2.5 一元一次不等式与一次函数第1课时 课件（共26张PPT）-2023-2024学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

北师大版 数学 八年级下册
第1课时
第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组
5 一元一次不等式与一次函数
学习目标
1.体会一元一次不等式与一次函数的内在联系；
2.利用不等式与函数的关系解决简单的实际问题，初步体验数形结合思想．（重点、难点）
复习回顾
3.一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0）的图象是_________.它与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ；要作一次函数的图象，只需_______点即可.
一条直线
（0,b）
两
（?????????,????）
?
1.一元一次不等式的概念：
不等式的两边都是 ，只含有 未知数，且未知数的最高次数是 的不等式，叫做一元一次不等式.
整式
一个
1
2.一次函数的概念：
若两个变量 x、y之间的关系可以表示成 (k,b为常数，k≠0）的形式，则称 y是x的一次函数.
y=kx+b
一、创设情境，引入新知
1.不等式2x－5＞0的解集为 .
下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数之间的关系.
2. 一次函数 y = 2x – 5它与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点 坐标是 .
（0,－5）
（????????,????）
?
????>????????
?
思考：2x－5＞0的解集与一次函数 y = 2x – 5图象之间有什么关系呢？
二、自主合作，探究新知
探究：一元一次不等式与一次函数的关系
作出一次函数y=2x-5的图象:
x
…
0
2.5
…
y=2x-5
…
-5
0
…
O
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
-1
y=2x-5
观察图象回答下列问题:
(1)x取何值时, 2x-5=0？
∴由图象可知，当x=2.5时, 2x-5=0.
分析:
y=0
(2.5,0)
二、自主合作，探究新知
(2)x取哪些值时, 2x-5>0？
∴由图象可知，当x>2.5时, 2x-5>0.
0
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
y=2x-5
(2.5,0)
分析:
y>0
(3)x取哪些值时, 2x-5<0？
∴由图象可知，当x<2.5, 2x-5<0.
分析:
y<0
二、自主合作，探究新知
(4)x取哪些值时, 2x-5>1?
∴由图象可知，当x>3, 2x-5>1.
0
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
分析:
y=1
y=2x-5
你是怎样想的？与同伴进行交流.
二、自主合作，探究新知
想一想：如果y=-2x-5,那么当x取何值时, y>0?
0
-3
-2
-1
1
2
-5
-4
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
y=-2x-5
思路二:将函数问题转化为不等式问题.
即 解不等式-2x-5 >0
-2x＞5
x＜-2.5
∴当x<-2.5时, y>0.
思路一:运用函数图象解不等式.
由图象可得，当x<-2.5时, y>0.
(-2.5,0)
作一次函数y=-2x-5的图象.
二、自主合作，探究新知
做一做：兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9m,然后自已才开始跑,已知弟弟每秒跑3m,哥哥每秒跑4m.列出函数关系式,作出函数图象,观察图象回答下列问题:
(1)何时弟弟跑在哥哥前面?
(2)何时哥哥跑在弟弟前面?
(3)谁先跑过20m?谁先跑过100m?
你是怎样求解的?与同伴交流.
解:设哥哥起跑后所用的时间为x(s). 哥哥跑过的距离为y1(m)弟弟跑过的距离为y2(m).则哥哥与弟弟每人所跑的距离y(m)与时间x(s)之间的函数关系式分别是:y1=4x，y2=3x+9.
(1)_______________时,弟弟跑在哥哥前面.
(2)__________时,哥哥跑在弟弟前面.
(3)______先跑过20m，______先跑过100m.
二、自主合作，探究新知
思路一:图象法
0(s)x>9(s)
y1=4x
y2=3x+9
(9,36)
0
6
8
10
2
x(s)
4
12
24
12
30
18
36
6
y(m)
42
48
弟弟
哥哥
在同一坐标系中作出y1=4x（哥哥），y2=3x+9(弟弟)的函数图象，如右图所示.由图象可得：
二、自主合作，探究新知
思路二:代数法
哥哥: y1=4x
弟弟: y2=3x+9
(1)何时弟弟跑在哥哥前面?
(2)何时哥哥跑在弟弟前面?
(3)谁先跑过20m?谁先跑过100m?
即4x<3x+9，解得x<9.
即4x>3x+9，解得x>9.
当4x=20时，x=5，
当3x+9=20时，????=????????????.
?
当4x=100时，x=25，
当3x+9=100时，????=????????????.
?
∴弟弟先跑过20m.
∴哥哥先跑过100m.
思路二:代数法
二、自主合作，探究新知
知识要点
转化思想：
一次函数问题
一次不等式(方程) 问题
转化
通过对图象的观察、分析,得:
我们既可以运用函数图象解不等式,也可以运用解不等式帮助研究函数问题,二者相互渗透,互相作用.不等式与函数是紧密联系着的一个整体.
(1)3x+6>0 的解集为 .
(3) –x+3 ≥0的解集为 .
例1：根据下列一次函数的图象，直接写出下列不等式的解集.
-2
x
y=3x+6
y
x
y
3
y=-x+3
(2)3x+6 ≤0的解集为 .
(4) –x+3<0的解集为 .
二、自主合作，探究新知
典型例题
x>-2
x≤3
x≤-2
x>3
(即y>0)
(即y≤0)
(即y<0)
(即y≥0)
知识要点
二、自主合作，探究新知
从数的角度看
从形的角度看
求ax+b>0（或<0）(a, b
是常数，a≠0)的解集.
函数y= ax+b的函数值
大于0（或小于0）时x
的取值范围.
直线y= ax+b在x轴上方(或
下方)时自变量的取值范围.
求ax+b>0（或<0）(a, b
是常数，a≠0)的解集.
一元一次不等式与一次函数的关系：
二、自主合作，探究新知
典型例题
例2：一艘轮船以20 km/h的速度从甲港驶往160 km 远的乙港,2 h后,一艘快艇以40 km/h的速度也从甲港驶往乙港.请你分别列出轮船和快艇行驶的路程与轮船行驶的时间之间的函数关系式,并画出函数图象.
解:设轮船行驶的路程为y1 km,快艇行驶的路程为y2 km, 轮船行驶的时间为x h.
则有y1=20x,y2=40(x-2).画出函数图象如图所示.
A(4,80)
由????=????????????, ????=????????(?????????),得????=????, ????=????????,即两函数图象的交点为A(4,80).
?
二、自主合作，探究新知
典型例题
观察图象回答下列问题:
(1)何时轮船行驶在快艇的前面?
(2)何时快艇行驶在轮船的前面?
(3)哪一艘船先驶过60 km?哪一艘船先驶过100 km?
观察图象可得:
(1)轮船行驶4 h前,轮船行驶在快艇的前面.
(2)轮船行驶4 h后,快艇行驶在轮船的前面.
(3)轮船先驶过60 km,快艇先驶过100 km.
A(4,80)
1.如图所示，若一次函数y=kx+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(3，0)，则关于x的不等式kx+b>0的解集为(　　)A.x>???????? B.x3 D.x<3　　　　　　　　　　　　　　　
?
D
2.如图所示，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P(1,3)，则关于x的不等式x+b>kx+4的解集在数轴上的表示正确的是 (　　)
C
三、即学即练，应用知识
三、即学即练，应用知识
3.一次函数y=2x-4的图象与x轴的交点坐标为(2,0),则一元一次不等式2x-4≤0的解集为 .
x≤2
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
8
5
2
－1
－4
…
那么关于x的不等式kx＋b≥－1的解集是 .
4.一次函数y＝kx＋b(k≠0)中两个变量x、y的部分对应值如下表所示：
x≤1
三、即学即练，应用知识
5.已知一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4).(1)求这个一次函数的解析式;(2)求关于x的不等式kx+3≤6的解集.
解：(1)∵一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4),
∴4=k+3,
∴k=1,
∴这个一次函数的解析式是y=x+3.
(2)由(1)得关于x 的不等式为x+3≤6,解得x≤3.即关于x的不等式kx+3≤6的解集是x≤3.
三、即学即练，应用知识
6.如图所示,甲、乙两名学生均沿同一方向在同一直线上行进,OA,BA分别表示甲、乙两名学生运动过程中离出发点的距离s(m)与时间t(s)之间的函数关系图象.试根据图象回答下列问题:(1)甲、乙两名学生中,谁的速度较快?(2)在什么时间段内甲在乙的前面?在什么时间段内甲在乙的后面?在什么时间甲、乙二人相遇?
解: (1)甲的速度较快.
(2)由图象可看出,在8 s之后,甲在乙的前面,在8 s之前,甲在乙的后面,在8 s时甲、乙二人相遇.
四、课堂小结
从数的角度看
从形的角度看
求ax+b>0（或<0）(a, b
是常数，a≠0)的解集.
函数y= ax+b的函数值
大于0（或小于0）时x
的取值范围.
直线y= ax+b在x轴上方(或
下方)时自变量的取值范围.
求ax+b>0（或<0）(a, b
是常数，a≠0)的解集.
一元一次不等式与一次函数的关系：
1.如图所示，一次函数y=kx+b的图象经过点A(-2,4),则关于x的不等式kx+b>4的解集为 (　　)A.x>-2 B.x<-2 C.x>4 D.x<4
2．一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图所示，则下列结论：①k<0；②a>0；③当x>3 时，y1五、当堂达标检测
A
C
5.如图所示，直线y=kx+b(k<0)经过点P(1,1),当kx+b≥x时，x的取值范围为 .
4.如图所示,已知一次函数y2=kx+b的图象过原点,且与一次函数y1=x+a的图象交于点P(-1,2),则满足x+a>kx+b>0的x的取值范围为　　　　　　.
五、当堂达标检测
-1x≤1
3.小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件,如果每支钢笔5元,每本笔记本2元,那么小明最多能买　　　　支钢笔.?
13
6.如图所示，已知直线y1=?????????x+1与x轴交于点A，与直线y2=?????????x交于点B.(1)求△AOB的面积;
?
五、当堂达标检测
解: (1)由y1=?????????x+1,可知当y1=0时x=2,所以点A的坐标是(2,0),所以OA=2.因为直线y1=?????????x+1与直线y2=?????????x交于点B,所以点B的坐标是(-1,1.5),所以S△AOB=????????×2×1.5=1.5.
?
五、当堂达标检测
(2)由(1)可知两直线的交点B的坐标是(-1,1.5),由函数图象可知当y1>y2时,x的取值范围为x>-1.
(2)求当y1>y2时，x的取值范围.
教材习题2.6.　　　　
六、布置作业