α的弦切互化.
角度2 弦化切的求值问题
[典例2]已知3sin2α-4sin αcos α+1=0.
(1)求tan α的值;
(2)求的值.
【一题多变】
[变式1]本例题中的条件不变,求2+sin4α-cos4α的值.
[变式2]本例题中的条件不变,求的值.
[变式3]本例题条件不变,求+的值.
【方法提炼】——自主完善,老师指导
两种齐次式的转化方法
(1)形如
或的分式,分子、分母同时除以cos α或cos2α,将正、余弦转化为______,从而求值.
(2)形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子,将其看成分母为1的分式,再将分母1变形为______________,转化为形如的式子求值.
正切
sin2α+cos2α
角度3 形如sin α±cos α的求值问题
[典例3](1)(多选题)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则 ( )
A.θ∈( ,π) B.cos θ=-
C.tan θ=- D.sin θ-cos θ=
ABD
(2)已知sin α-cos α=-,则tan α+的值为 ( )
A.-4 B.4 C.-8 D.8
C
(3)已知α∈[0,2π),cos α+3sin α=,则tan α= ( )
A.-3 B.3或
C.3 D.
C
(4)已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=,则sin θcos θ的值为 ( )
A. B.- C. D.-
A
【方法提炼】
已知sin θ±cos θ求值的问题涉及的三角恒等式
(1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ;
(2)(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ;
(3)(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2;
(4)(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ.
提醒已知sin θ+cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ中的任何一个,则另两个式子的值均可求出.
【对点训练】
1.(2023·贵阳模拟)已知sin α-cos α=,则的值为 ( )
A.- B. C.- D.
A
2.已知cos α=,α是第一象限角,且角α,β的终边关于y轴对称,则tan β= ( )
A. B.- C. D.-
D
3.已知=-5,那么tan α的值为 ( )
A.-2 B.2 C. D.-
D
4.(2023·武汉模拟)若sin θ=cos3θ,则tan3θ+tan θ= ( )
A.- B. C.1 D.2
C
【加练备选】
1.已知tan θ=,则= ( )
A. B.2 C. D.6
A
2.(2021·新高考I卷)若tan θ=-2,则= ( )
A.- B.- C. D.
.
C
【题型二】诱导公式及应用
[典例4](1)若sin(π+α)=,则sin(π-α)+cos(-α)= ( )
A.- B. C. D.-
A
(2)+化简的结果是 ( )
A.-1 B.1 C.0 D.
B
(3)(多选题)在△ABC中,下列等式一定成立的是 ( )
A.sin =-cos
B.sin(2A+2B)=-cos 2C
C.tan(A+B)=-tan C
D.sin(A+B)=sin C
CD
AC
【方法提炼】——自主完善,老师指导
1.诱导公式用法的一般思路
(1)化负为____,化大为____,化到______为终了.
(2)角中含有加减的整数倍时,用诱导公式去掉的整数倍.
2.常见的互余和互补的角
(1)常见的互余的角:-α与;+α与;+α与等.
(2)常见的互补的角:+θ与;+θ与等.
3.求解与三角形内角有关的三角函数问题,要充分利用三角形内角和为π的性质进行转化.
提醒利用诱导公式求解含有2π整数倍的函数关系式时,可以直接将2π整数倍去掉后求解.
正
小
锐角
【对点训练】
C
2.已知tan(π-α)=-,且α∈(-π,-,则的值为 ( )
A.- B.- C. D.
A
3.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-3,4),∠BOx=,记∠AOB=θ,则cos(θ-)=( )
A.- B. C.- D.
D
AD
【题型三】诱导公式与同角三角函数基本关系的综合应用
[典例5](1)(2022·西安模拟)已知<α<2π,则+= ( )
A.- B.
C.- D.
C
(2)化简:= .
(3)已知f(β)=.
①若角β是第三象限角,且sin(β-π)=,求f(β)的值;
②若β=2 220°,求f(β)的值.
【方法提炼】
利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简的方法
(1)对于含有根号的,常把被开方数(式)化成完全平方数(式),然后去根号达到化简的目的;
(2)化切为弦,即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的;
(3)化简含高次的三角函数式,常借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
提醒涉及开方运算时要注意角的范围对三角函数符号的影响.
【对点训练】
1.若α≠kπ,定义cot α=.且-=-1,试判断α所在的象限.
2.已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若α是第四象限角,且sin(α-π)=,求f(α)的值.
A
【思维导图·构网络】(共43张PPT)
第三节 三角恒等变换
第1课时 两角和与差的三角函数
【课程标准】
1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.
知识梳理·思维激活
【必备知识】精归纳
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α-β):cos(α-β)=___________________;
(2)公式C(α+β):cos(α+β)=___________________;
(3)公式S(α-β):sin(α-β)=___________________;
(4)公式S(α+β):sin(α+β)=___________________;
(5)公式T(α-β):tan(α-β)=;
(6)公式T(α+β):tan(α+β)=.
点睛(1)当α,β,α+β中至少有一个为2kπ(k∈Z)时,公式sin(α+β)=sin α+sin β成立;
(2)当α,β,α+β中至少有一个为kπ(k∈Z)时,公式tan(α+β)=tan α+tan β成立.
(3)tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一,且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题.
cos αcos β+sin αsin β
cos αcos β-sin αsin β
sin αcos β-cos αsin β
sin αcos β+cos αsin β
【基础小题】固根基
1.(教材变式)cos 40°sin 70°-sin 40°sin 160°= ( )
A.- B. C.- D.
教材改编 易错易混
1,2 3,4,5
B
2.(教材变式)已知cos α=-,α∈(,π),则tan (α-)的值为 ( )
A.7 B.-7 C. D.-
A
3.(混淆公式)已知sin (-α) =cos (+α),则tan α= ( )
A.-1 B.0 C. D.1
A
4.(辅助角变形)若sin x-cos x=4-m,则实数m的取值范围是 ( )
A.[2,6] B.[-6,6] C.(2,6) D.[2,4]
A
5.(记错公式符号导致错误)tan 20°+tan 40°+
tan 20°tan 40°的值为 .
【题型一】两角和与差的三角函数公式的应用
角度1 给值求值
核心题型·分类突破
A
【一题多变】
【方法提炼】
三角函数给值求值问题的解题思路
(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=-,α=+,=(α+-(+β)等.
(2)当“已知角”有一个时,此时寻找“所求角”与“已知角及特殊角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
角度2 给值求角问题
[典例2]已知角α,β均为锐角,且cos α=,sin β=,则α-β的值为 ( )
A. B.
C.- D.或-
C
【方法提炼】——自主完善,老师指导
给值求角的方法
依条件求出所求角的范围,选择一个在角的范围内__________的三角函数求值.
严格单调
角度3 给角求值
[典例3]tan 20°+4sin 20°= ( )
A. B.1 C. D.2
C
【方法提炼】
给角求值的方法
寻找所给角与特殊角的和差或倍数关系,通过三角函数公式的正用、逆用及变形用消去非特殊角.
【对点训练】
2.(2022·湛江模拟)若tan(α-β)=,tan β=2,则tan α= .
3.化简计算:= .
A
B
A
4.求值:= .
【题型二】两角和与差的三角函数公式的逆用、变形用及综合应用
角度1 辅助角公式
[典例4](2023·河北名校联考)已知函数f(x)=
sin x+cos x,当x=β时,f(x)取得最大值,则cos β= ( )
A. B. C. D.
A
【方法提炼】
辅助角公式
asin x+bcos x=sin(x+φ),其中φ的值由sin φ=,cos φ=及a,b符号确定.
角度2 两角和与差的正切公式的逆用
[典例5](1)若锐角α,β满足
(1+tan α)(1+tan β)=4,则α+β= .
(2)化简:tan 10°+tan 20°+tan 30°+tan 10°·
tan 20°tan 30°= .
【方法提炼】
涉及两角的正切的积与和差的混合运算问题,常考虑两角和与差的正切公式的变形.
【对点训练】
1.已知sin 2x-cos 2x=2cos(2x-θ)(-π<θ<π),则θ= .
2.在△ABC中,已知tan A+tan B+tan Atan B=,则C= .
【加练备选】
1.(1+tan 1°)(1+tan 2°)(1+tan 3°)·…·(1+tan 44°)= ( )
A.222 B.223 C.211 D.212
【解析】因为tan 1°+tan 44°
=1-tan 1°tan 44°,
所以(1+tan 1°)(1+tan 44°)
=1+tan 1°+tan 44°+tan 1°tan 44°
=1+1-tan 1°tan 44°+tan 1°tan 44°=2.
所以(1+tan 1°)·(1+tan 2°)·(1+tan 3°)·…·(1+tan 44°)=222.
A
2.(2023·西安模拟)已知sin α+ =sin β,sin α+cos(α=),sin β+cos β=,则cos(α-β)= .
【题型三】两角和与差的三角函数公式在三角形中的应用
[典例6](1)在△ABC中,已知tan A=,试判断△ABC的形状.
(2)在△ABC中,已知sin A=,cos B=,求cos C的值.
【方法提炼】
三角形中的三角函数问题,要应用A+B+C=π减少角的种类.
(1)常用结论有:A+B+C=180°,sin(A+B)=sin C,cos (A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tan C.
(2)sin A>sin B A>B等.
【对点训练】
1.在△ABC中,若sin B=,tan A+tan B+1=tan Atan B,试判断△ABC的形状.
2.在△ABC中,已知sin A=,cos B=,求sin C的值.
【备选题型】利用基本不等式求角的三角函数的最值
[典例]已知α,β∈(0,),sin(2α+β)=2sin β,则tan β的最大值为 .
【方法提炼】
求三角函数最值的方法
求角的三角函数的最值时,有时将待求角的三角函数用一个变量(该变量一般为另一个角的三角函数值)表示后,借助基本不等式或函数性质求解.
【对点训练】
1.在△ABC中,若7cos(A-B)=9cos C,则tan C的最小值为 .
2.锐角三角形ABC中,sin A=3cos Bcos C,则tan Atan Btan C的最小值是 .
【思维导图·构网络】(共36张PPT)
第2课时 简单的三角恒等变换
【课程标准】
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式,并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).
知识梳理·思维激活
【必备知识】精归纳
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α:sin 2α=___________.
(2)公式C2α:cos 2α=___________=_________=________.
(3)公式T2α:tan2α=.
2.常用的部分三角公式
(1)1-cos α=2sin2,1+cos α=2cos2.(升幂公式)
(2)1±sin α=(sin±cos)2.(升幂公式)
(3)sin2α=,cos2α=,tan2α=.(降幂公式)
2sin αcos α
cos2α-sin2α
2cos2α-1
1-2sin2α
3.半角公式
sin =±,
cos =±,
tan =±==.
【常用结论】
万能公式
sin α=, cos α=, tan α=.
【基础小题】固根基
1.(教材变式)cos2-cos2 = ( )
A. B. C. D.
D
教材改编 结论应用 易错易混
1,2 3 4
2.(教材提升)已知sin θ=,<θ<3π,那么cos 的值为 ( )
A. B.- C.± D.
B
3.(结论应用)已知α,β为锐角,tan α=2,则cos 2α等于 ( )
A.- B. C. D.-
A
4.(忽视隐含条件)已知2sin α=1+cos α,则tan = ( )
A.2 B.
C.2或不存在 D.或不存在
D
核心题型·分类突破
【题型一】三角函数式的化简
[典例1]化简:(1)(-π<α<0);
(2).
【方法提炼】
三角函数式化简的方法
(1)从幂、名称及角的差异三个方面对所给的三角函数式进行适当的变形,结合所给的“形”的特征求解.
(2)常用技巧:弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂或升幂等.
核心题型·分类突破
【对点训练】
1.化简2cos2α-(tan α+)×sin 2α= .
2.若<α<2π,化简.
【加练备选】
(2023·焦作模拟)已知函数f(x)=3sin x+4cos x,若f(x)≤f(θ)对任意实数x都成立,则= .
【题型二】二倍角公式在求值中的应用
角度1 给值求值
[典例2](2023·青岛模拟)已知sin(α+=,则sin 2α=( )
A.- B. C.± D.-
A
【一题多变】
【方法提炼】
利用二倍角公式求解“给值求值”问题的关键
(1)“变角”,使相关角相同或具有某种关系,结合相应的公式求解,一般地已知条件中含α±的三角函数值;
(2)求2α的三角函数值时,要注意±α型诱导公式的应用.
角度2 给角求值
[典例3]= .
【方法提炼】
给角求值的方法
明确所给角与特殊角的关系,正用、逆用倍角公式及和差公式消去非特殊角.
提醒切弦共存时,需将切化弦.
B
【对点训练】
2.化简+tan 12°= ( )
A.1 B. C. D.2
C
3.计算= .
【加练备选】
-+64sin2 20°= .
【解析】因为-=
==
====32cos 40°,
所以-+64sin 220°
=32cos 40°+64×(1-cos 40°)=32.
【题型三】三角恒等变换的应用
【方法提炼】
三角恒等变换的应用
形如af2(x)+bsin xcos x+k(ab≠0)(其中f(x)表示正弦或余弦)型的化简问题,主要是逆用二倍角的正、余弦公式及辅助角公式,将所给函数化为只含一个角的一种三角函数形式.
【对点训练】
【题型四】二倍角公式在三角形中的应用
[典例5]锐角△ABC中,若sin A=,求tan2+sin2的值.
【方法提炼】
二倍角公式与三角形综合问题的方法
借助二倍角公式进行降幂、升幂等的三角恒等变形.
提醒注意三角形内角和为π的隐含条件.
【对点训练】
在锐角△ABC中,若B=2A,则的取值范围为 .
【解析】因为B=2A,所以==2cos A.
因为A,B为锐角,所以0
所以0又C为锐角,所以由C=π-B-A=π-3A,
结合0<π-3A<,
知-<3A-π<0,即<3A<π.
因此综上可知【备选题型】三角变换在实际生活中的应用
[典例]某城市一扇形空地的平面图如图所示,为了方便市民休闲健身,政府计划在该扇形空地建设公园.经过测量,扇形空地的半径为600 m,∠AOB=120°.在其中圈出一块矩形场地CDEF设计成林荫跑步区,且OC=OD.
(1)求扇形空地的面积;
(2)求矩形场地CDEF的最大面积.
【方法提炼】
利用三角函数求解实际问题的方法
首先根据题意把实际问题抽象为以角为变量的函数问题,然后利用三角恒等变换及三角函数性质求解.
【对点训练】
如图,已知扇形AOB的半径为1,中心角为60°,四边形PQRS是扇形的内接矩形,P为上一动点(不包括端点),问:点P在怎样的位置时,矩形PQRS的面积最大 并求出这个最大值.
【思维导图·构网络】(共59张PPT)
第四节 三角函数的
图象与性质
【课程标准】
1.能画出三角函数的图象.
2.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.
3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上,正切函数在(,)性质.
知识梳理·思维激活
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y=sin x y=cos x y=tan x
图象
定义域 R R
值域 ______ ______ R
周期性 2π ___ __
奇偶性 _______ _______ 奇函数
[-1,1]
[-1,1]
2π
π
奇函数
偶函数
函数 y=sin x y=cos x y=tan x
递增区间 ____________
递减区间 ____________ 无
对称中心 ______
对称轴方程 _____ 无
[-π+2kπ,2kπ]
[2kπ,π+2kπ]
(kπ,0)
x=kπ
点睛(1)正、余弦函数的单调性只能说函数在某个区间上具有单调性,而不能说函数在第几象限上具有单调性;
(2)y=tan x无单调递减区间且y=tan x在整个定义域内不单调;
(3)求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时要注意A和ω的符号,避免出现增减区间的混淆;
(4)注意正切函数本身的定义域.
基础小题 固根基
教材改编 结论应用 易错易混
1,2 4,6 3,5
1.(教材变式)函数y=tan(-x)的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
D
2.(教材提升)已知函数f(x)=sin xcos x,则 ( )
A.f(x)的最小正周期是2π,最大值是1
B.f(x)的最小正周期是π,最大值是
C.f(x)的最小正周期是2π,最大值是
D.f(x)的最小正周期是π,最大值是1
B
3.(忽视系数的符号致误)下列区间中,函数f(x)=7sin(-x)的单调递减区间是( )
A.(0,) B.,π) C.(π,) D.,2π)
A
4.(结论1)若x1=,x2=是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=( )
A.2 B. C.1 D.
A
5.(忽视系数的符号致误)已知函数f(x)=cos(ωx+)的周期为π,则ω= .
6.(结论2)设函数f(x)=sin(2x+φ+|φ|<)满足f(-x)=f(x),则f(φ)= .
±2
0
题型一 三角函数的定义域与值域
角度1 三角函数的定义域
[典例1](1)函数f(x)=的定义域为 ( )
A.+2kπ,+2kπ](k∈Z) B.+2kπ,+2kπ](k∈Z)
C.-+2kπ,+2kπ](k∈Z) D.-+2kπ,+2kπ](k∈Z)
核心题型·分类突破
A
(2)函数y=的定义域为_______________________________.
(3)求函数y=的定义域.
【一题多变】
函数y=的定义域是 ( )
A.,k∈Z B.,k∈Z
C.,k∈Z D.,k∈Z
D
【方法提炼】
三角函数有关定义域的求法
根据函数解析式特征列出与三角函数有关的不等式,借助三角函数性质及图象求解.
提醒涉及与正切函数有关的定义域,要注意正切函数本身的定义域.
角度2 三角函数的值域
[典例2]求下列函数的值域.
(1)f(x)=sin,x∈;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=-2cos2x+2sin x+3,x∈;
(4)f(x)=sin x+cos x+2sin xcos x+2.
【解析】(1)令t=2x-,则由x∈可知
-≤-2x≤-,此时t∈,
即f(x)=-sin t在区间上单调递减,在区间上单调递增,
因此函数f(x)=-sin t在t=时取最小值f(x)min=×=-,
此时x=;在t=,即x=时取最大值
f(x)max=×=1,
因此函数的值域为.
(2)因为y=f(x)=,所以3y+ycos x=1+sin x,即sin x-ycos x=3y-1.
所以sin(x+θ)=3y-1,
所以sin(x+θ)=,
又-1≤sin(x+θ)≤1,
所以-1≤≤1,解得0≤y≤.
即函数f(x)=的值域是[0,.
(3)f(x)=-2cos2x+2sin x+3=-2(1-sin2x)+2sin x+3
=2sin2x+2sin x+1=2+.
因为x∈,所以≤sin x≤1.
当sin x=1时,f(x)max=5;
当sin x=时,f(x)min=.
所以函数的值域为;
(4)设sin x+cos x=sin=t,t∈,
则2sin xcos x=t2-1,则由函数
f(x)=sin x+cos x+2sin xcos x+2,可知
y=t2+t+1=+,t∈,
当t=-时,ymin=;当t=时,ymax=3+.
因此函数的值域为.
【一题多变】
本例(2)变为:求y=的值域.
【方法提炼】
三角函数有关值域的求法
【对点训练】
1.函数y=tan(-x)(x∈[-,且x≠0)的值域为 ( )
A.[-1,1] B.(-∞,-1]∪[1,+∞)
C.(-∞,1] D.[-1,+∞)
B
2.若函数f(x)=4sin x-2cos 2x+m在R上的最大值是3,则实数m= ( )
A.-6 B.-5 C.-3 D.-2
【解析】 因为f(x)=4sin x-2(1-2sin2x)+m
=4sin2x+4sin x+m-2=(2sin x+1)2+m-3,
当sin x=1时函数取到最大值,即(2+1)2+m-3=3,解得m=-3.
C
3.函数y=+的定义域为 .
4.当x∈(-π,π)时,函数f(x)=的定义域是 .
【加练备选】
1.函数f(x)=cos x·sin(x-(x∈[0,)的最大值是 ( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
C
2.求下列函数的值域:
(1)y=(2cos2x+1)(2sin2x+1);
(2)y=.
题型二 三角函数的单调性
[典例3](1)函数y=cos-3x)的单调递减区间是 ( )
A.[+,+(k∈Z) B.[-+,+(k∈Z)
C.[+2kπ,+2kπ(k∈Z) D.[-+2kπ,+2kπ(k∈Z)
A
(2)已知ω>0,函数f (x)=sin(ωx+)在(,π)上单调递减,则ω的取值范围是 ( )
A.(0,2] B.(0, C.[, D.[,
D
【一题多变】
[变式1]将本例(1)中的函数变为y=,求函数的单调区间.
[变式2]将本例(1)变为:求函数y=cos(3x-的单调递增区间.
【方法提炼】
1.形如y=Asin(ωx+φ)(ω≠0)的单调区间求法
将ωx+φ看作一个整体,结合y=sin x的性质求解,若ω<0时,先利用诱导公式将x的系数化为正数.
2.已知单调区间求参数范围的两种方法
(1)求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集,列不等式(组)求解.
(2)由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解.
【对点训练】
1.下列区间中函数f(x)=-2sin单调递增的是 ( )
A. B. C. D.
B
2.若f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间[-,]上是增函数,则ω的取值范围是 .
【加练备选】
1.若函数f(x)=7sin(x+)在区间[,a]上单调,则实数a的最大值为 .
2.(2023·柳州模拟)若直线x=是曲线y=sin(ω>0)的一条对称轴,且函数y=sin(ωx-)在区间[0,]上不单调,则ω的最小值为 ( )
A.9 B.7 C.11 D.3
C
题型三 三角函数的周期性、对称性、奇偶性
角度1 三角函数的周期性、奇偶性
[典例4](1)下列函数中,以2π为最小正周期的函数有 ( )
A.y=tan B.y=sin
C.y=|sin 2x| D.y=cos4x-sin4x
A
(2)已知函数f(x)=2sin2ωx+2sin ωxcos ωx-1(ω>0)图象的相邻两条对称轴间的距离为,若函数g(x)=f(x+φ)是偶函数,求φ的值.
【一题多变】
本例(2)中若函数g(x)=f(x+φ)是奇函数,则φ的值为 .
角度2 利用函数图象特征研究三角函数的对称性
[典例5](1)(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T.若A.1 B. C. D.3
A
(2)(2022·内江模拟)若函数f(x)=asin 2x+cos 2x的图象关于直线x=对称,则f()=( )
A. B.0 C.- D.-2
B
【一题多变】
[变式]将本例(1)中的函数变为g(x)=cos(ωx+)+b(ω>0),【方法提炼】
求三角函数对称轴方程(对称中心坐标)的方法
角度3 利用定义研究三角函数的性质
[典例6]关于函数f(x)=cos x+,有如下四个命题:
①f(x)的图象关于y轴对称;
②f(x)的图象关于原点对称;
③f(x)的图象关于直线x=对称;
④f(x)的图象关于点,0)对称.
其中所有真命题的序号是 .
①④
【解析】对于①,由于函数f(-x)=f(x),故函数为偶函数,因此f(x)的图象关于y轴对称,故①正确;②错误;
对于③,函数f(π-x)=cos(π-x)+=-cos x-≠f(x),
故函数f(x)的图象不关于x=对称,故③错误;
对于④,f(π-x)=cos(π-x)+=-cos x-=-f(x),
故函数f(x)图象关于点,0)对称,故④正确.
【方法提炼】
定义法研究三角函数性质
不能化为形如f(x)=Asin(ωx+φ)或f (x)=Acos(ωx+φ)(ω≠0)的函数的性质问题,可借助定义求解,方法是:
(1)若非零常数T,满足f(x+T)=f(x),则函数的周期为T;
(2)若函数满足f(x)=f(2a-x),则函数图象关于直线x=a对称;
(3)若函数满足f(x)+f(2a-x)=2b,则函数图象关于点(a,b)对称;
(4)利用f(x)=-f(-x),f(x)=f(-x)判断奇偶性.
【对点训练】
1.下列函数中最小正周期为的函数是 ( )
A.y=-cos|2x| B.y=|cos x|
C.y=cos(2x+) D.y=tan(2x-)
D
2.(2023·济南模拟)已知函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期为π,则f(x)的图象关于 ( )
A.x=对称 B.x=对称 C.对称 D.对称
B
3.(多选题)已知函数f(x)=+cos x,下列结论正确的是 ( )
A.f(x)为偶函数
B.f(x)的一个周期为π
C.f(x)在上单调递减
D.f(x)的图象不关于直线x=对称
AD
【解析】 因为f(x)=+cos x的定义域为R,
且f=+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x),所以函数f(x)=+cos x是偶函数,选项A正确;
由于f(x+π)=+cos(x+π)=-cos x≠f(x),
因此函数的周期不是π,选项B错误;
当0≤x≤π时,f(x)=sin x+cos x=sin(x+),
且≤x+≤,令≤x+≤,得0≤x≤,令≤x+≤,得≤x≤π,
即f(x)在[0,]上单调递增,在[,π]上单调递减,即选项C错误;
f=+cos=,
f=+cos=0≠f,即f(x)的图象不关于直线x=对称,即选项D正确.
【加练备选】
1.(2019·全国Ⅱ卷)下列函数中,以为周期且在区间(,)上单调递增的是( )
A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x|
C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|
A
2.(2021·北京高考)函数f(x)=cos x-cos 2x,试判断函数的奇偶性及最大值( )
A.奇函数,最大值为2
B.偶函数,最大值为2
C.奇函数,最大值为
D.偶函数,最大值为
D
4.已知f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)是定义域为R的奇函数,且当x=3时,f(x)取得最小值-3,当ω取得最小正数时,f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)的值为 ( )
A. B.-6-3 C.1 D.-1
B
【思维导图·构网络】(共57张PPT)
第五节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
【课程标准】
1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义;能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
知识梳理·思维激活
【必备知识 精归纳】
1.简谐运动的有关概念
y=Asin(ωx+φ) (A>0, ω>0) 振幅 周期 频率 相位 初相
A ωx +φ φ
2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期内的简图时,要找五个特征点
ωx+φ 0 π 2π
x
y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0
3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径
三角函数y=Asin(ωx＋φ)的图像
【基础小题 固根基】
1.(教材变式)函数y=5sin(2x-)的振幅、频率和初相分别为 ( )
A.5,, B.5,, C.5,,- D.5,,-
教材改编 易错易混
1,2,3,6 4,5
C
2.(教材提升)用五点法画y=sin x,x∈[0,2π]的图象时,下列哪个点不是关键点 ( )
A. (,) B. (,1) C.(π,0) D.(2π,0)
A
3.(教材变式)函数y=sin(2x-)在区间[-,π]的简图是 ( )
B
4.(混淆ω值的影响)函数y=cos x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的3倍,得到的图象解析式为y=cos ωx,则ω的值为 ( )
A.3 B. C.9 D.
B
5.(忽视x系数)为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数y=2sin图象上所有的点 ( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
D
6.(教材提升)如图,弹簧挂着的小球上下振动,它在t秒时相对于平衡位置(即静止时的位置)的高度h厘米满足下列关系:h=2sin(t+),t∈[0,+∞),则每秒钟小球能振动 次.
题型一函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
[典例1](1)把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标保持不变,再将所得图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为 ( )
A.y=sin B. y=sin
C.y=sin D. y=sin
核心题型·分类突破
D
【解析】将函数y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标保持不变得y=sin,
再向左平移个单位长度得y=sin,
即y=sin.
(2)要得到函数y=cos(2x-)的图象,可以把函数y=sin 2x的图象 ( )
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
C
(3)(2021·全国乙卷)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不
变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin(x-)的图象,则f(x)等于
( )
A.sin(-) B.sin(+) C.sin(2x-) D.sin(2x+)
B
【一题多变】
[变式]本例(2)变为:要得到函数y=cos(2x-)的图象,可以把函数y=sin(2x+)的图象
( )
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
D
【解析】方法一:函数y=cos(2x-)=sin(2x-+)=sin(2x++)=sin[2(x+)+],
所以只需将y=sin(2x+)的图象向左平移个单位长度就可以得到y=cos(2x-)的图象.
方法二:函数y=sin(2x+)=cos[-(2x+) ]=cos(-2x)=cos(2x-),
由于cos(2x-)=cos[2(x+)-],
所以只需将y=sin(2x+)的图象向左平移个单位长度就可以得到y=cos(2x-)的图象.
【方法提炼】
函数图象的平移变换解题策略
(1)解题时首先分清原函数与变换后的函数;
(2)异名三角函数图象变换要利用诱导公式sin α=cos,cos α=sin将不同名函数转换成同名函数;
(3)无论是先平移再伸缩,还是先伸缩再平移,只要平移|φ|个单位,都是自变量x变为x±|φ|,而不是ωx变为ωx±|φ|.
【对点训练】
1.为了得到函数f(x)=cos的图象,只需将函数g(x)=cos x的图象 ( )
A.所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再将所得图象向左平移个单位长度
B.所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再将所得图象向左平移个单位长度
C.向左平移个单位长度,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
D.向左平移个单位长度,再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
D
【解析】将函数g(x)=cos x的图象所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再将所得图象向左平移个单位长度,得到函数f(x)=cos的图象,故A,B错误;
将函数g(x)=cos x的图象向左平移个单位长度,再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,可以得到函数f(x)=cos(2x+)的图象,故C错误,D正确.
2.(多选题)要得到y=sin x的图象,可以将函数y=sin的图象上所有的点
( )
A.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
B.向左平移个单位长度,再把所得各点横坐标扩大到原来的2倍
C.横坐标缩短到原来的,再把所得各点向右平移个单位长度
D.横坐标扩大到原来的2倍,再把所得各点向左平移个单位长度
BD
【解析】 要想得到y=sin x的图象,
y=sin图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍,故排除A,C;
y=sin图象上所有点先向左平移个单位长度,得到y=sin=sin 2x,再把所得各点横坐标扩大到原来的2倍,得到y=sin x, B正确;y=sin的图象上所有点横坐标扩大到原来的2倍,变为y=sin,
再把所得各点向左平移个单位长度,得到y=sin x,D正确.
3.为了得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin的图象 ( )
A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
A
题型二已知函数图象求解析式
[典例2](1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期的图象如图所示,则该函数可以是 ( )
A.y=4sin(x+)
B.y=4sin(x+)
C.y=4sin(2x+)
D.y=4sin(2x+)
B
【解析】由题图知A=4,函数的周期T==-(-)=4π,得ω=,
此时y=4sin(x+φ).
方法一(五点法):由五点对应可知(,0)是第一个零点,
因此×+φ=0,得φ=-,则y=4sin(x-)=4sin(x-+2π)=4sin(x+).
方法二(最值法):由题中图象可知函数在x==处取得最大值,
因此×+φ=2kπ+(k∈Z),
因此φ=2kπ-(k∈Z),当k=1时可知φ=π,所以y=4sin(x+).
(2)函数f(x)=Asin+b (A>0,ω>0,<)的一部分图象如图所示,则 ( )
A.f(x)=3sin+1
B.f(x)=2sin+2
C.f(x)=2sin+2
D.f(x)=2sin+2
D
【解析】根据题中图象知,所以A=2,b=2,T=4=π,所以ω==2,
又函数图象经过最高点,
代入函数f(x)=2sin+2得
sin=1,因为<,所以φ=,
所以f(x)=2sin+2.
【方法提炼】 ——自主完善,老师指导
确定y=Asin(ωx+φ)+b(0A>0,ω>0)的步骤和方法
(1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m,则A=,b=;
(2)求ω:确定函数的周期T,则可得ω=;
(3)求φ:常用的方法有:
①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b已知)或代入图象与直线y=b的交点
求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
②五点法:确定φ值时,往往以寻找“________”中的某一个点为突破口.
【对点训练】
1.(2021·全国甲卷)已知函数f(x)=2cos (ωx+φ)的部分图象如图所示,则f()
= .
2.若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图,则ω= .
答案:4
题型三三角函数图象变换与性质的综合应用
角度1 三角函数图象变换与性质的综合
[典例3]已知函数f(x)=sin(ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示,则下列结论正确
的是 ( )
A.f(x)的图象关于点对称
B.f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y=sin 2x的图象
C.f(x)在区间上的最小值为-
D.f为偶函数
D
【解析】因为f(x)的图象过点,
所以sin φ=,因为0<φ<,所以φ=.
因为f(x)的图象过点,所以由五点作图法可知ω·+=,得ω=1,
所以f(x)=sin.
因为f(-)=sin(-+)=sin(-)=-1,所以x=-为f(x)图象的一条对称轴,所以A错误;
f(x)的图象向右平移个单位长度后,得y=sin=sin,所以B错误;
当x∈时,2x-∈,所以-≤sin≤1,所以f(x)在区间上的最小值为-,所以C错误;
f=sin
=sin=cos 2x,
令g(x)=f=cos 2x,
因为g(-x)=cos(-2x)=cos 2x=g(x),
所以g(x)=f=cos 2x为偶函数,所以D正确.
【方法提炼】
解决三角函数图象与性质综合问题的步骤
(1)将f(x)化为asin x+bcos x的形式;
(2)构造f(x)=··sin x+··cos x;
(3)和角公式逆用,得f(x)=sin(x+φ)(其中φ为辅助角);
(4)利用f(x)=sin(x+φ)研究三角函数的性质.
角度2 三角函数模型及其应用
[典例4]如图所示摩天轮的半径为20米,圆心O距地面的高度为25米,摩天轮运行时按逆时针匀速旋转,转一周需要10分钟.摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度能够将摩天轮公园所在市区美景尽收眼底,则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度(单位:分钟)为 ( )
A. B.3 C. D.
C
【解析】设f(t)=Asin(ωt+φ)+h,
依题意,A=20,h=25,T=10,所以ω==,又f(0)=5,所以φ=-.
所以f(t)=20sin(t-)+25=25-20cost(t>0).
依题意25-20cost≥35,所以cos t≤-,又0≤t≤10.
解得≤t≤,则摩天轮转动一周内,有-=分钟会有这种最佳视觉效果.
【方法提炼】
三角函数模型在实际应用问题中的求解策略
(1)解题关键:准确理解自变量的意义及自变量与因变量之间的对应法则,建立三角函数关系式;
(2)建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题,尤其是利用已知数据建立拟合函数解决实际问题;
(3)与角度有关的呈周期性变化的问题常转化为三角函数模型.
【对点训练】
1.(多选题)(2023·南通模拟)函数y=Asin在一个周期内的图象如图所示,则 ( )
A.该函数的解析式为y=2sin
B.该函数图象的对称中心为,k∈Z
C.该函数的单调递增区间是,k∈Z
D.把函数y=2sin的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍,纵坐标不变,可得到该函数图象
ACD
【解析】由题图可知A=2,
周期T==4=3π,所以ω=,则y=2sin.
因为当x=时,y=2sin=2,即sin=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,
即φ=+2kπ,k∈Z.又0<φ<π,故φ=,从而y=2sin,故A正确;
令x+=kπ,k∈Z,得x=-+kπ,k∈Z,故B错误;
令-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,得-+3kπ≤x≤+3kπ,k∈Z,故C正确;
函数y=2sin的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍,纵坐标不变,可得到y=2sin,故D正确.
2.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后,在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度(船底到水面的距离)为4m.安全条例规定至少要有2.25m的安全间隙(船底到海底的距离),下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.
时刻 水深/m
0:00 5.0
3:00 7.5
6:00 5.0
时刻 水深/m
9:00 2.5
12:00 5.0
15:00 7.5
时刻 水深/m
18:00 5.0
21:00 2.5
24:00 5.0
若选用一个三角函数f(x)来近似描述这个港口的水深与时间(时刻:x)的函数关系,则下列说法中不正确的是 ( )
A.f(x)=2.5cos+5
B.f(x)=2.5sin+5
C.该货船在2:00至4:00期间可以进港
D.该货船在13:00至17:00期间可以进港
A
【解析】依据题中表格数据知,可设函数为f(x)=Asin ωx+k,由已知数据求得A=2.5,k=5,周期T=12,所以ω==,
所以有f(x)=2.5sin+5,选项A错误,选项B正确;由于船进港水深至少要6.25,
所以2.5sin+5≥6.25,得sin≥,
又0≤x≤24 0≤x≤4π,则有≤x≤或≤x≤,从而有1≤x≤5或13≤x≤17,选项C,D都正确.
【备选题型】利用三角函数图象求解三角函数方程解的个数问题
[典例](1)已知函数f(x)=tan(ωx+φ) (ω>0,0<φ<)的相邻两个对称中心的距离为,且f(1)=-,则函数y=f(x)的图象与函数y=的图象在(-5,9)上所有交点横坐标之和为 ( )
A.16 B.4 C.8 D.12
D
【解析】由已知得f(x)=tan(ωx+φ)最小正周期为3,即=3,所以ω=,
则f(x)=tan(x+φ).又f(1)=-,
即tan(+φ)=-,所以+φ=+kπ,k∈Z,
因为0<φ<,所以φ=,所以f(x)=tan(x+).
又因为f(2)=tan(+)=0,
所以y=f(x)关于(2,0)中心对称,点(2,0)也是y=的对称中心,两个函数的图象共有6个交点,且都关于(2,0)成中心对称,则所有交点横坐标之和为12.
(2)已知关于x的方程2sin2x-sin 2x+m-1=0在(,π)上有两个不同的实数根,则m的取值范围是 .
答案:(-2,-1)
【方法提炼】
求解与三角函数有关的零点(或三角函数有关的方程)个数或零点的和的问题,常结合三角函数图象利用数形结合思想直观求解.
【对点训练】
1.已知函数f(x)=cos(2x-),x∈[0,],若方程f(x)=m有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是 ( )
A. [-,] B. [,1) C. [,1] D. [-,1]
B
2.函数f(x)=xsin 2πx-1在区间(0,3]上的零点个数为 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
C
【思维导图·构网络】
教考衔接拓广角度 泰勒公式在比较大小中的应用
【源于教材】
教材[拓广探索]中提到:英国数学家泰勒发现了如下公式:
sin x=x-+-+…+(-1)n+…;cos x=1-+-+…+(-1)n+….
其中n!=1×2×3×4×…×n.这些公式被编入了计算工具,计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.
【教材拓展】
常用的还有另外三个公式
(1)指数函数:
ex=1+x+++…++…;
(2)对数函数:
ln(1+x)=x-+-…+(-1)n+…,
x∈(-1,1);
(3)幂函数:
(1+x)a=1+ax+x2+…+xn+….
【链接高考】
一、利用sin x,cos x的泰勒展开式比较
[典例1](2022·全国甲卷)已知a=,b=cos,c=4sin,则 ( )
A.c>b>a B. b>a>c
C.a>b>c D. a>c>b
A
【解析】由公式sin x=x-+…得c=4sin≈4(-)=>a,
由公式cos x=1-+-…得b=cos≈1-+>=a,排除BCD.
二、利用ex,ln (1+x)的泰勒展开式比较
[典例2](2022·新高考Ⅰ卷)设a=0.1e0.1,b=,c=-ln 0.9,则 ( )
A.aC.cC
【解析】b=≈0.111,
由公式ex=1+x++…
可得e0.1≈1+0.1+=1.105,
则a=0.1e0.1≈0.110 5,c=-ln 0.9=ln =ln(1+),
由公式ln(1+x)=x-+-…
得c=ln(1+)≈-≈0.104 9,所以c三、利用ln (1+x),(1+x)a的泰勒展开式比较
[典例3](2021·全国乙卷)设a=2ln 1.01,b=ln 1.02,c=-1,则 ( )
A. aC. bB
【解析】因为a=2ln 1.01=ln 1.012=ln 1.020 1>ln 1.02,
所以a>b.排除A,D.根据选项B,C可知,只需比较a,c的大小即可.
由公式ln (1+x)=x-+…
得a=2ln (1+0.01)≈2×(0.01-)≈0.02-0.000 1=0.019 9,
由公式(1+x)a=1+ax+x2+…
得c=-1≈×0.04+×0.042≈0.02-0.000 2=0.019 8,
所以a>c.排除C.(共51张PPT)
第五章 三角函数
第一节 任意角和弧度制及三角函数的概念
【课程标准】
1.了解任意角的概念和弧度制;
2.能进行弧度与角度的互化;
3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
知识梳理·思维激活
【必备知识】精归纳
1.角的概念的推广
(1)定义:
一条射线绕着它的 ______ 旋转所成的图形.
(2)分类:
(3)终边相同的角:
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β= _____________ ,k∈Z}.
点睛终边相同的角不一定相等,但是相等的角终边一定相同.
端点
α+k·360°
零角
轴线角
(4)象限角:
象限角 角的表示
第一象限的角 {α|k·360°<α第二象限的角 _____________________________________
第三象限的角 {α|k·360°+180°<α第四象限的角 ______________________________________
{α|k·360°+90°<α {α|k·360°+270°<α2.弧度制的定义和公式
(1)定义:
长度等于____________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示.
(2)公式:
点睛
(1)在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用;
(2)利用公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.
角α的弧度数公式
角度与弧度的换算
弧长公式 l=_________
扇形面积公式
半径长
|α|r
3.任意角的三角函数
(1)定义:
设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y),那么sin α=______,cos α=_______,tan
α=_____(x≠0).
(2)任意角的三角函数的定义(推广)
设P(x,y)是角α终边上异于原点O的任一点,其到原点O的距离为r,则sin α=_____,cos α=_____,tan α=____
(x≠0).
(3)三角函数的定义域
点睛三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
三角函数 定义域
sin α R
cos α R
tan α
y
x
【常用结论】
1.若角α∈ 0, ,则sin α<α2.α所在象限与所在象限的关系
α所在象限 一 二 三 四
一、三 一、三 二、四 二、四
【基础小题】固根基
1.(教材变式)角-863°的终边所在的象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】-863°=-2×360°-143°,-863°和-143°的终边相同,故-863°的终边在第三象限.
教材改编 结论应用 易错易混
1,2 3 4,5
C
C
B
C
5.(混淆弧度制和角度制)已知扇形的圆心角为60°,其弧长为2π,则此扇形的面积为 .
答案:6π
【题型一】角的概念的推广
角度1 区域角
[典例1]如图,试用弧度制写出终边落在阴影部分的角的集合.
(1)
核心题型·分类突破
(2)
【方法提炼】
表示区域角的步骤
(1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.
(2)按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的角α和β的集合;
(3)结合起始、终止边界可得区间角集合.
提醒根据区域写不等式时,要注意包含边界用≥或≤,不包含边界用>或<.
角度2 象限角及终边相同的角
[典例2]已知α=.
(1)写出与角α终边相同的角的集合,并求出在(-4π,-π)内与角α终边相同的角;
(2)若角β与角α终边相同,判断角是第几象限的角.
【方法提炼】
1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角
先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.
2.确定nα,(n∈N*)的终边位置的方法
先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出nα或的范围,然后根据n的可能取值讨论确定nα或的终边所在位置.
【对点训练】
C
A
【加练备选】
A
C
角度3 角的对称问题
[典例3]写出满足下列条件的角.
(1)角α的终边与780°角的终边关于x轴对称,且-90°<α<0°,则α= ;
答案:-60°
【解析】因为α=k·360°-780°(k∈Z),又-90°<α<0°,所以α=-60°.
(2)角β的终边与780°角的终边关于y轴对称,且450°<β<540°,则β= .
答案:480°
【解析】因为β=(2k+1)·180°-780°(k∈Z),又450°<β<540°,所以β=480°.
(3)角γ的终边与780°角的终边垂直,则γ= .
答案:n·180°+150°(n∈Z)
【解析】γ=k·180°+90°+780°(k∈Z)=n·180°+150°(n∈Z).
【方法提炼】
常见的角的对称关系
1.若角α与角β的终边关于y轴对称,则β=k·360°+(180°-α),k∈Z.
2.若角α与角β的终边关于x轴对称,则β=k·360°+(-α),k∈Z.
3.若角α与角β的终边关于原点对称,则β=k·360°+(180°+α),k∈Z.
4.若角α与角β的终边相互垂直,则β=k·180°+(90°+α),k∈Z.
【对点训练】
A
2.(多选题)下列条件中,能使α和β的终边关于y轴对称的是 ( )
A.α+β=540° B.α+β=360°
C.α+β=180° D.α+β=90°
【解析】假设α,β为0°~180°内的角,如图所示,由α和β的终边关于y轴对称,所以α+β=180°,又根据终边相同的角的概念,可得α+β=k·360°+180°=(2k+1)180°,
k∈Z,所以A,C满足条件.
AC
【题型二】扇形的弧长及面积公式的应用
(2)如图,点A,B,C是圆O上的点.
①若AB=4,∠ACB=,求劣弧AB的长;
②已知扇形AOB的周长为8,求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小.
.
【一题多变】
[变式]若本例(1)条件不变,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.
【方法提炼】
应用弧度制解决问题的思路
1.求扇形面积最大值的问题时,常转化为利用二次函数或基本不等式求最值问题;
2.在解决弧长问题、扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
提醒一个半径为r的弧长l必须满足0【对点训练】
B
2.已知扇形的周长为10 cm,面积是4 cm2,求扇形的圆心角.
【加练备选】
1.已知扇形OAB的圆心角为120°,半径长为6 cm,求:
(1)的长;
(2)该扇形所含弓形的面积.
2.某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌,该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA=2米,OB=x米(0(1)求θ关于x的函数解析式;
(2)记该宣传牌的面积为y,试问x取何值时,y的值最大 并求出最大值.
【题型三】三角函数的定义
角度1 根据定义求三角函数值
[典例5]已知角α的终边在函数y=x(x>0)的图象上,求sin α,cos α的值.
【一题多变】
[变式]已知角α的终边在函数y=x的图象上,求sin α,cos α的值.
【方法提炼】
三角函数定义的应用
(1)已知角α终边上一点P的坐标,可先求出点P到原点的距离|OP|=r,然后利用三角函数的定义求解.
(2)已知角α的终边所在的直线方程,可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离r,再利用三角函数的定义求解,应注意分情况讨论.
提醒若角的终边在一条直线上,用参数设点的坐标时,要注意参数的取值范围.
角度2 三角函数的符号
[典例6]若α是第四象限角,则点P(cos ,tan )在 ( )
A.第二或第四象限
B.第一或第三象限
C.第三或第四象限
D.第一或第二象限
C
【方法提炼】
三角函数值的符号及角的位置的判断方法
已知一角的三角函数值(sin α,cos α,tan α)中任意两个的符号,可分别确定出角的终边所在的可能位置,二者的交集即为该角的终边位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.
【对点训练】
1.若角α满足sin α·cos α<0,cos α-sin α<0,则α在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】因为sin α·cos α<0,所以α是第二或第四象限角;
当α是第二象限角时,cos α<0,sin α>0,满足cos α-sin α<0;
当α是第四象限角时,cos α>0,sin α<0,则cos α-sin α>0,不符合题意;
综上所述α是第二象限角.
B
C
3.已知点M是圆x2+y2=1上的点,以射线OM为终边的角α的正弦值为-,求cos α和tan α的值.
【加练备选】
AC
BC
3.(1)已知θ是第二象限角,试判断tan(sin θ)tan(cos θ)的符号.
(2)若sin(cos θ)cos(sin θ)<0,求θ的终边的位置.
【方法提炼】
求解与三角函数有关的定义域时,一般转化为不等式(组),若涉及tan x要注意x≠kπ+,k∈Z,有时不仅要考虑象限角,还要考虑象限界角.另外,要注意定义域用集合表示.
提醒涉及三角函数的解集与确定的数集的交集时,应结合k的具体值求交集.
【对点训练】
1.函数y=的定义域为 .
2.设函数f(x)的定义域为[-4,4],其图象如图,那么不等式≤0的解集为 .
【思维导图·构网络】