第2课时 二项式定理的综合应用
1．(x2＋2)5的展开式的常数项是( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
2．设n∈N*，则C×1n×80＋C×1n－1×81＋C×1n－2×82＋C×1n－3×83＋…＋C×11×8n－1＋C×10×8n除以9的余数为( )
A．0 B．8 C．7 D．2
3．(x3－2x2＋x)3的展开式中x6的系数为( )
A．－1 B．1 C．－20 D．20
4．当n为正奇数时，7n＋C·7n－1＋C·7n－2＋…＋C·7被9除所得的余数是( )
A．0 B．2 C．7 D．8
5．已知(3x－1)(x＋1)n的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含x2的项的系数为( )
A．25 B．3 C．5 D．33
6．若(x2－a)10的展开式中含x6的项的系数为30，则a等于( )
A. B. C．1 D．2
7.3的展开式中的常数项是________．
8．已知(2x＋my)(x－y)5的展开式中x2y4的系数为－20，则m的值为________．
9．用二项式定理证明1110－1能被100整除．
10．在二项式n的展开式中，第3项和第4项的二项式系数之比为.
(1)求n的值及展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大的项是第几项．
11．若二项式(1＋ax＋x2)(1－x)8的展开式中含x2的项的系数为21，则a等于( )
A．3 B．2 C．1 D．－1
12．若(2＋ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为( )
A．(2,3) B.
C．[2,3] D.
13．(多选)已知n的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为0，则( )
A．n＝9
B.n的展开式中的有理项有5项
C.n的展开式中偶数项的二项式系数和为512
D．(7－a)n除以9余8
14．若(2－x)(x＋a)6的展开式中x5的系数为－3，则实数a＝________.
15．(多选)对于二项式nn(n∈N*)，以下判断正确的有( )
A．存在n∈N*，使展开式中有常数项
B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项
D．存在n∈N*，使展开式中有x的一次项
16．已知二项式n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n≥3且n∈N*)．若|an－2|，|an－1|，|an|成等差数列．
(1)求n的展开式的中间项；
(2)求|ai|(i＝0,1,2，…，n)的最大值．
第2课时 二项式定理的综合应用
1．D [5的展开式的通项为
Tk＋1＝C5－k(－1)k
＝(－1)kC.
令10－2k＝2或10－2k＝0，
解得k＝4或k＝5.
故(x2＋2)5的展开式的常数项是
(－1)4×C＋2×(－1)5×C＝3.]
2．A [因为C×1n×80＋C×1n－1×81＋C×1n－2×82＋C×1n－3×83＋…＋C×11×8n－1＋C×10×8n＝(1＋8)n＝9n，所以除以9的余数为0.]
3．C [(x3－2x2＋x)3＝x3(x－1)6，因此所求x6的系数即为(x－1)6的展开式中x3的系数，
由二项式定理知系数为
C(－1)3＝－20.]
4．C [原式＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C·9n－1＋C·9n－2－…＋C·9(－1)n－1＋(－1)n－1，除最后两项外，其余各项都是9的倍数．因为n为正奇数，所以(－1)n－1＝－2＝－9＋7，所以余数为7.]
5．C [令x＝1可得展开式中所有项的系数之和为2n＋1＝64，故n＝5，
又(x＋1)5的展开式的通项为Tk＋1＝C·x5－k，则展开式中含x2的项的系数为3C－C＝5.]
6．D [10的展开式的通项是
Tk＋1＝Cx10－kk＝Cx10－2k，
10的展开式中含x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)项的系数分别为C，C.
因为(x2－a)10的展开式中含x6的项由x2与10的展开式中含x4的项的乘积以及－a与10的展开式中含x6的项的乘积两部分构成，
因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，
解得a＝2.]
7．－20
解析 3＝3＝，上述式子展开式中的常数项只有一项，
为＝－20，
所以3的展开式中的常数项为－20.
8．3
解析 (2x＋my)(x－y)5
＝2x(x－y)5＋my(x－y)5，
因为(x－y)5的展开式中xy4的系数为C，x2y3的系数为－C，
所以(2x＋my)(x－y)5的展开式中x2y4的系数为2C－mC＝－20，
解得m＝3.
9．证明 1110－1＝(10＋1)10－1
＝C1010＋C109＋C108＋…＋C10＋C－1
＝C1010＋C109＋C108＋…＋C10
＝100(108＋C107＋C106＋…＋1)
显然上式括号内的数是正整数，
所以1110－1能被100整除．
10．解 (1)二项式n的展开式的通项为Tk＋1＝Cxn－kk＝Ck，
因为第3项和第4项的二项式系数之比为，
所以＝，整理得10C＝3C，解得n＝12，
所以Tk＋1＝Ck，
令12－k＝0，得k＝9，
所以常数项为C9＝.
(2)设展开式中系数最大的项是第k＋1项，则
即解得≤k≤，
因为k∈N*，所以k＝4，
所以展开式中系数最大的项是第5项．
11．C [由题意得x2的系数为1×C×(－1)2＋a×C×(－1)＋1×C＝21，解得a＝1.]
12．C [由于二项式(2＋ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512，
所以2n＝512，n＝9，
即(2＋ax)9(a≠0)，
展开式的通项为
Tk＋1＝C·29－k·(ax)k＝ak·29－k·C·xk，
依题意可知
解得2≤a≤3.]
13．ABD [因为第4项与第7项的二项式系数相等，所以C＝C，由组合数的性质知n＝9，故A正确；
因为9的展开式的各项系数之和为0，令x＝1，得(1＋a)9＝0，所以a＝－1，
所以9的展开式的通项为
令18－k为整数，
得k＝0,2,4,6,8，
所以展开式中的有理项有5项，故B正确；
展开式中偶数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝28＝256，故C错误；
由A知n＝9，由B知a＝－1，
则(7－a)n＝(7＋1)9＝89
＝(9－1)9＝C99－C98＋…＋C9－1
＝9(C98－C97＋…＋C－1)＋8，
所以(7－a)n除以9余8，故D正确．]
14．－或1
解析 因为(x＋a)6的展开式的通项为Tk＋1＝Cx6－kak(0≤k≤6)且k∈Z，
所以(2－x)(x＋a)6的展开式中x5的系数为2Ca－Ca2
＝12a－15a2＝－3，
所以5a2－4a－1＝0，
即(5a＋1)(a－1)＝0，
所以a＝－或a＝1.
15．AD [n的展开式的通项为Tr＋1＝C·3r·，r＝0,1,2，…，n，
n的展开式的通项为Tk＋1＝C·x4k－n，k＝0,1,2，…，n.
则二项式nn(n∈N*)的展开式的通项为C·3r··C·x4k－n，
未知数x的次数为＋4k－n＝－－＋4k，
令－－＋4k＝0，即3r＋n＝8k，r＝1，k＝1，n＝5是其中一组解，此时，C·3r··C·x4k－n＝C×3×C＝75，故展开式中有常数项，且常数项的系数不为0，故A正确，B错误；
令－－＋4k＝1，即3r＋n＋2＝8k，r＝0，k＝1，n＝6是其中一组解，此时，C·3r··C·x4k－n＝C×30×x3×C×x－2＝6x，故展开式中有x的一次项，且一次项的系数不为0，故D正确，C错误．]
16．解 (1)二项式n的通项为Tk＋1＝Cn－k(－x)k
＝Cn－k(－1)kxk，k＝0,1,2，…，n，
则an＝C(－1)n＝(－1)n，
an－1＝C(－1)n－1
＝(－1)n－1，
an－2＝C2(－1)n－2
＝(－1)n－2，
由题意知2|an－1|＝|an－2|＋|an|，
即2×＝1＋，
即n2－9n＋8＝0，
解得n＝1(舍去)或n＝8.
则8的展开式的中间项是
T5＝C4(－1)4x4＝x4.
(2)设|ar|最大，则有
即解得5≤r≤6，
又r∈N*，则r＝5或6.
所以|ai|(i＝0,1,2，…，n)的最大值为|a5|＝|a6|
＝＝7.6.3.2 二项式系数的性质
第1课时 二项式系数的性质
1．已知n的二项展开式中，第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为( )
A．212 B．312 C．310 D．210
2．若(x＋3y)n展开式的各项系数和等于(7a＋b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为( )
A．5 B．8 C．10 D．15
3．(多选)已知n展开式中各项的系数之和为－512，则该展开式中二项式系数最大的项是( )
A．第4项 B．第5项
C．第6项 D．第7项
4．已知关于x的二项式n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为( )
A．1 B．±1 C．2 D．±2
5．已知n的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项为( )
A．第3项 B．第4项
C．第5项 D．第6项
6．(多选)设(2x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a7x7，则下列结论正确的是( )
A．a2＋a5＝588
B．a1＋a2＋…＋a7＝1
C．a1＋a3＋a5＋a7＝
D．|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37－1
7．若n展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________．
8．设(3x－2)6＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a6(2x－1)6，则＝________.
9．在二项式n的展开式中，若第4项的系数与第7项的系数比为－1∶14，求：
(1)二项展开式中的各项的二项式系数之和；
(2)二项展开式中的各项的系数之和．
10．设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：
(1)a1＋a2＋a3＋a4；
(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2；
(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|.
11．若(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋…＋a2 023x2 023(x∈R)，则＋＋…＋的值为( )
A．2 B．0 C．－2 D．－1
12．(多选)若n的二项展开式共有8项，则该二项展开式中( )
A．各项二项式系数和为128
B．项数为奇数的各项系数和为－64
C．有理项共有4项
D．第4项与第5项的系数相等且最大
13．已知(1＋x)3＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N，且n≥3)．若a1＋a2＋a3＋…＋an＝134，则a3＝________.
14．已知(2x－1)n的二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C＋C＋C＋…＋C＝________.
15．已知(1＋x)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一个递增数列，则k的最大值是( )
A．6 B．7 C．8 D．5
16．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角．
(1)求第20行中从左到右的第4个数；
(2)在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15，在第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，一般地有这样的结论：第m－1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数．
试用含有m，k(m，k∈N*)的数学公式表示上述结论，并给予证明．
6.3.2 二项式系数的性质
第1课时 二项式系数的性质
1．C [因为n的二项展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10，令x＝1，得所有项的系数之和为310.]
2．A [(7a＋b)10的展开式的二项式系数之和为210，令x＝1，y＝1，
得(x＋3y)n展开式的各项系数之和为4n，则由题意知，4n＝210，
解得n＝5.]
3．BC [令x＝1，得各项的系数之和为n＝(－2)n＝－512，
解得n＝9，
即n＝9，
所以该展开式中二项式系数最大为C和C，故二项式系数最大的项是第5项和第6项．]
4．C [由题意知2n＝32，即n＝5，在二项展开式的通项Tk＋1＝C()5－kk＝中，令15－5k＝0，得k＝3.
所以Ca3＝80，解得a＝2.]
5．B [n的展开式的通项为Tk＋1＝C()n－k·k＝C·2k·，
第3项为T3＝C·22·，其系数为C·22，
倒数第3项为Tn－1＝C·2n－2·，其系数为C·2n－2，
由题意得，＝24－n＝＝2－2，所以n＝6，
所以展开式中二项式系数最大的项为第4项．]
6．ACD [因为(2x－1)7展开式的通项为
Tk＋1＝C(2x)7－k(－1)k
＝C(－1)k27－kx7－k，
又(2x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a7x7，
所以a2＝C(－1)527－5＝－84，
a5＝C(－1)227－2＝672，
则a2＋a5＝588，故A正确；
令x＝1，则(2－1)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a6＋a7＝1，
令x＝0，则(0－1)7＝a0＝－1；
令x＝－1，则(－2－1)7＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝－37，
故a1＋a2＋…＋a7＝1－a0＝2，故B错误；
a1＋a3＋a5＋a7＝－
＝，故C正确；
|a1|＋|a2|＋…＋|a7|
＝a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7
＝－(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7)＋a0＝37－1，故D正确．]
7．10
解析 令x＝1，得2n＝32，故n＝5.
Tk＋1＝C(x2)5－kk
＝Cx10－2k－3k＝Cx10－5k，
令10－5k＝0，得k＝2.
故展开式中的常数项为T3＝C＝10.
8．－
解析 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1；令x＝0，得a0－a1＋a2－…＋a6＝64，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝－63，两式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝65，
故＝－.
9．解 二项式n的展开式的通项为
Tk＋1＝C()n－kk＝
∵C(－2)3∶C(－2)6＝－1∶14，∴n＝10.
(1)C＋C＋…＋C＝210＝1 024.
(2)令x＝1，得各项系数之和为(－1)10＝1.
10．解 (1)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，
令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1，
令x＝0，得(0－3)4＝a0＝81，
所以a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0
＝1－81＝－80.
(2)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，
令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4.①
令x＝－1，得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.②
所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2
＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)
＝(－2－3)4(2－3)4
＝(2＋3)4(2－3)4＝625.
(3)由展开式知a0，a2，a4为正，a1，a3为负，
所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝－a1＋a2－a3＋a4
＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a0
＝625－81＝544.
11．D [(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋…＋a2 023x2 023，
令x＝0，得a0＝1，
令x＝，得a0＋＋＋…＋＝0，
所以＋＋…＋＝－1.]
12．AC [因为n的二项展开式共有8项，故n＝7，则二项式系数和为2n＝27＝128，故A正确；7的展开式的通项为Tk＋1＝，故项数为奇数的各项系数和为C＋C＋C＋C＝64，故B错误；根据Tk＋1＝，当k取0,2,4,6时，Tk＋1＝为有理项，共有4项，故C正确；T4＝，T5＝Cx，第4项与第5项的系数互为相反数，故D错误．]
13．36
解析 对于(1＋x)3＋(1＋x)n
＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N，且n≥3)，
令x＝0，得a0＝2；
令x＝1，得(1＋1)3＋(1＋1)n＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋an＝2＋134，
即2n＝128，n＝7，
故a3＝C×10＋C×14＝36.
14．255
解析 设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.
则A＝a1＋a3＋a5＋…，
B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….
由已知，B－A＝38.
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，
即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，
即B－A＝(－3)n.
∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.
由二项式系数的性质，可得
C＋C＋C＋…＋C＝2n－C
＝28－1＝255.
15．A [由二项式定理，知ak＝C(k＝1，2,3，…，11)，因为(1＋x)10的展开式中二项式系数最大的项是第6项，所以k的最大值为6.]
16．解 (1)C＝1 140.
(2)C＋C＋…＋C
＝C.
证明如下：
左边＝C＋C＋…＋C
＝C＋C＋…＋C
＝…＝C＋C＝C
＝右边．
