21.7列分式组方程解应用题(第4课时）（教学课件）-2023-2024学年八年级数学下册同步精品课堂（沪教版）

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第 21章代数方程
21.7列分式组方程解应用题(第4课时）
学习目标
1、经历“实际问题—建立方程—方程求解—解释应用”的过程，体会方程思想，感知数学模型思想.（重、难点）
2、会列分式方程组解决简单的实际问题.（重点）
例7 ：某街道因路面经常严重积水，需改建排水系统，市政公司准备安排甲乙两个工程队承接这项工程。据评估，如果甲乙两队合作施工，那么12天完成；如果甲队先做10天后，剩下的工程由乙队单独承担，还需15天才能完工。甲乙两队单独完成此项工程各需多少天？
分析：工程问题：工作总量＝工作效率×工作时间。工作总量未给出则看作1
由于题中未给出两个未知量之间具体的等量关系，所以设两个未知数，设甲单独完成此项工程需要x天，乙单独完成这项工程需要y天
两个未知数就要有两个方程，也即要有两个等量关系
工作总量 甲工作量 乙工作量
方案1 1
方案2 1
解得：
经检验：
答：甲乙两队单独完成此项工程分别需20天和30天。
是原方程组的解，且符合题意。
想一想
例题 7可通过列一元方程来解吗 试一试,再与上面的解法进行比较.
分析 本题中的基本等量关系是:往甲地送水 3 天的水量十往乙地送水 2 天的水量=84(万立方米).往甲地送水 2 天的水量十往乙地送水 3 天的水量 =81(万立方米).
例8 ：为缓解甲乙两地的旱情，某水库计划向甲乙两地送水，甲地需要水量180万立方米，乙地需要水量120万立方米。现已两次送水，第一次往甲地送水3天，往乙地送水2天，共送水84万立方米；第二次往甲地送水2天，往乙地送水3天，共送水81万立方米。如果每天送水量相同，那么完成甲地，乙地送水任务还各需多少天？
例8 ：为缓解甲乙两地的旱情，某水库计划向甲乙两地送水，甲地需要水量180万立方米，乙地需要水量120万立方米。现已两次送水，第一次往甲地送水3天，往乙地送水2天，共送水84万立方米；第二次往甲地送水2天，往乙地送水3天，共送水81万立方米。如果每天送水量相同，那么完成甲地，乙地送水任务还各需多少天？
解法一：设完成甲地，乙地送水任务还分别需x天，y天，根据题意得：
解这个方程组，得
经检验，
是原方程的解，且符合题意。
答：设完成甲地，乙地送水任务还分别需5天和3天。
解法二：设每天往甲地送水u立方米，往乙地送水v立方米。根据题意得：
解这个方程组，得
甲还需要天数：
（天）
乙还需要天数：
（天）
答：设完成甲地，乙地送水任务还分别需5天和3天
本题也可以通过间接设元，
议一议
例题 7、例题 8 与前面学过的列方程解应用题有什么相同点与不同点
在实际问题中，经常会遇到有多个未知量的问题，我们可以列方程组来求解.
1.小杰与小丽分别从相距 27 千米的 A、B 两地同时出发相向而行,3 小时后相遇，相遇后两人按原来的速度继续前进,小杰到达 B 地比小丽到达 A 地早 1 小时 21 分小杰与小丽的行进速度分别是多少
解：设小杰速度为x，小丽速度为y，得
3(x+y)=27
解得x=5，y=4，
∴小杰每时走5千米，小丽每时走4千米。
课本练习
2.甲乙两个工程队修建某段公路.如果甲乙两队合作,24 天可以完成:如果甲队单独做20 天后,剩下的工程由乙队独做,还需 40 天才能完成。甲乙两队单独完成此段公路的修建各需要多少天
解：设甲需要x天完成，乙需要y天完成，可得方程组：
解得：
答：甲需要30天完成，乙需要120天完成
3.试一试.小丽的叔叔分别用 900 元和 1 200 元钱从甲乙两地购进数量不等的同一商品,已知Z地商品比甲地商品每件便宜 3 元,当他按每件 20 元销售完时,可赚1 100元.小丽的叔叔从甲乙两地分别购进这种商品多少件
解：设从甲地购进x件，从乙地购进y件。
则
20(x+y)-(900+1200)=1100
由上式可得
x+y=160
可得 y +540y-64000=0
（y+640）（y-100）=0
可得 y=-640（舍去） 或 y=100
得 x=60
答：从甲地购得60件，乙地100件
1.上海轨道交通23号线全长约28.6公里，共设22座车站．该线路串联了闵行开发区、紫竹高新、吴泾、徐汇滨江等区域，途经闵行区和徐汇区两区．甲乙两个工程队修建地铁23号线．如果甲乙两队合作，48个月可以完成建设工程；如果甲队单独做40个月后，剩下的工程由乙队独做，还需60个月才能完成建设工程．甲乙两队单独完成地铁23号线的修建各需要几个月？
【解析】解：设甲乙两队单独完成地铁23号线的修建分别需要x个月和y个月，
根据题意可得 ，解之可得： ，
经检验， 是原方程组的解．
答：甲乙两队单独完成地铁23号线的修建分别需要80个月和120个月．
随堂检测
2.甲、乙两地相距270千米，两辆汽车都从甲地开往乙地，大汽车比小汽车提前出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车和大汽车的速度之比为5：2，求两辆汽车的速度各是多少？
【解析】解：设小汽车的速度为x千米/时，大汽车的速度为y千米/时．
则 ，解得 ．
经检验， 是原方程的根．
答：小汽车的速度为90千米/时，大汽车的速度为36千米/时．
3.内江市对城区沿江两岸的部分路段进行亮化工程建设，整个工程拟由甲、乙两个安装公司共同完成．从两个公司的业务资料看到：若两个公司合做，则恰好用12天完成；若甲、乙合做9天后，由甲再单独做5天也恰好完成．如果每天需要支付甲、乙两公司的工程费用分别为1.2万元和0.7万元．
试问：
(1)甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天？
(2)要使整个工程费用不超过22.5万元，则乙公司最少应施工多少天？
【解析】解：(1)设甲公司单独做需x天完成，乙公司单独做需y天完成则 ，
将方程两边同乘以14得 + = = ①，
将 =1合并同类项得 + =1 ②，
用①-②得 = ，解得y=30，
再将y=30代入①式或②式都可求出x=20．
答：甲公司单独做需20天完成，乙公司单独做需30天完成．
(2)设甲安装公司安装m天，乙公司安装n天可以完成这项工程．
①，
1.2m+0.7n≤22.5②，
由①得3m+2n=60，
∴m= ③．
把③代入②，得1.2× +0.7n≤22.5，
∴24-0.8n+0.7n≤22.5，
∴0.1n≥1.5，
∴n≥15．
答：乙公司最少施工15天．
4.正在修建的某条公路招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙合作24天可以完成，需要费用120万元；若甲单独做20天后剩下的工程由乙做，还需40天完成，这样需费用110万元，问：
(1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
(2)甲乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？
【解析】解：(1)设甲队独做需a天，乙队独做需b天．
建立方程组 ，解得a=30(天)，b=120(天)
经检验a=30，b=120是原方程组的解．
答：甲队独做需30天，乙队独做需120天．
(2)设甲队独做需x万元，乙队独做需y万元，
建立方程组
解得x=135，y=60
答：甲队独做需135万元，乙队独做需60万元．
5、某开发公司生产的960件新产品，需要经过加工后，才能投放市场，现甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用20天，而乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品，公司需付甲工厂加工费用每天80元，付乙工厂加工费用每天120元。
（1）求甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？
（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成；也可以由两个厂家合作完成，在加工过程中，公司需派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费。请你帮助公司选择一种既省时又省钱的方案，并说明理由。
解：(1)设甲工厂每天加工必件新品，乙工厂每天加工1.5x件新品则:
解得:x= 16经检验，x=16是原分式方程的解
∴甲工厂每天加工16件产品，乙工厂每天加工24件产品
(2)方案一:甲工厂单独完成此项任务则需要的时间为:960÷16=60天
需要的总费用为:60x(80+ 15)= 5700元
方案二:乙工厂单独完成此项任务，则需要的时间为:960÷24=40天
需要的总费用为:40 x(120+ 15)= 5400元
方案三:甲、乙两工厂合作完成此项任务，设共需要a天完成任务，则16a+24a=960
∴a =24.∴需要的总费用为:24x(80+120+15)=5160
综上所述:甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱。
6、某服装厂接到一批订单，加工960套校服。该厂有甲、乙两条生产流水线均可承担加工任务，如果让甲流水线加工这批校服比乙流水线加工这批校服多用20天，而乙流水线比甲流水线多加工8套衣服，甲流水线生产成本为每天150元，乙流水线生产成本为每天240元。如果加工过程中，厂部必须聘请一位顾问作技术人员，每天费用30元，那么你作为厂长，在甲、乙两流水线单独加工或者甲、乙两流水线共同加工三种方案中，请选择一种既省时又省钱的方案。
解：(1)设甲加工这些衣服要必天，则乙需要(x -20)天，根据题意得:
解得:X1= 60，X2=-40(舍去)
经检验: X= 60代入原方程分母中各分母都不为0，
∴原方程的解是X= 60,x-20=40.
答:甲加工这些衣服要60天，乙加工这些衣服需要40天
(2)由(1)可知:甲加工这些衣服要60天，乙加工这些衣服需要40天
则甲每天加工960÷60 = 16(套)乙每天加工960÷40 = 24(套);
甲乙共同加工每天可加工16 + 24 = 40(套)甲乙共同加工需要960÷40=24(天)
甲乙共同加工的费用:24 x(150-240+30)= 10080(元)甲流水线费用:60 x(150+ 30)= 10800(元)
乙流水线费用:40x(240+ 30)= 10800(元)
因此甲乙共同加工更省钱.
答:由甲乙共同加工方案更省钱
7、有一市政建设工程，若由甲、乙两工程队合作，要12个月完成；若甲队先做5个月，余下部分再由甲、乙两队合作，还要9个月才能完成。已知甲队每月的施工费用5万元，乙队每月的施工费用3万元 ，要使该工程总费用不超过95万元，则甲工程队至多施工多少个月？
解：设甲工程队单独完成此项工程需要x个月根据题意可得:
解得:x-20= 30，
∴甲工程队单独完成此项工程需要20个月，乙工程队单独完成此项工程需要30个月
设实际工作中甲、乙两个工程队分别做a、b个月
根据题意可得: 解得:a ≤ 10∴甲工程队至少施工10个月