广东省湛江市雷州市重点中学2023-2024学年高二下学期数学开学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高二下·雷州开学考）设全集则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可知：，故.
故答案为：C.
【分析】根据集合的补集、交集运算求解即可.
2．（2024高二下·雷州开学考）设复数且，则实数t等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为复数，所以，
所以z1，因为，所以，即.
故答案为：B.
【分析】易得，利用复数的乘法运算求，再由列式求解即可.
3．（2024高二下·雷州开学考）在棱长为1的正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】共线（平行）向量；平面的法向量；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：由题知，可作为平面的一个法向量，因为，所以，
即直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：C.
【分析】由题意可得可作为平面的一个法向量，由，利用向量法求夹角的正弦值即可.
4．（2024高二下·雷州开学考）已知直线，若，则实数（ ）
A．或1 B．0或1 C．1 D．
【答案】D
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：当时，直线，直线，此时，不合题意；
当时，由可得，解得.
故答案为：D.
【分析】分和讨论，再根据两条直线平行的条件列式求解即可.
5．（2024高二下·雷州开学考）直线与圆相切，则实数b的值是（ ）
A．或12 B．8或 C．8或 D．8或12
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知圆心为，半径，
因为直线与圆相切，所以，解得或12.
故答案为：A.
【分析】易知圆心和半径，再根据直线与圆相切列式求b的值即可.
6．（2024高二下·雷州开学考）已知点F是抛物线的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为4，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设点，且，由点到准线的距离为，
解得，因为点在抛物线上，所以，所以，故.
故答案为：A.
【分析】设点，根据抛物线焦半径公式求解即可.
7．（2024高二下·雷州开学考）在等比数列中，，则数列的前10项和等于（ ）
A．2 B． C．10 D．5
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由数列为等比数列，则10=a4a7＝a5a6＝a3a8＝a2a9＝a1a1，
即a1a2…a9a10＝105，
所以数列的前10项和等于lga1＋lga2＋…＋lga9＋lga10＝lga1a2…a10＝lg105＝5.
故答案为：D.
【分析】根据等比数列的性质，易得a1a2…a9a10＝105，再根据对数函数运算性质求解即可.
8．（2024高二下·雷州开学考）已知椭圆的左焦点为，右顶点为A，上顶点为B．若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用斜率判定两直线垂直；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：易知，因为，所以＝－1，
即，又因为，所以，
所以－1＝0，即，解得．
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，结合椭圆中，列出关于的等式关系，求解即可.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高二下·雷州开学考）椭圆的焦距是4，则实数m的值可能为（ ）
A．5 B．13 C．8 D．21
【答案】A,B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：易知椭圆的半焦距长为，
若焦点在x轴上，则，解得；
若焦点在y轴上，则，解得；
综上所述：实数的值是5或13.
故答案为：AB.
【分析】分焦点在轴、轴讨论，再结合椭圆的性质求解即可.
10．（2024高二下·雷州开学考）已知是首项为，公比为q的等比数列，是其前n项和，且，则（ ）
A． B．或2 C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设数列的公比为，因为，所以，所以，
即 ，解得 ，故A正确，B错误；
，故C，D正确．
故答案为：ACD.
【分析】设数列的公比为，根据已知条件结合等比数列的求和公式列式求得公比，再根据等比数列的通项公式求解判断即可.
11．（2024高二下·雷州开学考）已知函数的图象与直线有两个不同交点，则正实数a的取值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
【答案】B,C
【知识点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：作出函数与直线的大致图象，如图所示：
由图可知：两图象都经过，易知只有时才能在的区域有第二个交点，
故的取值范围.
故答案为：BC.
【分析】作出两函数的图象，数形结合即可判断实数的可能取值.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高二下·雷州开学考）已知双曲线的离心率为，则 ．
【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知，因为双曲线的离心率为，所以，解得.
故答案为：.
【分析】根据已知条件，结合双曲线的离心率公式得到关于的等式，求解即可.
13．（2019高二上·九台月考）若圆 与圆 的公共弦长为 ，则 .
【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】将两个方程两边相减可得 ，即 代入 可得 ，则公共弦长为 ，所以 ，解之得 ，应填 。
【分析】利用两圆相交的位置关系联立二者方程求出交点坐标，再利用两点距离公式求出圆 与圆 的公共弦长，再利用已知条件求出a的值。
14．（2024高二下·雷州开学考）将石子摆成如图的梯形形状，各梯形里石子的个数为5，9，14，20，…，即构成一个数列，根据图形的构成，此数列的第n项即 ．
【答案】
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由各梯形里石子的个数为5，9，14，20，…，
可知，，，，
由累加法可得：，解得：.
故答案为：.
【分析】由题意知，利用累加法即可求得数列的通项公式.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高二下·雷州开学考）已知空间向量．
（1）计算和；
（2）求与夹角的余弦值．
【答案】（1）解：
．
（2）解：，
，
所以，即与夹角的余弦值为．
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）利用空间向量的坐标运算公式求解即可；
（2）利用空间向量的模公式和夹角公式求解即可.
16．（2024高二下·雷州开学考）已知数列是一个等差数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和的最大值．
【答案】（1）解：设数列的公差为d，由已知条件知解得，所以．
（2）解：，
所以当时，取得最大值4．
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）设数列的公差为d，利用等差数列的通项公式列方程组，求解即可；
（2）利用等差数列的前项和公式可得关于的二次函数，利用配方法求解即可.
17．（2024高二下·雷州开学考）已知抛物线与直线相切．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知过点且不与x轴垂直的直线l与抛物线C交于A，B两点．若，求弦的中点到直线的距离．
【答案】（1）解：联立，化简得，即，
令，因为，解得，故抛物线C的方程为．
（2）解：易知点即为抛物线C的焦点，设A的坐标为的坐标为，则，故，则弦的中点的横坐标是，
故弦的中点到直线的距离是．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）联立直线与抛物线方程，化简整理由相切求得，即可得抛物线方程；
（2）根据过焦点的弦长公式求得，即得的中点的横坐标，从而可得结果.
18．（2024高二下·雷州开学考）如图，在四棱锥中，底面．
（1）求证：平面．
（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求点A到平面的距离．
【答案】（1）解：底面平面．
．
又平面．
（2）解：设，取的中点E，易得三角形是正三角形，．
又底面，建立如图所示的空间直角坐标系，
．
设平面的一个法向量为，则
即令，得．
同理得平面的一个法向量为．
，．
又可求得平面的一个法向量为，
∴点A到平面的距离为．
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】（1）根据，即可推出平面；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面，平面，平面的法向量，由条件求得，再利用空间向量法求点A到平面的距离即可.
19．（2024高二下·雷州开学考）对于无穷数列，“若存在，必有”，则称数列具有性质．
（1）若数列满足，判断数列是否具有性质？是否具有性质？
（2）对于无穷数列，设，求证：若数列具有性质，则T必为有限集；
（3）已知是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，使得成等差数列．若存在，请加以证明；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：因为，
，但，所以数列不具有性质，
同理可得数列具有性质；
（2）解：因为数列具有性质，
所以一定存在一组最小的且，满足，即，
由性质的含义可得，
所以数列中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：
为一个周期中的各项，
所以数列中最多有个不同的项，
所以T最多有个元素，即T为有限集；
（3）解：因为数列具有性质，又具有性质，
所以存在，使得，
其中p，q分别是满足上述关系式的最小的正整数，
由性质的含义可得，
若，则取，可得，
若，则取，可得，
记，则对于，
有，显然，
由性质的含义可得：，
所以
，
所以，
又满足的最小的正整数，
所以，
所以，
所以，
取，所以，若k是偶数，则，
若k是奇数，
则，
所以，，
所以是公差为1的等差数列．
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用定义判断可得数列不具有性质，具有性质；
（2）根据数列具有性质，得到数列元素个数，从而证得结果；
（3）依题意，数列是各项为正数的数列，且既具有性质，又具有性质，可证得存在整数，使得成等差数列.
1 / 1广东省湛江市雷州市重点中学2023-2024学年高二下学期数学开学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高二下·雷州开学考）设全集则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·雷州开学考）设复数且，则实数t等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·雷州开学考）在棱长为1的正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·雷州开学考）已知直线，若，则实数（ ）
A．或1 B．0或1 C．1 D．
5．（2024高二下·雷州开学考）直线与圆相切，则实数b的值是（ ）
A．或12 B．8或 C．8或 D．8或12
6．（2024高二下·雷州开学考）已知点F是抛物线的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为4，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·雷州开学考）在等比数列中，，则数列的前10项和等于（ ）
A．2 B． C．10 D．5
8．（2024高二下·雷州开学考）已知椭圆的左焦点为，右顶点为A，上顶点为B．若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高二下·雷州开学考）椭圆的焦距是4，则实数m的值可能为（ ）
A．5 B．13 C．8 D．21
10．（2024高二下·雷州开学考）已知是首项为，公比为q的等比数列，是其前n项和，且，则（ ）
A． B．或2 C． D．
11．（2024高二下·雷州开学考）已知函数的图象与直线有两个不同交点，则正实数a的取值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高二下·雷州开学考）已知双曲线的离心率为，则 ．
13．（2019高二上·九台月考）若圆 与圆 的公共弦长为 ，则 .
14．（2024高二下·雷州开学考）将石子摆成如图的梯形形状，各梯形里石子的个数为5，9，14，20，…，即构成一个数列，根据图形的构成，此数列的第n项即 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高二下·雷州开学考）已知空间向量．
（1）计算和；
（2）求与夹角的余弦值．
16．（2024高二下·雷州开学考）已知数列是一个等差数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和的最大值．
17．（2024高二下·雷州开学考）已知抛物线与直线相切．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知过点且不与x轴垂直的直线l与抛物线C交于A，B两点．若，求弦的中点到直线的距离．
18．（2024高二下·雷州开学考）如图，在四棱锥中，底面．
（1）求证：平面．
（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求点A到平面的距离．
19．（2024高二下·雷州开学考）对于无穷数列，“若存在，必有”，则称数列具有性质．
（1）若数列满足，判断数列是否具有性质？是否具有性质？
（2）对于无穷数列，设，求证：若数列具有性质，则T必为有限集；
（3）已知是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，使得成等差数列．若存在，请加以证明；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可知：，故.
故答案为：C.
【分析】根据集合的补集、交集运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为复数，所以，
所以z1，因为，所以，即.
故答案为：B.
【分析】易得，利用复数的乘法运算求，再由列式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】共线（平行）向量；平面的法向量；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：由题知，可作为平面的一个法向量，因为，所以，
即直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：C.
【分析】由题意可得可作为平面的一个法向量，由，利用向量法求夹角的正弦值即可.
4．【答案】D
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：当时，直线，直线，此时，不合题意；
当时，由可得，解得.
故答案为：D.
【分析】分和讨论，再根据两条直线平行的条件列式求解即可.
5．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知圆心为，半径，
因为直线与圆相切，所以，解得或12.
故答案为：A.
【分析】易知圆心和半径，再根据直线与圆相切列式求b的值即可.
6．【答案】A
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设点，且，由点到准线的距离为，
解得，因为点在抛物线上，所以，所以，故.
故答案为：A.
【分析】设点，根据抛物线焦半径公式求解即可.
7．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由数列为等比数列，则10=a4a7＝a5a6＝a3a8＝a2a9＝a1a1，
即a1a2…a9a10＝105，
所以数列的前10项和等于lga1＋lga2＋…＋lga9＋lga10＝lga1a2…a10＝lg105＝5.
故答案为：D.
【分析】根据等比数列的性质，易得a1a2…a9a10＝105，再根据对数函数运算性质求解即可.
8．【答案】B
【知识点】用斜率判定两直线垂直；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：易知，因为，所以＝－1，
即，又因为，所以，
所以－1＝0，即，解得．
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，结合椭圆中，列出关于的等式关系，求解即可.
9．【答案】A,B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：易知椭圆的半焦距长为，
若焦点在x轴上，则，解得；
若焦点在y轴上，则，解得；
综上所述：实数的值是5或13.
故答案为：AB.
【分析】分焦点在轴、轴讨论，再结合椭圆的性质求解即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设数列的公比为，因为，所以，所以，
即 ，解得 ，故A正确，B错误；
，故C，D正确．
故答案为：ACD.
【分析】设数列的公比为，根据已知条件结合等比数列的求和公式列式求得公比，再根据等比数列的通项公式求解判断即可.
11．【答案】B,C
【知识点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：作出函数与直线的大致图象，如图所示：
由图可知：两图象都经过，易知只有时才能在的区域有第二个交点，
故的取值范围.
故答案为：BC.
【分析】作出两函数的图象，数形结合即可判断实数的可能取值.
12．【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知，因为双曲线的离心率为，所以，解得.
故答案为：.
【分析】根据已知条件，结合双曲线的离心率公式得到关于的等式，求解即可.
13．【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】将两个方程两边相减可得 ，即 代入 可得 ，则公共弦长为 ，所以 ，解之得 ，应填 。
【分析】利用两圆相交的位置关系联立二者方程求出交点坐标，再利用两点距离公式求出圆 与圆 的公共弦长，再利用已知条件求出a的值。
14．【答案】
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由各梯形里石子的个数为5，9，14，20，…，
可知，，，，
由累加法可得：，解得：.
故答案为：.
【分析】由题意知，利用累加法即可求得数列的通项公式.
15．【答案】（1）解：
．
（2）解：，
，
所以，即与夹角的余弦值为．
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）利用空间向量的坐标运算公式求解即可；
（2）利用空间向量的模公式和夹角公式求解即可.
16．【答案】（1）解：设数列的公差为d，由已知条件知解得，所以．
（2）解：，
所以当时，取得最大值4．
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）设数列的公差为d，利用等差数列的通项公式列方程组，求解即可；
（2）利用等差数列的前项和公式可得关于的二次函数，利用配方法求解即可.
17．【答案】（1）解：联立，化简得，即，
令，因为，解得，故抛物线C的方程为．
（2）解：易知点即为抛物线C的焦点，设A的坐标为的坐标为，则，故，则弦的中点的横坐标是，
故弦的中点到直线的距离是．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）联立直线与抛物线方程，化简整理由相切求得，即可得抛物线方程；
（2）根据过焦点的弦长公式求得，即得的中点的横坐标，从而可得结果.
18．【答案】（1）解：底面平面．
．
又平面．
（2）解：设，取的中点E，易得三角形是正三角形，．
又底面，建立如图所示的空间直角坐标系，
．
设平面的一个法向量为，则
即令，得．
同理得平面的一个法向量为．
，．
又可求得平面的一个法向量为，
∴点A到平面的距离为．
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】（1）根据，即可推出平面；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面，平面，平面的法向量，由条件求得，再利用空间向量法求点A到平面的距离即可.
19．【答案】（1）解：因为，
，但，所以数列不具有性质，
同理可得数列具有性质；
（2）解：因为数列具有性质，
所以一定存在一组最小的且，满足，即，
由性质的含义可得，
所以数列中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：
为一个周期中的各项，
所以数列中最多有个不同的项，
所以T最多有个元素，即T为有限集；
（3）解：因为数列具有性质，又具有性质，
所以存在，使得，
其中p，q分别是满足上述关系式的最小的正整数，
由性质的含义可得，
若，则取，可得，
若，则取，可得，
记，则对于，
有，显然，
由性质的含义可得：，
所以
，
所以，
又满足的最小的正整数，
所以，
所以，
所以，
取，所以，若k是偶数，则，
若k是奇数，
则，
所以，，
所以是公差为1的等差数列．
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用定义判断可得数列不具有性质，具有性质；
（2）根据数列具有性质，得到数列元素个数，从而证得结果；
（3）依题意，数列是各项为正数的数列，且既具有性质，又具有性质，可证得存在整数，使得成等差数列.
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