9.4 矩形、菱形、正方形（第3课时）（同步课件）-2023-2024学年八年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

(共31张PPT)
第9章 · 中心对称图形——平行四边形
9.4　矩形、菱形、正方形（3）
第3课时　菱形及其性质
学习目标
1.理解菱形的概念以及菱形与平行四边形的关系;
2.探索并证明菱形的性质，并能够灵活运用菱形的性质解题.
下面的图片中有你熟悉的图形吗？
问题情境
概念学习
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
注意：菱形一定是平行四边形，
平行四边形不一定是菱形.
四边形
菱形
平行四边形
B
A
D
C
概念学习
B
A
D
C
符号语言：
在 ABCD中，AB=BC，
∴ ABCD是菱形．
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
A
B
C
D
四边形ABCD
AB∥CD AD∥BC
B
D
ABCD
A
C
AB=BC
B
A
D
C
菱形ABCD
概念学习
菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有哪些特殊性质？
操作与思考
把DC沿CB方向平行移动，当AD=AB时， ABCD的边、角、对角线有没有变化？如果有变化，有什么变化？你能说明理由吗？
B
A
D
C
D
C
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
四条边都相等
对角线互相垂直
新知归纳
菱形的四条边相等，对角线互相垂直．
O
B
A
D
C
符号语言：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
讨论与交流
菱形是中心对称图形吗？是轴对称图形吗？
O
B
A
D
C
菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形.
菱形是轴对称图形，有两条对称轴.
归纳提升
菱形 性 质 符号语言 图示
边
角 对角线 对称性 对边平行，四条边相等
对角相等，邻角互补
对角线互相平分且垂直
既是中心对称图形又是轴对称图形
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
AB=CD=AD=BC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC=∠ADC，
∠BAD=∠BCD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD
AC⊥BD．
对称中心是对角线的交点O，对称轴是直线l1和l2．
O
B
A
D
C
l1
l2
新知巩固
1.有下列说法：
①菱形是特殊的平行四边形；
②菱形是矩形；
③菱形是有一组邻边相等的平行四边形；
④如果一个四边形是平行四边形，那么它一定是菱形．
其中正确说法的序号是________．
①③
新知巩固
2.菱形具有，一般平行四边形不具有的性质是 ( )
A. 对角相等 B. 对边相等
C. 四边相等 D. 对角线互相平分
3.菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等
C. 对角线互相平分 D. 对角互补
C
A
例题讲解
A
D
B
C
E
F
G
H
M
例1　如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B、M处固定.已知菱形ABCD的边长为13cm，要使两排挂钩间的距离为24cm，求B、M之间的距离.
B
A
D
C
O
两条对角线把菱形分成____对全等的等腰三角形，____个全等的直角三角形.
2
4
例题讲解
A
D
B
C
E
F
G
H
M
例1　如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B、M处固定.已知菱形ABCD的边长为13cm，要使两排挂钩间的距离为24cm，求B、M之间的距离.
B
A
D
C
O
证明：连接AC、BD，AC与BD相交于点O
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB＝90°，AO＝AC＝×24=12
∴在Rt△AOB中由勾股定理得：
∴BD＝2BO＝10，
BM＝3BD＝30．
即B、M之间的距离是30cm．
例2 证明：菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半.
O
A
D
C
B
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
求证：S菱形ABCD=ACBD
证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD ，AO=CO=AC，BO=DO=BD，
(菱形的对角线互相垂直平分)
∴△AOB≌△COB ≌△COD≌△AOD.
∴ S菱形ABCD=4S△AOB=4××AO×BO =ACBD.
例题讲解
归纳提升
菱形的面积公式：
O
A
D
C
B
S菱形ABCD = ACBD
E
S菱形ABCD = ABDE
新知巩固
1. 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，求证：OE=OF=OG=OH.
B
A
D
C
O
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD
OB=OD，OA=OC，
∵E是AB的中点，AC⊥BD
∴OE是Rt△ABO的中线，
∴OE=AB，
同理：OF=BC，OG=DC，OH=AD，
∴OE=OF=OG=OH.
E
H
F
G
变式 若OE⊥AB、OF⊥BC、OG⊥CD、OH⊥AD，你能得到什么结论
B
A
D
C
O
E
H
F
G
提示：菱形的对称中心到四边的距离相等.
新知巩固
新知巩固
2. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=24，BD=10，DE⊥AB于点E.(1)求菱形ABCD的周长；
O
A
D
C
B
E
解：(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴OB=BD=5，OA=AC=12，AC⊥BD，AB=BC=CD=DA.
∴在Rt△ABO中，AB==13，
∴菱形ABCD的周长=4AB=52.
新知巩固
2. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=24，BD=10，DE⊥AB于点E.(2)求菱形ABCD的面积；
O
A
D
C
B
E
(2) S菱形ABCD=ACBD=×24×10=120.
(3) ∵S菱形ABCD=ABDE=120，AB=13，
∴DE=.
(3)求DE的长.
3.已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB.
求证：四边形OBEC是菱形.
E
A
D
B
C
O
新知巩固
证明：∵BE//AC， CE//DB，
∴四边形OBEC是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC，OB=BD，OC=AC.
∴OB=OC.
∴ OBEC是菱形.
课堂小结
9.4 矩形、菱形、正方形(3)
菱形的概念
菱形的性质
一般性质
特殊性质
当堂检测
1. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列说法中正确的是 (　　)
A.∠OAB＝∠OBA B. AC=BD
C. AC⊥BD D.有4条对称轴
C
O
A
D
C
B
当堂检测
2. 菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是 ( )
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
C
O
A
D
C
B
当堂检测
3. 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD.下列条件中，能够判定四边形ACED为菱形的是(　　)
A. AB＝BC B. AC＝BC
C. ∠ABC＝60° D.∠ACB＝60°
B
E
A
D
C
B
当堂检测
5.菱形的边长为2，一个内角等于120°.则这个菱形的面积为_______.
O
A
D
C
B
4.如图，已知四边形ABCD是菱形，若∠BAC=20°，则∠ADC=　　°.
140
当堂检测
5.如图，菱形ABCD的周长为20，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是________.
2.5
O
A
D
C
B
E
当堂检测
7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，若BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝________.
O
B
A
D
C
H
当堂检测
8.如图，在菱形ABCD中，M，N分别为BC，CD的中点.
求证：AM＝AN.
B
A
D
C
M
N
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D.
∵M，N分别是BC，CD的中点，
∴BM＝BC，DN＝CD，
∴BM＝DN.
在△ABM和△ADN中，
∴△ABM≌△ADN(SAS)，
∴AM＝AN.
当堂检测
9. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE，过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF.(1)求证：△ODE≌△FCE
O
A
D
C
B
E
F
证明：∵E是CD的中点，
∴CE＝DE.
又∵CF∥BD，
∴∠ODE＝∠FCE.
在△ODE和△FCE中，
∴△ODE≌△FCE(ASA)．
当堂检测
(2)试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程.
O
A
D
C
B
E
F
(2)解：四边形ODFC为矩形，证明如下：
∵△ODE≌△FCE，
∴OE＝FE.
又∵CE＝DE，
∴四边形ODFC为平行四边形．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，即∠DOC＝90°，
∴四边形ODFC为矩形．