第2课时 排列的综合问题
1．要为5名游客和2名导游拍照留念，要求排成一排，且2位导游相邻，不同的排法共有( )
A．1 440种 B．960种
C．720种 D．240种
2．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
A．192种 B．216种
C．240种 D．288种
3．4名运动员参加4×100米接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有( )
A．12种 B．14种
C．16种 D．24种
4．身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，现将这4人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，不同的排法共有( )
A．4种 B．6种
C．8种 D．12种
5．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
A．3×3! B．3×(3！)3
C．(3！)4 D．9!
6．同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A，B，C三人两两不相邻，A和D是双胞胎，必须相邻，则不同的排法种数为( )
A．288 B．144 C．96 D．72
7．某次演出有6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定(可不相邻)，则不同的排法有________种．
8．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为__________．
9．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．
(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？
(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？
10．三个女生和五个男生排成一排．
(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
(5)如果男生甲、乙之间能且仅能站两女生，可有多少种不同的排法？
11．甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第一名至第五名(没有并列名次)．已知甲、乙均未得第一名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况有( )
A．27种 B．48种
C．54种 D．72种
12．某校迎春晚会由6个节目组成，为考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求，节目甲不排在第一位和最后一位，节目丙、丁必须排在一起，则该校迎春晚会节目演出顺序的编排方案共有( )
A．112种 B．120种
C．144种 D．180种
13．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次，讲座次序要求“礼”在第一次，“射”和“数”相邻，“射”和“御”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有( )
A．36种 B．48种
C．64种 D．84种
14.某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题．并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有________种不同的答题顺序．
15．在探索系数A，ω，φ，b对函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)图象的影响时，我们发现，系数A对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数φ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”．运用上述四种变换，若函数f(x)＝sin x的图象经过四步变换得到函数g(x)＝2sin＋1的图象，且已知其中有一步是向右平移个单位长度，则变换的方法共有( )
A．6种 B．12种
C．16种 D．24种
16．高一年级某班的数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课安排在同一天，每门课一节，上午四节，下午两节，数学课必须在上午，体育课必须在下午，数、理、化三门课中任意两门不相邻，但上午第四节和下午第一节不叫相邻，则不同的排法种数为多少？
第2课时 排列的综合问题
1．A [因为两位导游要相邻，因此将两位导游看作一个整体，内部排列有A种排法，将两位导游看作一个整体和其他人全排列有A种排法，
因此根据分步乘法计数原理，共有AA＝1 440(种)排法．]
2．B [第一类：甲在最左端，有A＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A＝4×4×3×2×1＝96(种)排法．所以共有120＋96＝216(种)排法．]
3．B [若不考虑限制条件，4名队员全排列共有A＝24(种)排法，减去甲跑第一棒的A＝6(种)排法，乙跑第4棒的A＝6(种)排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒的A＝2(种)排法，共有A－2A＋A＝14(种)不同的出场顺序．]
4．C [由题意得，先排穿红色衣服的2人，构成三个空，再把一个穿黄色衣服的安排在最中间的空中，把另一个穿黄色衣服的安排在两边的空中，所以共有AAA＝8(种)．]
5．C [利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为A·(A)3＝(3！)4.]
6．D [第一步，先将除A，B，C三人外的其余三人进行排序，有A种方法，第二步，因为A和D必须相邻，所以A只能插入与D相邻的两个空位，有2种方法，第三步，将B，C插入剩余三个空位，有A种方法，故共有A×2×A＝72(种)排法．]
7．120
解析 演出中的6个节目全排列有A＝6×5×4×3×2×1＝720(种)排法，
甲、乙、丙3个节目全排列有A＝3×2×1＝6(种)排法，
所以演出中的6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有＝＝120(种)．
8．24
解析 分3步进行分析，
①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A＝2(种)排法，
②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A＝2(种)排法，
③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A＝6(种)排法．
则共有2×2×6＝24(种)排法．
9．解 (1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A种排法，故共有不同排法AA＝14 400(种)．
(2)先不考虑排列要求，有A种排法，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有AA种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A－AA＝37 440(种)．
10．解 (1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有A种不同的排法，对于其中的每一种排法，三个女生之间又有A种不同的排法．因此共有A·A＝4 320(种)不同的排法．
(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻，由于五个男生排成一排有A种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有A种排法，因此共有A·A＝14 400(种)不同的排法．
(3)方法一 (位置分析法)因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有A种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有A种不同的排法，所以共有A·A＝14 400(种)不同的排法．
方法二 (间接法)三个女生和五个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A·A种排法和女生排在末位的A·A种排法，但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有A·A种不同的排法，所以共有A－2A·A＋A·A＝14 400(种)不同的排法．
方法三 (元素分析法)从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有A种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有A种不同的排法，所以共有A·A＝14 400(种)不同的排法．
(4)方法一 (位置分析法)因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有A·A种不同的排法；如果首位排女生，有A种排法，那么末位就只能排男生，这样可有A·A·A种不同的排法，因此共有A·A＋A·A·A＝36 000(种)不同的排法．
方法二 (间接法)三个女生和五个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除两端都是女生的排法A·A种，就得到两端不都是女生的排法种数．因此共有A－A·A＝36 000(种)不同的排法．
(5)男生甲、乙站好有A种站法，从3女生中选2人站在甲、乙之间有A种站法，
再把甲、乙及中间两女生看成一个整体捆绑在一起，和另外4人排成一队有A种站法，所以共有A·A·A＝1 440(种)不同的排法．
11．C [由题意知，乙的限制最多，故先排乙，有3种排法；再排甲，也有3种排法；余下3人有A种排法．故共有3×3×A＝54(种)不同的排法．]
12．C [利用间接法求解，先考虑将丙、丁排在一起，将这两个节目进行捆绑，形成一个大元素，共有AA＝240(种)编排方案．若甲排在第一位或最后一位，且丙、丁排在一起，将这两个节目进行捆绑，形成一个大元素，此时共有AAA＝96(种)编排方案．综上所述，符合条件的编排方案共有240－96＝144(种)．]
13．A [由题意，“礼”排第一，当“射”排第二或第六时，“数”只有一种次序，其余全排列，有2A种次序；当“射”排第三、四、五时，“数”有两种次序可选，“御”也有两种次序可选，其余全排列，有3AAA种次序．故“六艺”讲座不同的次序共有2A＋3AAA＝12＋24＝36(种)．]
14．60
解析 将6只灯笼全排列，即A种，
因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定，
取谜题的方法有＝60(种)．
15．B [根据题意，该图象变换的过程有振幅变换、周期变换、左右平移变换和上下平移变换共四步，
因为左右平移变换是向右平移个单位长度，
所以要求左右平移变换在周期变换之前，
所以变换的方法共有＝12(种)．]
16．解 分两类：
第1类，数学课在上午第一节或第四节共A种排法，体育课在下午共A种排法，理、化课安排在上午一节，下午一节有2A种排法，其余两门在余下的位置安排共A种．
由分步乘法计数原理知，共有A×A×2A×A＝32(种)排法；
第2类，数学课安排在上午第二节或第三节，共A种排法，体育课安排在下午有A种排法，理、化课安排在上午一节和下午一节，共A种排法，其余两门在余下的位置安排共A种排法．
由分步乘法计数原理知，共有A×A×A×A＝16(种)排法．
综上，由分类加法计数原理知，排法种数为N＝32＋16＝48.§6.2 排列与组合
6.2.1 排 列 6.2.2 排列数
第1课时 排列与排列数
1．下面问题中，是排列问题的是( )
A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合
2．若a∈N*，且a<20，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于( )
A．A B．A
C．A D．A
3．将《步步高》《创新设计》等三本不同的书按如图所示的方式放在一起，则《步步高》放在最上面或最下面的不同放法共有( )
A．2种 B．4种 C．6种 D．9种
4．某高校有4名志愿者参加社区志愿工作，若每天早、中、晚三班，每班1人，每人每天最多值一班，则值班当天不同的排班种数为( )
A．12 B．18 C．24 D．144
5．已知3A＝4A，则x等于( )
A．6 B．13 C．6或13 D．12
6．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个，分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同的值的个数是( )
A．9 B．10 C．18 D．20
7．从a，b，c，d，e 5个元素中每次取出3个元素，可组成________个以b为首的不同的排列，它们分别是________________________________________________________________．
8．若把英语单词“pear”的字母顺序写错了，则可能出现的错误有________种．
9．(1)解不等式：3A≤2A＋6A；
(2)求证：A＝AA.
10．已知一条铁路有8个车站，假设列车往返运行且每个车站均停靠上下客，记从A车站上车到B车站下车为1种车票(A≠B)．
(1)该铁路的客运车票有多少种？
(2)为满足客运需要，在该铁路上新增了n个车站，客运车票增加了54种，求n的值．
11．(多选)下列等式正确的是( )
A．(n＋1)A＝A B．A＝
C.＝(n－2)! D.A＝A
12．将4名志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小明不去花样滑冰项目，则不同的分配方案共有( )
A．12种 B．18种 C．24种 D．30种
13．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( )
A．120个 B．80个
C．40个 D．20个
14．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则可以表示不同的信号共________有种．
15．由四个不同的数字1,2,4，x组成无重复数字的三位数．
(1)若x＝9，则其中能被3整除的共有________个；
(2)若所有这些三位数的各位数字之和是252，则x＝________.
16．用数学0,1,2,3,4,5组成没有重复数字且大于201 345的六位数的个数为多少？
6.2.1 排 列 6.2.2 排列数
第1课时 排列与排列数
1．A [对于A，由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数，符合排列的定义，是排列问题；
对于B，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关，不是排列问题；
对于C, 从100人中选2人抽样调查，与顺序无关，不是排列问题；
对于D, 从1,2,3,4,5中选2个数组成集合，与顺序无关，不是排列问题．]
2．D [A＝＝(27－a)(28－a)·…·(34－a)．]
3．B [《步步高》放在最上面或最下面的不同放法共有2×1＋2×1＝4(种)．]
4．C [由题意知，值班当天不同的排班种数为A＝24.]
5．A [由题意得06．C [lg a－lg b＝lg ，从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为a，b，共有5×4＝20(种)，其中lg ＝lg ，lg ＝lg ，故其可得到18种结果．]
7．12 bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed
解析 画出树状图如图．
可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.
8．23
解析 因为“p，e，a，r”四个字母组成的全排列共有A＝4×3×2×1＝24(种)，其中只有排列“pear”是正确的，其余全是错误的，故可能出现的错误共有24－1＝23(种)．
9．(1)解 由题意可知，x∈N*且x≥3，
因为A＝x(x－1)(x－2)，
A＝(x＋1)x，A＝x(x－1)，
所以原不等式可化为3x(x－1)(x－2)≤2x(x＋1)＋6x(x－1)，整理得(3x－2)(x－5)≤0，
所以3≤x≤5，所以原不等式的解集为{3,4,5}．
(2)证明 左边＝A＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！，
右边＝AA＝n×(n－1)×(n－2)×…×(n－m＋1)×(n－m)×…×2×1＝n！，
所以A＝AA.
10．解 (1)铁路的客运车票有A＝8×7＝56(种)．
(2)在新增了n个车站后，共有(n＋8)个车站，因为客运车票增加了54种，则A－56＝54，
所以A＝(n＋8)(n＋7)＝110，
解得n＝3.
11．ACD [对于A，(n＋1)A＝(n＋1)·＝＝A，A正确；
对于B，A＝＝，B错误；
对于C，
＝＝(n－2)！，
C正确；
对于D，A＝·
＝＝A，
D正确．]
12．B [志愿者小明不去花样滑冰项目，则小明有3种分配方案，将另外3名志愿者分配剩下的3个项目，有A种分配方案，根据分步乘法计数原理可得不同的分配方案共有3A＝18(种)．]
13．C [由题意知，可按十位数字的取值进行分类：
第一类，十位数字取9，有A个；
第二类，十位数字取6，有A个；
第三类，十位数字取5，有A个；
第四类，十位数字取4，有A个．
所以“伞数”的个数为A＋A＋A＋A＝40.]
14．15
解析 分3类：第1类，用1面旗表示的信号有A种；
第2类，用2面旗表示的信号有A种；
第3类，用3面旗表示的信号有A种，
由分类加法计数原理，所求的信号种数为A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15，
即一共可以表示15种不同的信号．
15．(1)12 (2)7
解析 (1)因为当各数位上的数字之和能被3整除时，该数就能被3整除，
所以这种三位数只能由2,4,9或1,2,9排列组成，
所以共有2×A＝12(个)．
(2)显然x≠0，因为1,2,4，x在各个数位上出现的次数都相同，且各自出现A·A次，
所以这样的数字之和是
(1＋2＋4＋x)·A·A，
即(1＋2＋4＋x)·A·A＝252，
所以7＋x＝14，解得x＝7.
16．解 用数字0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字的六位数的个数为
5A＝600.
以1为十万位的没有重复数字的六位数的个数为A＝120，
由于201 345是以2为十万位的没有重复数字的六位数中最小的一个，
所以没有重复数字且大于201 345的六位数的个数为600－120－1＝479.
