6.3.1 二项式定理 课时练（含解析）-2024春高中数学选择性必修3（人教版）
文档属性
| 名称 | 6.3.1 二项式定理 课时练（含解析）-2024春高中数学选择性必修3（人教版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 60.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-11 22:10:53 | ||
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文档简介
§6.3 二项式定理
6.3.1 二项式定理
1．(x＋2)n的展开式共有16项，则n等于( )
A．17 B．16 C．15 D．14
2．若(1－2x)n的展开式中x3的系数为－160，则正整数n的值为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
3.6的展开式中的常数项为( )
A．60 B．－60
C．250 D．－250
4．(x－y)10的展开式中x6y4的系数是( )
A．840 B．－840
C．210 D．－210
5．若实数a＝2－，则a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210等于( )
A．32 B．－32
C．1 024 D．512
6．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是( )
A．－5 B．5 C．－10 D．10
7．若二项式(1＋2x)n的展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n＝________.
8.6的展开式的中间项为________．
9．已知n的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.
(1)求n的值；
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．
10．已知(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项与第11项的二项式系数和是第10项的二项式系数的2倍．
(1)求n的值；
(2)写出它展开式中的所有有理项．
11．对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为( )
A．3 B．6 C．9 D．21
12．若(ax＋y)5的展开式中x2y3项的系数等于80，则实数a等于( )
A．2 B．±2 C．2 D．±2
13．已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝______，a2＋a3＋a4＝______.
14．已知在n的展开式中，第9项为常数项，则
(1)n的值为________；
(2)含x的整数次幂的项有________个．
15．设二项式6(a>0)的展开式中，x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是______．
16．已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋2x)n(m，n∈N*)．
(1)若m＝3，n＝4，求f(x)g(x)的展开式中含x2的项；
(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，若h(x)的展开式中含x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？
6.3.1 二项式定理
1．C [∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有16项，∴n＝15.]
2．B [(1－2x)n的展开式的通项为Tk＋1＝C1n－k·(－2x)k＝(－2)kCxk，
又展开式中x3的系数为－160，
则(－2)3C＝－160，则C＝20，解得n＝6.]
3．A [6的展开式中的常数项为
C()4·2＝60.]
4．A [在通项Tk＋1＝Cx10－k(－y)k中，令k＝4，即得(x－y)10的展开式中x6y4的系数为C×(－)4＝840.]
5．A [a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210＝(a－2)10，
当a＝2－时，(a－2)10＝32.]
6．D [(1－x)5中x3项的系数为
－C＝－10，
－(1－x)6中x3项的系数为
－C·(－1)3＝20，
故在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，
含x3的项的系数为10.]
7．8
解析 (1＋2x)n的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)k＝C2kxk，又x3的系数等于x2的系数的4倍，所以C23＝4C22，所以n＝8.
8．－x3
解析 因为n＝6，所以展开式共有7项，所以中间项为第4项，
则展开式的中间项为
T4＝C(x2)33
＝C3x3＝－x3.
9．解 (1)因为T3＝C()n－22＝，
T2＝C()n－1＝
依题意得，4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81，
所以n2＝81，又n∈N*，故n＝9.
(2)二项式9的展开式的通项为
Tk＋1＝C()9－kk＝
令＝3，解得k＝1，
所以含x3的项为T2＝－2Cx3＝－18x3.
二项式系数为C＝9.
10．解 (1)(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C，C，C.
依题意得，＋＝2·，
化简得90＋(n－9)(n－8)
＝20(n－8)，
即n2－37n＋322＝0，
解得n＝14或n＝23，
因为n<15，所以n＝14.
(2)二项式(＋)14的展开式的通项为
当且仅当k是6的倍数时，
展开式中的项是有理项，
又0≤k≤14，k∈N，
所以展开式中的有理项共3项，
分别是
k＝0，T1＝Cx7＝x7；
k＝6，T7＝Cx6＝3 003x6；
k＝12，T13＝Cx5＝91x5.
11．B [∵x3＝(x－2＋2)3
＝C(x－2)3＋C(x－2)2×2＋
C(x－2)×22＋C×23
＝8＋12(x－2)＋6(x－2)2＋(x－2)3，
∴a2＝6.]
12．D [展开式的通项公式是
Tk＋1＝C·(ax)5－k·yk，
当k＝3时，x2y3项的系数为C·a2＝80，
解得a＝±2.]
13．5 10
解析 (x－1)3的展开式的通项为Tr＋1＝Cx3－r·(－1)r，(x＋1)4的展开式的通项为Tk＋1＝Cx4－k，
则a1＝C＋C＝1＋4＝5，
a2＝C(－1)1＋C＝3，
a3＝C(－1)2＋C＝7，
a4＝C(－1)3＋C＝0.
所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.
14．(1)10 (2)6
解析 二项展开式的通项为Tk＋1＝Cn－k·k＝(－1)kn－k
(1)因为第9项为常数项，
所以当k＝8时，2n－k＝0，
解得n＝10.
(2)要使20－k为整数，需k为偶数，
由于k＝0，1,2,3，…，9,10，
故符合要求的项有6个．
15．2
解析 二项式6(a>0)的展开式的通项为Tk＋1＝Cx6－kk＝
令6－k＝3，得k＝2；令6－k＝0，得k＝4，
∴B＝C(－a)4，A＝C(－a)2.
∵B＝4A，a>0，∴a＝2.
16．解 (1)当m＝3，n＝4时，
f(x)g(x)＝(1＋x)3(1＋2x)4.
(1＋x)3的展开式的通项为Cxr，
(1＋2x)4的展开式的通项为C(2x)k，
f(x)g(x)的展开式中含x2的项为1×C(2x)2＋Cx×C(2x)＋Cx2×1＝51x2.
(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n.
因为h(x)的展开式中含x的项的系数为12，
所以C＋2C＝12，即m＋2n＝12，
所以m＝12－2n.
x2的系数为C＋4C＝C＋4C
＝(12－2n)(11－2n)＋2n(n－1)
＝4n2－25n＋66＝42＋，n∈N*，
所以当n＝3，m＝6时，
含x2的项的系数取得最小值．
6.3.1 二项式定理
1．(x＋2)n的展开式共有16项，则n等于( )
A．17 B．16 C．15 D．14
2．若(1－2x)n的展开式中x3的系数为－160，则正整数n的值为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
3.6的展开式中的常数项为( )
A．60 B．－60
C．250 D．－250
4．(x－y)10的展开式中x6y4的系数是( )
A．840 B．－840
C．210 D．－210
5．若实数a＝2－，则a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210等于( )
A．32 B．－32
C．1 024 D．512
6．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是( )
A．－5 B．5 C．－10 D．10
7．若二项式(1＋2x)n的展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n＝________.
8.6的展开式的中间项为________．
9．已知n的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.
(1)求n的值；
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．
10．已知(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项与第11项的二项式系数和是第10项的二项式系数的2倍．
(1)求n的值；
(2)写出它展开式中的所有有理项．
11．对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为( )
A．3 B．6 C．9 D．21
12．若(ax＋y)5的展开式中x2y3项的系数等于80，则实数a等于( )
A．2 B．±2 C．2 D．±2
13．已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝______，a2＋a3＋a4＝______.
14．已知在n的展开式中，第9项为常数项，则
(1)n的值为________；
(2)含x的整数次幂的项有________个．
15．设二项式6(a>0)的展开式中，x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是______．
16．已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋2x)n(m，n∈N*)．
(1)若m＝3，n＝4，求f(x)g(x)的展开式中含x2的项；
(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，若h(x)的展开式中含x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？
6.3.1 二项式定理
1．C [∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有16项，∴n＝15.]
2．B [(1－2x)n的展开式的通项为Tk＋1＝C1n－k·(－2x)k＝(－2)kCxk，
又展开式中x3的系数为－160，
则(－2)3C＝－160，则C＝20，解得n＝6.]
3．A [6的展开式中的常数项为
C()4·2＝60.]
4．A [在通项Tk＋1＝Cx10－k(－y)k中，令k＝4，即得(x－y)10的展开式中x6y4的系数为C×(－)4＝840.]
5．A [a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210＝(a－2)10，
当a＝2－时，(a－2)10＝32.]
6．D [(1－x)5中x3项的系数为
－C＝－10，
－(1－x)6中x3项的系数为
－C·(－1)3＝20，
故在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，
含x3的项的系数为10.]
7．8
解析 (1＋2x)n的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)k＝C2kxk，又x3的系数等于x2的系数的4倍，所以C23＝4C22，所以n＝8.
8．－x3
解析 因为n＝6，所以展开式共有7项，所以中间项为第4项，
则展开式的中间项为
T4＝C(x2)33
＝C3x3＝－x3.
9．解 (1)因为T3＝C()n－22＝，
T2＝C()n－1＝
依题意得，4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81，
所以n2＝81，又n∈N*，故n＝9.
(2)二项式9的展开式的通项为
Tk＋1＝C()9－kk＝
令＝3，解得k＝1，
所以含x3的项为T2＝－2Cx3＝－18x3.
二项式系数为C＝9.
10．解 (1)(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C，C，C.
依题意得，＋＝2·，
化简得90＋(n－9)(n－8)
＝20(n－8)，
即n2－37n＋322＝0，
解得n＝14或n＝23，
因为n<15，所以n＝14.
(2)二项式(＋)14的展开式的通项为
当且仅当k是6的倍数时，
展开式中的项是有理项，
又0≤k≤14，k∈N，
所以展开式中的有理项共3项，
分别是
k＝0，T1＝Cx7＝x7；
k＝6，T7＝Cx6＝3 003x6；
k＝12，T13＝Cx5＝91x5.
11．B [∵x3＝(x－2＋2)3
＝C(x－2)3＋C(x－2)2×2＋
C(x－2)×22＋C×23
＝8＋12(x－2)＋6(x－2)2＋(x－2)3，
∴a2＝6.]
12．D [展开式的通项公式是
Tk＋1＝C·(ax)5－k·yk，
当k＝3时，x2y3项的系数为C·a2＝80，
解得a＝±2.]
13．5 10
解析 (x－1)3的展开式的通项为Tr＋1＝Cx3－r·(－1)r，(x＋1)4的展开式的通项为Tk＋1＝Cx4－k，
则a1＝C＋C＝1＋4＝5，
a2＝C(－1)1＋C＝3，
a3＝C(－1)2＋C＝7，
a4＝C(－1)3＋C＝0.
所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.
14．(1)10 (2)6
解析 二项展开式的通项为Tk＋1＝Cn－k·k＝(－1)kn－k
(1)因为第9项为常数项，
所以当k＝8时，2n－k＝0，
解得n＝10.
(2)要使20－k为整数，需k为偶数，
由于k＝0，1,2,3，…，9,10，
故符合要求的项有6个．
15．2
解析 二项式6(a>0)的展开式的通项为Tk＋1＝Cx6－kk＝
令6－k＝3，得k＝2；令6－k＝0，得k＝4，
∴B＝C(－a)4，A＝C(－a)2.
∵B＝4A，a>0，∴a＝2.
16．解 (1)当m＝3，n＝4时，
f(x)g(x)＝(1＋x)3(1＋2x)4.
(1＋x)3的展开式的通项为Cxr，
(1＋2x)4的展开式的通项为C(2x)k，
f(x)g(x)的展开式中含x2的项为1×C(2x)2＋Cx×C(2x)＋Cx2×1＝51x2.
(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n.
因为h(x)的展开式中含x的项的系数为12，
所以C＋2C＝12，即m＋2n＝12，
所以m＝12－2n.
x2的系数为C＋4C＝C＋4C
＝(12－2n)(11－2n)＋2n(n－1)
＝4n2－25n＋66＝42＋，n∈N*，
所以当n＝3，m＝6时，
含x2的项的系数取得最小值．