2021-2023年全国高考数学典例真题汇编（新高考模式训练）（含解析）

2021-2023年全国高考数学典例真题汇编（新高考模式训练）
姓名：___________ 班级：___________
一．单选题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
1．【2021-全国新高II卷】 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2．【2022-天津数学高考真题】 “为整数”是“为整数”的（ ）
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
3．【2021-北京数学高考真题】已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
4．【2021-北京数学高考真题】在复平面内，复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
5．【2023-北京数学乙卷高考真题】 的展开式中的系数为（ ）．
A. B. C. 40 D. 80
6．【2021-北京数学高考真题】和是两个等差数列，其中为常值，，，，则（ ）
A. B. C. D.
7．【2022-天津数学高考真题】 如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A. 23 B. 24 C. 26 D. 27
8．【2021-浙江卷】 已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A. 直线和圆 B. 直线和椭圆 C. 直线和双曲线 D. 直线和抛物线
二．多选题（本大题共1小题，每小题5分，共5分）
9．【2021-新高考Ⅰ卷】 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（ ）
A. 两组样本数据的样本平均数相同
B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同
D. 两组样数据的样本极差相同
10．【2021-全国新高II卷】 已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
11．【2021-全国新高II卷】 设正整数，其中，记．则（ ）
A. B.
C. D.
三．填空题（本大题共1小题，每小题5分，共5分）
12．【2023-天津卷数学真题】 已知是虚数单位，化简的结果为_________．
13．【2021-新高考Ⅰ卷】 已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
14．【2023-全国数学乙卷（文）高考真题】 若x，y满足约束条件，则的最大值为______.
四．解答题（本大题共1小题，每小题12分，共12分）
15．【2023-新课标全国Ⅰ卷真题】 已知在中，．
（1）求；
（2）设，求边上的高．
16．【2021-新高考Ⅰ卷】 已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
17．【2021-全国新高II卷】 在四棱锥中，底面是正方形，若．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
18．【2021-全国新高II卷】 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．
（1）已知，求；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
19．【2023-全国数学乙卷（文）高考真题】 已知椭圆的离心率是，点在上．
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
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2021-2023年全国高考数学典例真题汇编（新高考模式训练）1
【参考答案】
1．【答案】B
【解析】
由题设可得，故，
故选：B.
2．【答案】A
【解析】
由题意，若为整数，则为整数，故充分性成立；
当时，整数，但不为整数，故必要性不成立；
所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件.
故选：A.
3．【答案】B
【解析】
由题意可得：，即.
故选：B.
4．【答案】D
【解析】
由题意可得：.
故选：D.
5．【答案】D
【解析】
的展开式的通项为
令得
所以的展开式中的系数为
故选：D
【点睛】本题考查的是二项式展开式通项的运用，较简单.
6．【答案】B
【解析】
由已知条件可得，则，因此，.
故选：B.
7．【答案】D
【解析】
该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，如图，
因为，所以，
因为重叠后的底面为正方形，所以,
在直棱柱中，平面BHC，则,
由可得平面，
设重叠后的EG与交点为
则
则该几何体的体积为.
故选：D.
8．【答案】C
【解析】
由题意得，即，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以或，
其中为双曲线，为直线.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.
9．【答案】CD
【解析】
A：且，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误；
C：，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确；
故选：CD
10．【答案】ABD
【解析】
圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
11．【答案】ACD
【解析】
对于A选项，，，
所以，，A选项正确；
对于B选项，取，，，
而，则，即，B选项错误；
对于C选项，，
所以，，
，
所以，，因此，，C选项正确；
对于D选项，，故，D选项正确.
故选：ACD.
12．【答案】或者
【解析】
由题意可得.
故答案为：.
13．【答案】
【解析】
不妨设
因为，所以的准线方程为
故答案为：
【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
14．【答案】8
【解析】
作出可行域如下图所示：
，移项得，
联立有，解得，
设，显然平移直线使其经过点，此时截距最小，则最大，
代入得，
故答案为：8.
15．【答案】（1）
（2）6
【解析】
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.
【小问1详解】
，
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
【小问2详解】
由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
16．【答案】（1）；（2）.
【解析】
（2）根据题设中的递推关系可得的前项和为可化为，利用（1）的结果可求.
（1）由题设可得
又，，
故即即
所以为等差数列，故.
（2）设的前项和为，则，
因为，
所以
.
【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.
17．【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（2）在平面内，过作，交于，则，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.
（1）取的中点为，连接.
因为，，则，
而，故.
在正方形中，因为，故，故，
因为，故，故为直角三角形且，
因为，故平面，
因为平面，故平面平面.
（2）在平面内，过作，交于，则，
结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.
则，故.
设平面的法向量，
则即，取，则，
故.
而平面的法向量为，故.
二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.
18．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合及极值点的范围可得的最小正零点.
（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
（1）.
（2）设，
因为，故，
若，则，故.
，
因为，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
若，因为在为增函数且，
而当时，因为在上为减函数，故，
故为的一个最小正实根，
若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，
综上，若，则.
若，则，故.
此时，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
而，故，
又，故在存在一个零点，且.
所以为的一个最小正实根，此时，
故当时，.
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
19．【答案】（1）
（2）证明见详解
【解析】
（2）设直线方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可.
【小问1详解】
由题意可得，解得，
所以椭圆方程为.
【小问2详解】
由题意可知：直线的斜率存在，设，
联立方程，消去y得：，
则，解得，
可得，
因为，则直线，
令，解得，即,
同理可得，
则
，
所以线段中点是定点.
【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
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