临祧县2024年春季开学假期学习质量检测
高二数学
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，若从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳的不同的方法有（ ）
A. 240种 B. 180种 C. 120种 D. 90种
【答案】D
【解析】
【分析】运用分类加法计数原理计算即可.
【详解】根据分类加法计数原理，得方法种数为30+20+40=90.
故选：D.
2. 已知等差数列满足，则（ ）
A. 3 B. 6 C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】运用等差数列的等和性计算即可.
【详解】因为是等差数列，
所以由等差数列的等和性可知，，
又因为，
所以得：，
所以.
故选：D.
3. 等比数列中，，，则等于（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等比中项直接计算即可.
【详解】因为数列是等比数列，
所以即，解得，
故选：C
4. 现有4名男生和4名女生排成一排，且男生和女生逐一相间的排法共有（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分两类，第一类：男女男女男女男女，第二类：女男女男女男女男，根据分类加法原理求解.
【详解】4名男生和4名女生排成一排，且男生和女生逐一相间的排法分两类：
第一类：男女男女男女男女，共有种不同方法；
第二类：女男女男女男女男，共有种不同方法；
由分类相加计数原理可得共有种不同方法．
故选：A
5. 双曲线的虚轴长为4，离心率，分别是它的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且│AB│是的等差中项，则│AB│等于（ ）
A. 8 B. 4 C. 2 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】由虚轴长求出b=2,再根据离心率求出a,进而结合题意及双曲线定义求得答案.
【详解】由题意，，由.由双曲线的定义可知：，两式相加得：.
因为│AB│是的等差中项，所以，于是.
故选：A.
6. 已知圆C：，O为原点，则以为直径的圆方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意确定以为直径的圆的圆心和半径，即可得答案.
【详解】由圆C：可知圆心，，
故以为直径的圆的圆心为，半径为，
故所求圆的方程为：.
故选：D
7. 如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面的宽度为，则此时欲经过桥洞的一艘宽的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意,抽象出抛物线的几何模型.根据抛物线的通经性质求得抛物线方程,即可求得当宽为时的纵坐标,进而求得水面到顶部的距离.
【详解】根据题意,画出抛物线如下图所示:
设宽度为时与抛物线的交点分别为.当宽度为时与抛物线的交点为.
当水面经过抛物线的焦点时,宽度为
由抛物线性质可知,则抛物线方程为
则
当宽度为时,设
代入抛物线方程可得,解得
所以直线与直线的距离为
即船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过
故选:D
【点睛】本题考查了抛物线在实际问题中的应用,抛物线几何性质的应用,属于基础题.
8. 在展开式中x的系数为（ ）
A. 80 B. 240 C. -80 D. 160
【答案】C
【解析】
【分析】由，结合二项式展开式的通项公式求x的系数.
【详解】∵ ，
∴ 展开式中x的系数为，即，
故选：C.
二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9. 已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A. 圆的圆心坐标为 B. 直线过定点
C. 直线与圆相交且所截最短弦长为 D. 直线与圆可以相切
【答案】AC
【解析】
【分析】求出圆心坐标，可判断A选项；求出直线所过定点的坐标，可判断B选项；判断定点与圆的位置关系，可判断D选项；求出直线截圆所得弦长的最大值，可判断C选项.
【详解】对于A选项，圆的圆心坐标为，A对；
对于B选项，直线方程即为，由可得，
所以，直线过定点，B错；
对于D选项，因为，故点在圆内，直线与圆必相交，D错；
对于C选项，记圆心为，定点，则，
当直线与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，
此时直线截圆所得弦长最小，
此时弦长为，C对.
故选：AC.
10. 已知直线被椭圆截得的弦长为，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定为的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据椭圆的对称性可得出合适的选项.
【详解】由于椭圆关于原点、轴、轴对称.
对于A选项，直线与直线关于原点对称，则直线截椭圆所得弦长为，A选项合乎要求；
对于B选项，直线与直线平行，直线截椭圆所得弦长大于，B选项不合乎要求；
对于C选项，直线与直线关于轴对称，则直线截椭圆所得弦长为，C选项合乎要求；
对于D选项，直线与直线关于轴对称，则直线截椭圆所得弦长为，D选项合乎要求.
故选：ACD.
【点睛】本题考查直线截椭圆的弦长问题，考查椭圆对称性的应用，属于基础题.
11. 某师范大学5名毕业生到某山区的乡村小学工作.将这5名毕业生分配到该山区的A，B，C三所小学，每所学校至少分配1人.（ ）
A. 若甲不去A小学，则共有100种分配方法
B. 若甲、乙去同一所小学，则共有36种分配方法
C. 若有一所小学分配了3人，则共有90种分配方法
D. 共有120种分配方法
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A，可将5名毕业生先进行分组，再根据安排去A小学的人数分类讨论求解即可；对于B，将甲乙捆绑在一起看成整体，再按{2,1,1}分为3组，然后每一组派到一所小学即可；对于C，先将5人分组为3，1，1的三组，再全排列即可；对于D，可将5名毕业生分为3组，有{3,1,1}或{2,2,1}两种情况，然后全排列即可.
【详解】对于A，5名毕业生分配到三所小学可以分成{3,1,1}或{2,2,1}两种情况，
若A小学安排1人，除甲外的4人任选1人安排到A小学，再把余下4人按{3,1}或{2,2}分两组安排到B、C小学，则有=56种分配方法；
若A小学安排2人，除甲外的4人任选2人安排到A小学，再把余下3人分两组安排到B、C小学，则有=36种分配方法，
若A小学安排3人，除甲外的4人任选3人安排到A小学，再把余下2人分两组安排到B、C小学，则有=8种分配方法，
所以甲不去A小学共有56+36+8=100种分配方法，故A正确；
对于B，若甲、乙同去一所小学，则将甲、乙捆绑看作一个人，与其它三人一起看作4人，
按{2,1,1}形式分组，再分派到3个学校中，共有=36种，所以甲、乙去同一所小学共有36种分配方法，故B正确；
对于C，若有一所小学分配了3人，先将5人按{3,1,1}分成三组，再将三组人分配到三所小学，所以有=60种分配方法，故C错误；
对于D，这5名毕业生分配到该山区的A，B，C三所小学，每所学校至少分配1人，共有=150种分配方案，故D错误.
故选：AB.
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 在如图所示的四个区域中，有5种不同的花卉可选，每个区域只能种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法共有_________种（用数字作答）
【答案】240
【解析】
【分析】直接利用分步乘法计数原理即可求出结果.
【详解】由分步乘法计数原理得种,
故答案：240.
13. 已知点是椭圆某条弦中点，则此弦所在的直线的一般方程为_________.
【答案】
【解析】
【分析】由点差法可求出直线的斜率，进而可求得直线的方程
【详解】设过点的直线与椭圆的两个交点分别为，，
则，，
两式相减得，
化简得，即，
直线AB的方程为，
所以直线AB的一般方程为，
故答案为：
14. 若双曲线的一条渐近线为，则过抛物线的焦点且垂直于轴的弦，与抛物线的顶点组成的三角形的面积为_______.
【答案】2
【解析】
【分析】由双曲线的渐近线求得，然后求出两点坐标后计算三角形面积．
【详解】双曲线的渐近线方程是，又直线是其一条渐近线，所以，
抛物线方程为，焦点为，
代入抛物线方程得，，即，
，
．
故答案为：2.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为．
（1）求边上的高所在的直线方程；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直线BC的斜率，可得边上高所在直线斜率，利用点斜式即可得出边上的高所在的直线方程．
（2）先求得BC的方程为，求得点A到直线的距离和，结合三角形的面积公式，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，可得直线BC的斜率，则BC边上高所在直线斜率，
又由点,则边上的高所在的直线方程为，即．
【小问2详解】
解：由点，可得，
所以的方程为，即，
则到直线BC的距离，
且，
所以的面积．
16. 若，.
（1）求；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】（1）1 （2）0
（3）
【解析】
【分析】(1)令 可计算出 的值;
(2)令 结合 的结果可计算出 的值;
(3)分别令, 然后根据展开式的通项公式判断取值的正负即可计算出 的值;
【小问1详解】
令 , 所以 ;
【小问2详解】
令 , 所以 , ，因为，所以 ,
【小问3详解】
令 , 所以 , 又 ,
所以 ,
又因为 展开式通项为 , 所以当 为奇数时, 项的系数为负数,
所以 .
17. 已知10件不同的产品中有4件次品，现对这10件产品一一进行测试，直至找到所有次品.
（1）若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第8次测试时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试情况？
（2）若至多测试6次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？
【答案】（1）86400
（2）8520
【解析】
【分析】（1）需测试8次，按顺序可看作为8个位置，然后利用分步乘法原理求解：第一步，第一个位置放置正品，第二步，选2个次品放在第二和第八个位置，第三步在第三到第7个位置中选2个位置放置剩余的两个次品，其他3个位置放3个正品，再计算可得；
（2）由分类加法原理计算：分三类：恰好4次，恰好5次，恰好6次找到所有次品或测6次全是正品．
【小问1详解】
需测试8次，按顺序可看作为8个位置，
第一步，第一个位置放置正品，第二步，选2个次品放在第二和第八个位置，第三步在第三到第7个位置中选2个位置放置剩余的两个次品，其他3个位置放3个正品，由乘法原理方法数为：；
【小问2详解】
至多6次可分为恰好4次，恰好5次，恰好6次找到所有次品，
恰好4次，即前4次测试都是次品，方法数为；
恰好4次，即第5次是次品，前4次中有3次是次品，方法数为；
恰好6次，即第6次是次品，前5次中有3次是次品或前6次都是正品，方法数为
所以总的测试情况数为：．
18. 已知等差数列满足：的前项和为.
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式列的方程组求解再求前n项和公式即可得出．
（2）变形，利用裂项相消求和.
【小问1详解】
设等差数列的公差为d，
∵,，
∴，解得,，
∴;
.
【小问2详解】
，
∴.
所以.
19. 已知椭圆的离心率为，右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的面积.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的简单几何性质知，又，写出椭圆的方程；（2）先斜截式设出直线，联立方程组，根据直线与圆锥曲线的位置关系，可得出中点为的坐标，再根据△为等腰三角形知，从而得的斜率为，求出，写出：，并计算，再根据点到直线距离公式求高，即可计算出面积．
【详解】（1）由已知得，，解得，又，
所以椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，
由得，①
设、的坐标分别为，（），中点为，
则，，
因为是等腰△的底边，所以．
所以的斜率为，解得，此时方程①为．
解得，，所以，，所以，
此时，点到直线：的距离，
所以△的面积．
考点：1、椭圆的简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系；3、椭圆的标准方程；4、点到直线的距离.
【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，属于难题．解决本类问题时，注意使用椭圆的几何性质，求得椭圆的标准方程；求三角形的面积需要求出底和高，在求解过程中要充分利用三角形是等腰三角形，进而知道定点与弦中点的连线垂直，这是解决问题的关键．临祧县2024年春季开学假期学习质量检测
高二数学
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 家住广州小明同学准备周末去深圳旅游，若从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳的不同的方法有（ ）
A. 240种 B. 180种 C. 120种 D. 90种
2. 已知等差数列满足，则（ ）
A. 3 B. 6 C. 2 D. 4
3. 等比数列中，，，则等于（ ）
A. B. C. 1 D.
4. 现有4名男生和4名女生排成一排，且男生和女生逐一相间的排法共有（ ）
A. B. C. D.
5. 双曲线的虚轴长为4，离心率，分别是它的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且│AB│是的等差中项，则│AB│等于（ ）
A. 8 B. 4 C. 2 D. 8
6. 已知圆C：，O为原点，则以为直径的圆方程为（ ）
A. B.
C D.
7. 如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面的宽度为，则此时欲经过桥洞的一艘宽的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过（ ）
A. B. C. D.
8. 在的展开式中x的系数为（ ）
A. 80 B. 240 C. -80 D. 160
二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9. 已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A. 圆的圆心坐标为 B. 直线过定点
C. 直线与圆相交且所截最短弦长为 D. 直线与圆可以相切
10. 已知直线被椭圆截得的弦长为，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定为的有（ ）
A B.
C. D.
11. 某师范大学5名毕业生到某山区的乡村小学工作.将这5名毕业生分配到该山区的A，B，C三所小学，每所学校至少分配1人.（ ）
A. 若甲不去A小学，则共有100种分配方法
B. 若甲、乙去同一所小学，则共有36种分配方法
C. 若有一所小学分配了3人，则共有90种分配方法
D. 共有120种分配方法
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 在如图所示的四个区域中，有5种不同的花卉可选，每个区域只能种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法共有_________种（用数字作答）
13. 已知点是椭圆某条弦中点，则此弦所在的直线的一般方程为_________.
14. 若双曲线的一条渐近线为，则过抛物线的焦点且垂直于轴的弦，与抛物线的顶点组成的三角形的面积为_______.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为．
（1）求边上的高所在的直线方程；
（2）求的面积．
16. 若，.
（1）求；
（2）求的值；
（3）求的值.
17. 已知10件不同的产品中有4件次品，现对这10件产品一一进行测试，直至找到所有次品.
（1）若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第8次测试时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试情况？
（2）若至多测试6次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？
18. 已知等差数列满足：的前项和为.
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）令，求数列的前项和.
19. 已知椭圆的离心率为，右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积.
