6.2.3 组合+6.2.4 组合数 课时练(2份打包)(含解析)-2024春高中数学选择性必修3(人教版)

文档属性

名称 6.2.3 组合+6.2.4 组合数 课时练(2份打包)(含解析)-2024春高中数学选择性必修3(人教版)
格式 zip
文件大小 307.0KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2024-03-11 22:09:54

文档简介

第2课时 排列、组合的综合应用
1.甲、乙两人计划从A,B,C三个景点中各选择两个游玩,则两人所选景点不全相同的选法共有(  )
A.3种 B.6种
C.9种 D.12种
2.假如某大学给我市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额,则每所中学至少分到一个名额的方法数为(  )
A.30 B.21 C.10 D.15
3.若将9名会员分成三组讨论问题,每组3人,则不同的分组方法种数有(  )
A.CC B.AA
C. D.AAA
4.已知直线a,直线b,且a∥b,a上有5个点,b上有4个点,则以这九个点为顶点的三角形的个数为(  )
A.CC+CC B.(C+C)(C+C)
C.C-9 D.C-C
5.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为(  )
A.300 B.216
C.180 D.162
6.如图是由6个正方形拼成的矩形图案,从图中的12个顶点中任取3个顶点作为一组.其中可以构成三角形的组数为(  )
A.208 B.204
C.200 D.196
7.某地奥运火炬接力传递路线共分6段,传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方法共有________种.(用数字作答)
8.某地区安排A,B,C,D,E五名同志到三个地区开展消防安全宣传活动,每个地区至少安排一人,且A,B两人安排在同一个地区,C,D两人不安排在同一个地区,则不同的分配方法共有________种.
9.现有8名青年,其中有5名能胜任英语翻译工作,有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青年承担一项任务,其中3名从事英语翻译工作,2名从事德语翻译工作,则有多少种不同的选法?
10.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学,求:
(1)5名同学站成一排,有多少种不同的方法?
(2)5名同学站成一排,要求甲、乙必须相邻,丙、丁不能相邻,有多少种不同的方法?
(3)将5名同学分配到三个班,每班至少1人,共有多少种不同的分配方法?
11.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验,其中天和核心舱安排3人,问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验,则不同的安排方案共有(  )
A.8种 B.14种
C.20种 D.116种
12.甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加A,B,C三个企业的调研工作,每个企业去2人,且甲去B企业,乙不去C企业,则不同的派遣方案共有(  )
A.42种 B.30种 C.24种 D.18种
13.用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数,其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________.
14.已知不定方程x1+x2+x3+x4=12,则不定方程正整数解的组数为________.
15.(多选)某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加杭州亚运会志愿者服务活动,有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排,则以下说法错误的是(  )
A.若每人都安排一项工作,则不同的方法数为54
B.若每项工作至少有1人参加,则不同的安排方法种数为AC
C.每项工作至少有1人参加,甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方法的种数是CCA+CA
D.如果司机工作不安排,其余三项工作至少安排1人,则这5名同学全部被安排的不同方法数为(CC+CC)A
16.设有99本不同的书(用排列数、组合数作答).
(1)分给甲、乙、丙3人,甲得96本,乙得2本,丙得1本,共有多少种不同的分法?
(2)分给甲、乙、丙3人,甲得93本,乙、丙各得3本,共有多少种不同的分法?
(3)平均分给甲、乙、丙3人,共有多少种不同的分法?
(4)分给甲、乙、丙3人,一人得96本,一人得2本,一人得1本,共有多少种不同的分法?
(5)分给甲、乙、丙3人,一人得93本,另两人各得3本,共有多少种不同的分法?
(6)分成3份,一份96本,一份2本,一份1本,共有多少种不同的分法?
(7)平均分成3份,共有多少种不同的分法?
(8)分成3份,一份93本,另两份各3本,共有多少种不同的分法?
第2课时 排列、组合的综合应用
1.B [本题用排除法,甲、乙两人从A,B,C三个景点中各选两个游玩,共有C·C=9(种),但两人所选景点不能完全相同,所以排除3种完全相同的选择,故共有6种选法.]
2.D [用“隔板法”.在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板,有C=15(种)分配方法.]
3.C [此题为平均分组问题,有种分法.]
4.A [可以分为两类:a上取两点,b上取一点,则可构成三角形的个数为CC;a上取一点,b上取两点,则可构成三角形的个数为CC,利用分类加法计数原理可得以这九个点为顶点的三角形的个数为CC+CC.]
5.C [依题意知,可以分两类:
第一类,不取0,从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为CA=72;
第二类,取数字0,取2和4中的一个数字,再取2个奇数,组成无重复数字的四位数有CCCA=108(个).
由分类加法计数原理,得组成没有重复数字的四位数共有
72+108=180(个).]
6.C [任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种:一是3条横线上的4个点,其组数为3C;二是4条竖线上的3个点,其组数为4C;三是4条对角线上的3个点,其组数为4C,所以可以构成三角形的组数为C-3C-8C=200.]
7.96
解析 甲传第一棒,乙传最后一棒,共有A种方法.乙传第一棒,甲传最后一棒,共有A种方法.丙传第一棒,共有C·A种方法.由分类加法计数原理得,共有A+A+C·A=96(种)方法.
8.30
解析 ①将5人分为3组,要求A,B两人在同一组而C,D不在同一组,有C+(C-1)=5(种)分组方法;
②将分好的3组全排列,安排到三个地区,有A=6(种)安排方法;
由分步乘法计数原理,
则有5×6=30(种)不同的分配方法.
9.解 可以分三类:
第一类,两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作,有CC种选法;
第二类,两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作,有CC种选法;
第三类,两项工作都能胜任的青年不从事任何工作,有CC种选法.
根据分类加法计数原理,共有CC+CC+CC=42(种)不同的选法.
10.解 (1)有A=120(种)不同的方法.
(2)5名同学站成一排,要求甲、乙必须相邻,丙、丁不能相邻,则先将甲、乙捆绑,看成一个整体,有A种方法;
再将甲、乙看成整体(不考虑甲乙内部排列),与戊排列,有A种方法;
最后利用插空法,将丙、丁插入3个空隙中,有A种方法.
故有AAA=24(种)不同的方法.
(3)按人数分配方式分类:
①3,1,1,有A=60(种)方法;
②2,2,1,有A=90(种)方法.
故共有60+90=150(种)分配方法.
11.B [按照甲是否在天和核心舱划分,
①若甲在天和核心舱,天和核心舱需要从除了甲、乙之外的三人中选取两人,剩下两人去剩下两个舱位,则有C·A=6(种)安排方案;
②若甲不在天和核心舱,需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个,剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可,则有C·C=8(种)安排方案;
根据分类加法计数原理,共有6+8=14(种)安排方案.]
12.D [若甲、乙去同一企业,则甲、乙只能去B企业,剩下的4人平均分去两个企业,共有×A=6(种)派遣方案;
若甲、乙不去同一企业,分两步,第一步:先给甲、乙两人选同伴,有CC种,
第二步:将这三组分去三个企业,因为甲去B企业,乙不去C企业,所以共有1种分法,由分步乘法计数原理可得共有CC×1=12(种)派遣方案,
所以不同的派遣方案共有6+12=18(种).]
13.8
解析 首先排两个奇数1,3,有A种排法,再在2,4中取一个数放在1,3之间,有C种排法,然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列,有A种排法,即满足条件的四位数的个数为ACA=8.
14.165
解析 问题相当于将12个完全相同的小球放入4个不同的盒子,且每个盒子中至少放入1个小球,使用“隔板法”得不定方程正整数解的组数为C=165.
15.ABD [根据题意,依次分析选项:
对于A,安排5人参加4项工作,若每人都安排一项工作,每人有4种安排方法,则有45种安排方法,故A错误;
对于B,根据题意,分2步进行分析:先将5人分为4组,再将分好的4组全排列,安排4项工作,有CA种安排方法,故B错误;
对于C,根据题意,分2种情况讨论:①从丙、丁、戊中选出1人开车,②从丙、丁、戊中选出2人开车,则有CCA+CA种安排方法,C正确;
对于D,分2步分析:需要先将5人分为3组,有种分组方法,将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作,有A种情况,则有A种安排方法,
D错误.]
16.解 (1)甲得96本,有方法C种;乙得2本,有方法C种;丙得1本,有方法C种.不同的分法共有CCC种.
(2)与(1)类似,不同的分法共有CCC种.
(3)不同的分法共有CCC种.
(4)先把99本不同的书分成3份,一份96本,一份2本,一份1本;再将甲、乙、丙3人全排列,这是因为3人中谁都有得到96本、2本、1本的可能.不同的分法共有(CCC)A种.
(5)99本不同的书,分给甲、乙、丙3人,一人得93本,另两人各得3本,3人中,谁都有得到93本的可能.不同的分法共有A种.
(6)99本不同的书,分成3份,一份96本,一份2本,一份1本,3份的数量互不相同.不同的分法共有CCC种.
(7)99本不同的书,平均分成3份,每份33本.本问题是典型的平均分组问题,要排除重复.不同的分法共有种.
(8)99本不同的书,分成3份,一份93本,另两份各3本,两份3本的有重复,不同的分法共有种.6.2.3 组 合
6.2.4 组合数
第1课时 组合与组合数
1.(多选)下列问题中是组合问题的是(  )
A.10个朋友聚会,每两人握手一次,一共握手多少次
B.平面上有2 022个不同点,它们中任意三点不共线,连接任意两点可以构成多少条直线
C.集合{a1,a2,a3,…,an}的含有三个元素的子集有多少个
D.从高二(6)班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目,有多少种选法
2.(多选)方程C=C的解为(  )
A.x=4 B.x=5 C.x=6 D.x=9
3.(多选)在10件产品中,有2件次品,若从中任取3件,则下列结论错误的有(  )
A.“其中恰有2件次品”的取法有8种
B.“其中恰有1件次品”的取法有28种
C.“其中没有次品”的取法有56种
D.“其中至少有1件次品”的取法有56种
4.如图,在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形,能构成三角形的数量为(  )
A.220 B.200
C.190 D.170
5.(多选)下列式子成立的是(  )
A.C= B.A=mA
C.C=C+C D.C=C
6.某中学从4名男生和3名女生中选4人参加某高校自主招生考试,若这4人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有(  )
A.140种 B.120种
C.35种 D.34种
7.10个人分成甲、乙两组,甲组4人,乙组6人,则不同的分组种数为__________.(用数字作答)
8.计算:C+C+C+C=________.
9.现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名.
(1)现要从中选出2名去参加会议,有多少种不同的选法?
(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有多少种不同的选法?
10.现有10名学生,其中男生6名.
(1)从中选2名代表,必须有女生的不同选法有多少种?
(2)从中选4人,若男生中的甲与女生中的乙必须在内,则有多少种选法?
(3)从中选4人,若男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内,则有多少种选法?
11.新课程改革后,某地区普通高校招生方案规定:每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试,某省份规定物理或历史至少选一门,那么该省份每位考生的选法共有(  )
A.14种 B.15种 C.16种 D.17种
12.甲、乙、丙三人值班,从周一到周六按每人分别值班2天,若甲不在周一值班,则不同的排班方案有(  )
A.15种 B.30种
C.45种 D.60种
13.从5名男生和2名女生中选出3名代表,要求至少包含1名女生,则不同的选法有________种.
14.4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去1名,则不同的保送方案有________种.
15.某城市纵向有6条道路,横向有5条道路,构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路),则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有____条.
16.如图,在以AB为直径的半圆周上,有异于A,B的六个点C1,C2,C3,C4,C5,C6,直径AB上有异于A,B的四个点D1,D2,D3,D4.
(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个?其中含点C1的有多少个?
(2)以图中的12个点(包括A,B)中的4个点为顶点,可作出多少个四边形?
6.2.3 组 合
6.2.4 组合数
第1课时 组合与组合数
1.ABC [选项A,B,C与顺序无关,是组合问题;选项D与顺序有关,是排列问题.]
2.AD [由题意,得x=3x-8或x+3x-8=28,
且x满足不等式组
解得x=4或x=9.]
3.BD [抽到的3件产品中恰好有2件次品的取法有CC=8(种),A正确;
抽到的3件产品中恰好有1件次品的取法有CC=56(种),B错误;
抽到的3件产品中没有次品的取法有C=56(种),C正确;
抽到的3件产品中至少有1件次品的取法有CC+CC=64(种),
D错误.]
4.C [任取三个点有C种,其中三点共线的有3C种,故能构成三角形的数量为C-3C=190.]
5.ACD [根据排列和组合数公式,可知A成立;
A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),
A=(n-1)(n-2)…(n-m+1),
所以A=nA,故B不成立;
由组合数的性质,可知C成立;
C==·=C,故D成立.]
6.D [从7人中选4人,共有C=35(种)选法,4人全是男生的选法有C=1(种).故4人中既有男生又有女生的选法种数为35-1=34.]
7.210
解析 从10人中任选出4人作为甲组,
则剩下的人即为乙组,这是组合问题,
共有C=210(种)分法.
8.128
解析 C+C+C+C=2(C+C)
=2×
=2×
=2×(8+56)=128.
9.解 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,
即C==45.
(2)从6名男教师中选2名的选法有C种,从4名女教师中选2名的选法有C种,根据分步乘法计数原理,
因此共有C·C=×=90(种)不同的选法.
10.解 (1)方法一 (直接法)必须有女生可分两类:第一类,只有1名女生,共有CC=24(种);
第二类,有2名女生,
共有C=6(种),
根据分类加法计数原理,必须有女生的不同选法有24+6=30(种).
方法二 (间接法)去除2名代表都是男生的选法,必须有女生的不同选法有
C-C=45-15=30(种).
(2)从其余8人中选2人,
有C=28(种)不同选法.
(3)第一类:甲、乙只有1人被选,共有CC=112(种)不同选法;
第二类,甲、乙两人均被选,
有C=28(种)不同选法.
根据分类加法计数原理,男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内的选法有112+28=140(种).
11.C [物理或历史中选一门有CC=12(种)选法;
物理和历史都选有C=4(种)选法;
所以物理或历史至少选一门,那么该省份每位考生的选法共有12+4=16(种)选法.]
12.D [甲从周二至周六5天中选2天值班,有C种选法;乙可从剩下的4天中任选2天值班,有C种选法;丙选剩下的2天即可,有C种选法,故不同的排班方案共有CCC=60(种).]
13.25
解析 从5名男生和2名女生中,选出3名代表的方法总数为C=35,从5名男生和2名女生中,选出3名代表全是男生的方法数为C=10,所以从5名男生和2名女生中选出至少包含1名女生的方法数为35-10=25.
14.36
解析 把4名学生分成3组有C种方法,再把3组学生分配到3所学校有A种方法,故共有CA=36(种)保送方案.
15.126
解析 要使路线最短,只能向右或向上走,途中不能向左或向下走.因此,从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段,从9个行走时段中任取4个时段走纵线段,其余5个时段走横线段,共有CC=126(种)走法,故从A地到B地的最短路线共有126条.
16.解 (1)可分三种情况处理:
①在C1,C2,…,C6这六个点中任取三点构成一个三角形,有C个;
②在C1,C2,…,C6这六个点中任取一点,D1,D2,D3,D4这四个点中任取两点构成一个三角形,有CC个;
③在C1,C2,…,C6这六个点中任取两点,D1,D2,D3,D4这四个点中任取一点构成一个三角形,有CC个.
所以共有C+CC+CC=116(个).
其中含点C1的三角形有C=36(个).
(2)构成一个四边形,需要四个点,且无三点共线,
因此可分三种情况处理:
①在C1,C2,…,C6这六个点中任取四点构成一个四边形,有C个;
②在C1,C2,…,C6这六个点中任取三点,D1,D2,D3,D4,A,B这六个点中任取一点构成一个四边形,
有CC个;
③在C1,C2,…,C6这六个点中任取两点,D1,D2,D3,D4,A,B这六个点中任取两点构成一个四边形,
有CC个.
所以共有C+CC+CC=360(个).