浙江省浙南名校2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷（含解析）

浙江省浙南名校2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知抛物线的焦点在直线上,则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2．已知向量,,则在上的投影为( )
A. B. C. D.
3．已知点及直线上一点B,则的值不可能是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4．已知数列是各项为正的等比数列,前项和为,且,,则( )
A. B. C.1 D.
5．若圆与圆只有一个交点,则实数a的值可以是( )
A. B. C.1 D.2
6．已知的三个内角分别为A,B,C,则的值可能是( )
A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1
7．圆锥曲线具有丰富的光学性质,在人教版A版选择性必修第一册的阅读与思考中提到了椭圆的光学性质:从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线交于椭圆的另一个焦点上,(如图1).如图2,已知为椭圆的左焦点,O为坐标原点,直线l为椭圆C的任一条切线,H为在l上的射影,则点H的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲性 D.抛物线
8．已知,,,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知m,,则方程表示的曲线可能是( )
A.两条直线 B.圆
C.焦点在x轴的椭圆 D.焦点在y轴的双曲线
10．如图,已知四棱锥中,平面ABCD,底面ABCD为正方形,,Q为线段BC上一点(含端点),则直线PQ与平面PCD所成角不可能是( )
A.0 B. C. D.
11．已知数列为等差数列,,,前n项和为,数列满足,则下列结论正确的是( )
A.数列为等比数列
B.数列为等差数列
C.数列中任意三项不能构成等比数列
D.数列中可能存在三项成等比数列
12．如图,已知棱长为2的正方体,点P是棱AB的中点,过点P作正方体的截面,关于下列判断正确的是( )
A.截面的形状可能是正三角形
B.截面的形状可能是直角梯形
C.此截面可以将正方体体积分成
D.若截面的形状是六边形,则其周长为定值
三、填空题
13．某校新建一个报告厅,要求容纳800个座位,第一排21个座位,从第2排起后一排都比前一排多两个位置,那么这个报告厅共有__________排座位.
14．设曲线在点处的切线与直线垂直,则实数a的值为__________.
15．已知正四面体ABCD,点M为棱CD的中点,则异面直线AM与BC所成角的余弦值为__________.
16．已知点P是直线上一点,点Q是椭圆上一点,设点为线段PQ的中点,O为坐标原点,若的最小值为,则椭圆的离心率为__________.
四、解答题
17．设,函数.
（1）若有且只有一个零点,求a的取值范围;
（2）若的一个极值点为1,求函数的极值.
18．如图,已知等腰三角形ABC中,,D是AC的中点,且,.
（1）求点A的轨迹T的方程;
（2）设AC所在直线与轨迹T的另一个交点为E,当面积最大且A在第一象限时,求.
19．如图,是边长为2的等边三角形,且,.
（1）若点A到平面BDE的距离为1,求DE;
（2）若,且,求直线AD与平面DCE所成角的正弦值.
20．记为数列的前n项和,已知,且,,成等比数列.
（1）写出,并求出数列的通项公式;
（2）记为数列的前n项和,若对任意的,恒成立,求a的取值范围.
21．已知函数.
（1）当时,求函数的单调区间;
（2）当时,求证:.
22．已知等轴双曲线C过定点,直线l与双曲线C交于P,Q两点,记,,,且.
（1）求等轴双曲线C的标准方程;
（2）证明:直线l过定点.
参考答案
1．答案：B
解析：抛物线的焦点坐标为,代入直线得,解得.
2．答案：C
解析：根据题意,向量,,
则,,
故在上的投影为,
故选:C.
3．答案：A
解析：由题意知,点到直线的距离,
所以.答案:A
4．答案：C
解析：因为数列是各项为正的等比数列,,,
所以,
故,
解得,.
故选:C.
5．答案：D
解析：圆的圆心为,半径为,
圆的圆心为,半径为,
圆与圆只有一个交点,
两圆内切或外切,
圆心距,或,
分别把,,,代入验证,只有成立.
故选:D.
6．答案：D
解析：由得:,
故选D
7．答案：A
解析：解法一:设切线l与椭圆C相切于点,则切线l的方程是,
则直线的方程是,
,故点H的轨迹是圆.故选A
解法二:如图,设切线l与椭圆C相切于点P,过右焦点
作于M,延长MO与直线交于点N,易知,
由椭圆光学性质知,
设,
则,
,所以,
故,故选A.
8．答案：B
解析：,,
构造函数,,;,
则,,
由于(当且仅当时取等号)恒成立,故
由于(当且仅当时取等号)恒成立,
故（当且仅当时取等号）
即(当且仅当时取等号),故
构造函数,
,,
,当时,
在上单调递减,
在上单调递减,
在上单调递减
,,,综上,选B
9．答案：ABC
解析：
10．答案：CD
解析：
11．答案：BC
解析：（1）设数列的公差为d,
,,
数列为等差数列,又数列为等差数列
数列为等差数列.故B正确,A错误;
（2）(反证法)假设数列中存在三项,,(m,n,,且能构成等比数列,即成立.由（1）得,
整理得:
,
,与矛盾,
数列中任意三项不能构成等比数列,故C正确,同理可知,D错误.
12．答案：AC
解析：如图（1）,M,N分别为所在棱中点,A正确;
当截面是梯形时如图（2）,如果为直角梯形,则,又,故面,,矛盾,形状不可能为直角梯形,错误;
如图（3）,Q为所在棱中点,截面将正方体分成,C正确;
如图（4） （5）,当截面是六边形时,可以是正六边形,也可以是一般的六边形,周长不是定值,D错误.
13．答案：20
解析：设报告厅的座位从第一排到最后一排,各排的座位数构成数列,设其前n项和为,
则,
所以数列是首项为21,公差为2的等差数列,且,
所以,
解得或(舍去),
即这个报告厅共有20排座位.
故答案为:20.
14．答案：
解析：的导数为,
曲线在点处的切线斜率为,
由切线与直线垂直,
可得,
解得,
故答案为:.
15．答案：
解析：正四面体ABCD的棱长设为2,则
,,
异面直线AM与BC所成角的余弦值为
16．答案：
解析：直线关于原点的对称直线为,记直线OP与直线的交点为,连结,
则,设,,,
,或24
当时,与椭圆相交,最小值为0,与矛盾,舍去.
当时,符合要求,此时,,椭圆离心率.
17．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）,若有且只有一个零点,则这个唯一零点一定是0
故,,即函数无零点;
,
（2）
的一个极值点为1,,
,
当时,,单调递减
当,时,,单调递增
,
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）,
即.
（2）由题意,
,AC所在直线方程为
圆心到直线AC的距离
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）是边长为2的等边三角形,又,,
中,,
点A到平面BDE的距离为1,不妨设平面BDE的法向量为
则
又,即,
平面BDE,
,又,,
（2）由（1）知,,,
又,且,平面BDE
又,,,,,
设CE中点为H,则,又,且,
,且,平面BDE;
设BE中点为O,则,
因此,OD,OE,OH两两垂直;
如图建系;则,,,
,,
,;
设平面DCE的法向量为,则,,
,,取,则
.
20．答案：
解析：（1）由,,成等比数列得,且,
当时;
当时,,又
,
,
（2）解法一:由（1）易得,
则,故,
,而
,.
解法二:设,则;
是一个等比数列
,
,而
,.
21．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）当时,,
,故在单调递增,
又,时,,时,
函数的单调递减区间为,单调递增区间为
（2）当时,
令,则,
在单调递增,又,,
,使得,且是在上的唯一零点,
在上为负,在上为正,
故在处取到极小值,也就是最小值.
,即,,
当时,求证:.
22．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）设等轴双曲线;
过,,的标准方程为.
（2）证明:设直线l的方程为;
联立方程:
设,,则;;
化简整理得:
,
,
或
当,直线l恒过定点;
当,直线l恒过定点,故舍去.
综上所述,命题得证.