1.6 完全平方公式第1课时 课件（共24张PPT）-2023-2024学年七年级数学下册同步课件（北师大版）

(共24张PPT)
第1课时
北师大版 数学 七年级下册
6 完全平方公式
第一章 整式的乘除
学习目标
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点;（重点）
2.会运用公式进行简单的运算；(难点)
平方差公式：(a+b)(a b)= .
平方差公式的结构特征:
(1)_________________________________________________，
(2)　 .
一、导入新课
复习回顾
a2 b2
即两数和与这两数差的积,等于它们的　　　　.
平方差　
左边是两个二项式的乘积，即两项和与这两项差的积
右边是这两项的平方差
一、导入新课
情境导入
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.你发现了什么？
a
a
b
b
你会求这块试验田的面积吗？有几种方法呢？
二、新知探究
探究：完全平方公式
做一做：计算下列算式并观察其特点，你有什么发现？
(2)(2+3x)2.
(1)(m+3)2;
解：(1)(m+3)2=(m+3)(m+3)
=m2+3m+3m+9
=m2+2×3m+9
=m2+6m+9.
(2)(2+3x)2=(2+3x)(2+3x)
=22+2×3x+2×3x+9x2
=4+2×2×3x+9x2
=4+12x+9x2.
二、新知探究
思考:观察算式左边和右边，你发现了什么规律？
算式左边是一个二项式（两数和）的平方；
右边是两数的平方和加上这两数乘积的两倍.
(m+3)2=m2+6m+9,
(2+3x)2=4+12x+9x2.
由以上计算可得：
二、新知探究
再举两例验证你的发现.
(p+1)2= (p+1) (p+1)
=p2+p+p+1
=p2+2p+1
(a+b)2 = (a+b)(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2.
你能用自己的语言叙述这一结论吗
【归纳】
(a+b)2 = a2+2ab+b2.
两数和的平方等于这两数的平方和加上这两数积的两倍.
(1)大正方形的面积是： .
想一想：你能用下图解释(a+b)2=a2+2ab+b2这一公式吗
二、新知探究
a2
ab
ab
b2
(a+b)2
所以(a+b)2=a2+b2+ab+ab=a2+2ab+b2.
(2)大正方形的面积又可以由4小块组成，它们的面积分别为：___、___、___、___.
a2
b2
ab
ab
二、新知探究
议一议：(a-b)2=？你是怎样做的？
【归纳】
(a-b)2 =a2-2ab+b2.
两数差的平方等于这两数的平方和减去这两数积的两倍.
解:方法一:(a-b)2
=(a-b)(a-b)
=a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2.
方法二:(a-b)2
=[a+(-b)2]
=a2+2a(-b)+(-b)2
=a2-2ab+b2.
你能用自己的语言叙述这一结论吗
(1)阴影部分的面积是： .
二、新知探究
做一做：你能设计一个图形解释(a-b)2 =a2-2ab+b2这一公式吗
a b
a b
a
a
b
b
ab
b(a-b)
(a-b)2
(2)阴影部分的面积也可以由大正方形减去______和_________.
ab
b(a-b)
所以(a-b)2 =a2-ab-b(a-b)
=a2-2ab+b2
（a+b)2= .
（a-b)2= .
二、新知探究
知识归纳
完全平方公式
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
语言描述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫作完全平方公式.
完全平方公式的特征：
①公式左边是一个二项式的完全平方．
②公式的右边是一个二次三项式，分别是二项式中每一项的平方及两项乘积的2倍．
简记为：
首平方，尾平方，
积的两倍放中央，
同号加异号减
二、新知探究
跟踪练习
1.利用完全平方公式计算:
(1)(2x-3)2; (2)(4x+5y)2; (3)(mn-a)2.
(2)(4x+5y)2
=(4x)2+2·4x·5y+(5y)2
=16x2+40xy-25y2.
解:(1)(2x-3)2
=(2x)2-2·2x·3+32
=4x2-12x+9.
(3)(mn-a)2
=(mn)2-2·mn·a+a2
=m2n2-2amn+a2.
二、新知探究
方法归纳
(1)利用完全平方公式计算的基本步骤:
①确定公式中的a和b;②确定和差关系;③选择公式;④计算结果.
(2)注意:①公式中的字母a,b可以表示具体的数,也可以表示含字母的单项式或多项式.
②两个平方项的底数要带上括号.
③套用公式时不要漏掉2ab项.
二、新知探究
2.你认为下列各式应该怎样用完全平方公式计算
(1)(-x+3y)2; (2)(-m-n)2; (3)(a+b+c)2.
解:(1)(-x+3y)2
=[-(x-3y)]2
=(x-3y)2
=x2-6xy+9y2.
(2)(-m-n)2
=[-(m+n)]2
=(m+n)2
=m2+2mn+n2.
跟踪练习
(3)(a+b+c)2
=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2·(a+b)·c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
二、新知探究
(1)当首项为负,或者两项均为负时,可以利用添括号法则变为其相反数的平方,再套公式计算;
(2)三个数和的完全平方,也可以利用添括号和整体思想转化为两个数的和的完全平方进行计算.
方法归纳
三、典例精析
解:(1)(4x+0.5)2
=(4x)2+2·4x·0.5+0.52
=16x2+4x+0.25.
(3)(2x2-3y2)2
=(2x2)2-2·2x2·3y2+(3y2)2
=4x4-12x2y2+9y4.
(2)
=
=-+
例1 用完全平方公式计算:
(1)(4x+0.5)2; (2); (3)(2x2-3y2)2.
三、典例精析
例2：如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．
解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2
＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，
∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，
∴m＋1＝±60，
∴m＝59或－61．
分析:先根据两平方项确定出这两个数,再根据完全平方公式确定m的值．
2.下列各式能用完全平方公式计算的是 (　　)
A.(2a+b)(a-2b) B.(a+2b)(2b-a)
C.(2a+b)(-2a-b) D.(b-2a)(-2a-b)
四、当堂练习
1.计算(a-3)2的结果是 (　　)
A.a2+9 B.a2+6a+9
C.a2-6a+9 D.a2-9
C
C
3.下列各式中与2nm-m2-n2相等的是 (　　)
A.(m-n)2 B.-(m-n)2
C.-(m+n)2 D.(m+n)2
B
5.如图所示，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个大的正方形,根据图形用两种不同的方法表示这个大正方形的面积,则可以得出一个等式为(　　)
A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a-b)2=a2-2ab+b2
C.a2-b2=(a+b)(a-b) D.(a+b)2=(a-b)2+4ab
四、当堂练习
4.若(x+a)2=x2-8x+b,则a,b的值分别为(　　)
A.4,16　 B.-4,-16　
C.4,-16　 D.-4,16
D
D
四、当堂练习
6.计算:(ab-1)(-ab+1)=　　　　　　　.
7.若代数式x2+kx+25可以写成一个多项式的平方,则k=　 　.
8.若a-b=7,ab=12,则a2-3ab+b2=　　　　.
-a2b2+2ab-1
±10
37
(2)(-4x+3y)2
=(-4x)2+2·(-4x)·3y+(3y)2
=16x2-24xy+9y2.
9.计算:(1); (2)(-4x+3y)2.
四、当堂练习
10.计算：(1)(2x+y)2-(y-2x)2; (2)(-2x+3y)2(-2x-3y)2.
解：(1)原式=(4x2+4xy+y2)-(y2-4xy+4x2)
=8xy.
(2)原式=(2x-3y)2(2x+3y)2
=[(2x-3y)(2x+3y)]2
=(4x2-9y2)2
=16x4-72x2y2+81y4.
四、当堂练习
11.某正方形的边长为a cm(a>3),若把这个正方形的边长减少3 cm,则面积减少了多少
解:原正方形的面积为a2 cm2,现正方形的面积为(a-3)2cm2,
面积减少了a2-(a-3)2
=a2-(a2-6a+9)
=a2-a2+6a-9
=(6a-9)cm2.
故面积减少了(6a-9)cm2.
五、课堂小结
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
完全平方公式
公式
注意
语言描述
两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的两倍（首平方，尾平方，积的两倍放中央，同号加异号减）.
在解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2.
六、作业布置
习题1.11