数学人教A版（2019）必修第二册6.4.3正弦定理、余弦定理 课件（共21张ppt）

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6.4.3 正弦定理、余弦定理
人教2019A版必修 第二册
第一课时 余弦定理
一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系，例如，在初中，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系.对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS,SAS,ASA,AAS等判定三角形全等的方法，这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的。那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？下面我们利用向量方法研究这个问题．创设情境，引入课题若已知三角形的两边及其夹角，如何求其他的边角呢？下面我们来研究一下这个问题。
C
A
B
a
b
C
A
B
a
b
c
我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示.
探究新知
问题1 已知三角形的两边a，b及它们的夹角C，如何求第三边c？
设 ，
那么
∴
①把几何元素用向量表示：
②进行恰当的向量运算：
③向量式化成几何式：
同理可得
于是，我们就得到了三角形中边角关系的一个重要定理—余弦定理.
探究：还有其他的方法证明上述关系式的成立吗？
法2：几何法
（作高法）
余弦定理
1
坐标法
在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为如图以点A为坐标原点，边AB所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(,0),C()
()
由
=
即
同理可证 ，
余弦定理的文字描述：三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即
思考：利用余弦定理可以解决三角形的哪类问题？
已知两边及其夹角求第三边（SAS型）
符号语言：
a
c
1、余弦定理
2、余弦定理的推论
余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题.怎么确定呢？
已知三边求任意一个角（SSS型）
从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式.
思考：利用余弦定理的推论可以解决三角形的哪类问题？
归纳总结：
已知三条边求任意角
（SSS）
余弦定理：
推论：
已知两边夹一角求第三边【对边】
（SAS）
问题1 公式的结构特征怎样？
（1）轮换对称，简洁优美;
（2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.
（方程思想）
a
c
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系．你能说说这两个定理之间的关系吗？
余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例．
3、余弦定理与勾股定理的关系
在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2，这便是勾股定理.
b
c
a
c2＝a2＋b2
A
a
B
C
b
c
A
c
b
A
b
c
=
探究：当角C为直角时，有c2=a2+b2，当角C为锐角时，这三者的关系是什么？钝角呢？
推论：
当C为锐角时，c2 a2+b2
当C为钝角时，c2 a2+b2
当C为直角时，c2 a2+b2
>
<
角A的对边边长：a
角B的对边边长：b
角C的对边边长：c
把三角形的三个角A,B,C和它们的对边边长a,b,c叫三角形的元素.
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
“解三角形”的含义
大边对大角，小边对小角
题型分析 举一反三
【跟踪训练1】
例2.在 中，已知a=7，b=8，锐角C满足 ，求B。（
精准到 )
解：因为 ，且C为锐角。
所以
由余弦定理，得
所以c=3
进而
利用计算器可得
【跟踪训练2】
C
达标检测
等腰三角形
这节课你的收获是什么 请填一填.
余弦定理 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于 减去这两边与它们的 的两倍.
公式表达 a2＝ ，b2＝ ，
c2＝ .
应用 判断三角形的形状：c2＝a2＋b2 C为 ；c2>a2＋b2 C为 ；c2解三角形：（1）已知三条边，求 ；
（2）已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角
其他两边的平方的和
夹角的余弦的积
b
c
a
直角
钝角
锐角
三角
课堂小结