(共14张PPT)
九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质 （第2课时）
本节课由最特殊最简单的二次函数出发，通过类比一次函数的图象和性质的研究内容和研究方法，从特殊到一般地对二次函数的图象和性质进行探究，继续加深对函数的一般性认识．
课件说明
学习目标：
1．会用描点法画出形如 y = ax 2 的二次函数图象，了 解抛物线的有关概念；
2．通过观察图象，能说出二次函数 y = ax 2 的图象特
征和性质；
3．在类比探究二次函数 y = ax 2 的图象和性质的过程 中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法 和数形结合的思想．
学习重点：
观察图象，得出二次函数 y = ax 2 的图象特征和性质．
课件说明
问题1
你认为我们应该如何研究函数的图象和性质？
1．复习研究函数的一般方法
2．类比探究二次函数 y = ax 2 的图象和性质
问题2
类比一次函数的研究内容和研究方法，画出二次函 数 y = x 2 的图象，你能说说它的图象特征和性质吗？
问题3
在同一直角坐标系中，画出函数 ，
的图象，这两个函数的图象与函数 y = x 2 的图象相比， 有什么共同点？有什么不同点？当 a＞0 时，二次函数 y = ax 2 的图象有什么特点？
2．类比探究二次函数 y = ax 2 的图象和性质
问题4
类比 a＞0 时的研究过程，画图研究当 a＜0 时，二 次函数 y = ax 2 的图象特征．
2．类比探究二次函数 y = ax 2 的图象和性质
问题5
你能说出二次函数 y = ax 2 的图象特征和性质吗？
2．类比探究二次函数 y = ax 2 的图象和性质
归纳：
一般地， 抛物线 y = ax 2 的对称轴是 y 轴， 顶点是 原点．
当 a＞0 时， 抛物线开口向上，顶点是抛物线的最 低点；
当 a＜0 时， 抛物线开口向下，顶点是抛物线的最 高点．
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越 小．
2．类比探究二次函数 y = ax 2 的图象和性质
归纳：
如果 a＞0，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大；
如果 a＜0，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小．
2．类比探究二次函数 y = ax 2 的图象和性质
说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
3．巩固练习
开口向上、y 轴、原点．
开口向下、y 轴、原点．
开口向上、y 轴、原点．
开口向下、y 轴、原点．
抛物线 ，其对称轴左侧，y 随 x 的增大而 ；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 ．
增大
减小
3．巩固练习
（1）本节课学了哪些主要内容？
（2）本节课是如何研究二次函数 y = ax 2 的图象和 性质的？
4．小结
教科书习题 22.1 第 3，4 题．
5．布置作业(共13张PPT)
九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质 （第5课时）
本节课是在讨论了二次函数 的图象和 性质的基础上对二次函数 y = ax 2+bx+c 的图象和性质 进行研究．主要的研究方法是通过配方将 y=ax 2+bx+c 向 转化，体会知识之间内在联系．在 具体探究过程中，从特殊的例子出发，分别研究 a＞0 和 a＜0 的情况，再从特殊到一般，得出 y=ax 2+bx+c 的图象和性质．
课件说明
（x - h） + k
2
y = a
（x - h） + k
2
y = a
学习目标：
1．理解二次函数 y = ax 2 + bx + c 与 之间 的联系，体会转化思想；
2．通过图象了解二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质，体 会数形结合的思想．
学习重点：
会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 y =
的形式，并能由此得到二次函数 y = ax 2
+ bx + c 的图象和性质．
课件说明
（x - h） + k
2
y = a
（x - h） + k
2
a
问题1
如何研究二次函数 的图象和性质？
1．探究二次函数 的图象和性质
如何将 转化成 的形 式？
1．探究二次函数 的图象和性质
（x - h） + k
2
y = a
（x - 6） + 3
2
=
= （x2 - 12x + 42）
= （x2 - 12x + 36 - 36 + 42）
·你能画出 的图象吗？
1．探究二次函数 的图象和性质
·如何直接画出 的图象？
·观察图象，二次函数 的性质是什么？
你能用前面的方法讨论二次函数 y = -2x 2 - 4x +1 的 图象和性质吗？
2．探究二次函数 y = -2x 2 - 4x +1 的图象和性质
你能说说二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象和性质吗？
3．探究二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象和性质
对于一般的二次函数 y = ax 2 + bx + c，如果 a＞0， 当 x＜ 时， y 随 x 的增大而减小，当 x＞ 时， y 随 x 的增大而增大；如果 a＜0，当 x＜ 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞ 时，y 随 x 的增大而减小．
3．探究二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象和性质
（1）求出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点 坐标．
① y = 2x 2 - 4x +5
② y = -x 2 + 2x -3
4．巩固练习
开口向上、x = 1、（1， 3）．
开口向下、x = 1、（1，-2）．
（2）二次函数 y = -2x 2 + 4x -1，
当 x 时， y 随 x 的增大而增大，
当 x 时， y 随 x 的增大而减小．
＜1
＞1
4．巩固练习
（1）本节课研究的主要内容是什么？
（2）我们是怎么研究的（过程和方法是什么）？
（3）在研究过程中你遇到的问题是什么？怎么解 决的？
5．小结
教科书习题 22.1 第 6题，第7 题（2）．
6．布置作业(共16张PPT)
九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质 （第4课时）
本课是在学生已经学习了二次函数 y = ax 2，y = ax 2 + k 的基础上，继续进行二次函数的学习，这是对二次函 数图象和性质研究的延续．
课件说明
学习目标： 会用描点法画出二次函数 的图象， 通过图象了解它们的图象特征和性质．
学习重点： 观察图象，得出上述二次函数的图象特征和性质．
课件说明
（x - h），
2
y =
（x - h）+ k
2
y =
（1）二次函数 y = ax 2，y = ax 2+k 的图象是什么？
（2）它们具有怎样的图象特征和性质？
（3）你是怎么研究的？
1．复习二次函数 y = ax 2，y = ax 2+k 的图象和性 质
在同一直角坐标系中，画出二次函数 的图象，并探究它们的图 象特征和性质．
2．类比探究 ， 的图 象和性质
（x + 1），
2
y = -
（x - 1）
2
y = -
通过对二次函数 的探 究，你能说出二次函数 的图象特征和性质 吗？
2．类比探究 ， 的图 象和性质
（x + 1），
2
y = -
（x - 1）
2
y = -
（x - h）
2
y = a
2．类比探究 ， 的图 象和性质
归纳：
一般地，当 a＞0 时，抛物线 的对称轴 是 x = h，顶点是（h，0），开口向上，顶点是抛物线的 最低点，a 越大，抛物线的开口越小．当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞h 时，y 随 x 的增大而增大．
（x - h）
2
y = a
2．类比探究 ， 的图 象和性质
归纳：
一般地，当 a＜0 时，抛物线 的对称轴 是 x = h，顶点是（h，0），开口向下，顶点是抛物线的 最高点，a 越小，抛物线的开口越小．当 x＜h 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞h 时，y 随 x 的增大而减小．
（x - h）
2
y = a
抛物线 与抛物线 有什么关系？ 抛物线 与抛物线 y = ax 2 有什么关系？
2．类比探究 ， 的图 象和性质
（x - h）
2
y = a
（x + 1），
2
y = -
y = -
（x - 1）
2
归纳:
当 h＞0 时，把抛物线 y = ax 2 向右平移 h 个单位长度，就得到抛物线 ；
当 h＜0 时，把 y = ax 2 向左平移｜h｜个单位长度，就得到抛物线 ．
2．类比探究 ， 的图 象和性质
（x - h）
2
y = a
（x - h）
2
y = a
画出二次函数 的图象，你能说出 它的图象特征和性质吗？它与抛物线 有什么关 系？你能说出 的图象和性质吗？
2．类比探究 ， 的图 象和性质
（x + 1） -1
2
y = -
（x - h） + k
2
y = a
2．类比探究 ， 的图 象和性质
归纳:
一般地，抛物线 与 y = ax 2 形状相 同，位置不同．把抛物线 y = ax 2向上（下）向左（右） 平移，可以得到抛物线 ．平移的方向、 距离要根据 h，k 的值来决定．
（x - h） + k
2
y = a
（x - h） + k
2
y = a
抛物线 有如下特点：
（1）当 a＞0 时，开口向上；当 a＜0 时，开口向 下．
（2）对称轴为直线 x = h．
（3）顶点坐标（h，k）．
如果 a＞0，当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小，当 x ＞h 时，y 随 x 的增大而增大；如果 a＜0，当 x＜h 时， y 随 x 的增大而增大，当 x＞h 时，y 随 x 的增大而减小．
2．类比探究 ， 的图 象和性质
（x - h） + k
2
y = a
例 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一 根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线 形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高，高度 为 3 m，水柱落地处离池 中心 3 m，水管应多长？
3．运用性质，巩固练习
（1，3）
y/m
O 1 2 3 x/m
3
2
1
（1）本节课学了哪些主要内容？
（2）抛物线 与抛物线 y = ax 2 的区 别与联系是什么？
4．小结
（x - h） + k
2
y = a
教科书习题 22.1，第 5 题（2）（3），第 7题（1）．
5．布置作业(共15张PPT)
九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质 （第3课时）
本课是在学生已经学习了二次函数 y = ax 2 的基础上， 继续进行二次函数的学习，这是对二次函数图象和性 质研究的延续．
课件说明
课件说明
学习目标：
1．会用描点法画出二次函数 y = ax 2+k 的图象；
2．通过图象了解二次函数的图象特征和性质．
学习重点：
观察图象，得出图象特征和性质．
问题1
（1）二次函数 y = ax 2 的图象是什么？
（2）它具有怎样的图象特征和性质？
（3）你是怎么研究的？
1．复习 y = ax 2 的图象和性质
2．类比探究二次函数 y = ax 2 + k 的图象和性质
问题2
类比 y = ax 2 的研究内容和研究方法，画出二次函数 y = 2x 2 + 1， y = 2x 2 - 1 的图象，并探究它们的图象特征 和性质．
通过对二次函数 y = 2x 2 + 1， y = 2x 2 - 1 的探究，你 能说出二次函数 y = ax 2 + k（a＞0）的图象特征和性质 吗？
2．类比探究二次函数 y = ax 2 + k 的图象和性质
归纳：
一般地，当 a＞0 时，抛物线 y = ax 2 + k 的对称轴是 y 轴，顶点是（0，k），开口向上，顶点是抛物线的最 低点，a 越大，抛物线的开口越小．当 x＜0 时， y 随 x 的增大而减小，当 x＞0 时， y 随 x 的增大而增大．
2．类比探究二次函数 y = ax 2 + k 的图象和性质
你能说出二次函数 y = ax 2 + k （a＜0）的图象特征 和性质吗？
2．类比探究二次函数 y = ax 2 + k 的图象和性质
归纳：
一般地，当 a＜0 时，抛物线 y = ax 2 + k 的对称轴是 y 轴，顶点是（0，k），开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越小，抛物线的开口越小．当 x＜0 时， y 随 x 的增大而增大，当 x＞0 时， y 随 x 的增大而减小．
2．类比探究二次函数 y = ax 2 + k 的图象和性质
抛物线 y = 2x 2 + 1，y = 2x 2 - 1 与抛物线 y = 2x 2 有什 么关系？抛物线 y = ax 2 + k 与抛物线 y = ax 2 有什么关系？
2．类比探究二次函数 y = ax 2 + k 的图象和性质
归纳:
当 k＞0 时，把抛物线 y = ax 2 向上平移 k 个单位，就 得到抛物线 y = ax 2 + k；
当 k＜0 时，把抛物线 y = ax 2 向下平移｜k｜个单位， 就得到抛物线 y = ax 2 + k．
2．类比探究二次函数 y = ax 2 + k 的图象和性质
在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
（1） ；（2） ；（3） ．
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方
向、对称轴和顶点．你能说出抛物线 的开口
方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线 有什么联
系？
3．运用性质，巩固练习
开口方向：向上；
对称轴：y 轴；
顶点：（0，k）．
当 k＞0 时，把抛物线 向上平移 k 个单位，
就得到抛物线 ；
当 k＜0 时，把抛物线 向下平移｜k｜个单
位，就得到抛物线 ．
3．运用性质，巩固练习
（1）本节课学了哪些主要内容？
（2）抛物线 y = ax 2 + k 与抛物线 y = ax 2 的区别与联 系是什么？
4．小结
教科书习题 22.1 第 5 题（1）.
5．布置作业(共16张PPT)
22.1 二次函数的图象和性质
（第1课时）
九年级 上册
本课是在学生已经学习了一次函数的基础上，继续进 行函数的学习，学习二次函数的定义，这是对函数知 识的完善与提高．
课件说明
学习目标： 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．
学习重点： 理解二次函数的定义．
课件说明
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它 们的形状是怎样画出来的？
1．由实际生活引入二次函数
正方体的棱长为 x ，那么正方体的表面积 y 与 x 之 间有什么关系？
2．通过实例，归纳二次函数的定义
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．比 赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
2．通过实例，归纳二次函数的定义
某种产品现在的年产量是 20 t ，计划今后两年增加 产量．如果每一年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两 年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定， y 与 x 之间的关系应该怎样表示？
2．通过实例，归纳二次函数的定义
这三个函数关系式有什么共同点？
2．通过实例，归纳二次函数的定义
二次函数的定义：一般地，形如
（a ，b ，c 是常数，a≠0）
的函数，叫做二次函数．其中， x 是自变量，a， b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项 系数和常数项．
2．通过实例，归纳二次函数的定义
例 某小区要修建一块矩形绿地，设矩形的长为 x m，宽为 y m，面积为 S m 2（x＞y）．
（1）如果用 18 m 的建筑材料来修建绿地的边缘 （即周长），求 S 与 x 的函数关系，并求出 x 的取值范 围．
（2）根据小区的规划要求， 所修建的绿地面积必 须是 18 m 2，在满足（1）的条件下，矩形的长和宽各为多少 m ？
3．练习、巩固二次函数的定义
3．练习、巩固二次函数的定义
解：（1）由题意，得 ．
∵ x＞y＞0，
∴ x 的取值范围是 ＜x＜9，
∴
S矩形 = xy = x 9 - x = -x2+9x．
（ ）
（2）当矩形面积 S矩形 = 18 时，即
- x 2 + 9x = 18，
解得 x1 = 3，x2 = 6．
当 x = 3 时，y = 9 - 3 = 6，但 y＞x ，不合题意，舍 去．
当 x = 6 时，y = 9 - 6 = 3．
所以当绿地面积为 18 m 2 时，矩形的长为 6 m ，宽 为 3 m．
3．练习、巩固二次函数的定义
练习1 函数 （m 为常数）．
（1）当 m ______时，这个函数为二次函数；
（2）当 m ______时，这个函数为一次函数．
≠ 2
= 2
3．练习、巩固二次函数的定义
（ ）
m - 2 x 2 + mx - 3
y =
练习2 填空：
（1）一个圆柱的高等于底面半径，则它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式是_________；
（2） n 支球队参加比赛，每两队之间进行两场比 赛，则比赛场次数 m 与球队数 n 之间的关系式是 ________________．
S = 4πr 2
3．练习、巩固二次函数的定义
m =n n - 1
（ ）
（1）一个函数是否为二次函数的关键是什么？
（2）实际问题中列二次函数解析式需要考虑什么？
4．小结
教科书习题 22.1 第 1，2 题．
5．布置作业
