21.7列无理方程解应用题(第3课时）（教学课件）-2023-2024学年八年级数学下册同步精品课堂（沪教版）

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2023-2024学年八年级下册数学同步精品课堂（沪教版）
第 21章代数方程
21.7列无理方程解应用题(第3课时）
学习目标
1、在应用方程解决实际问题的过程中，提高分析问题和解决问题的能力，体会方程的应用价值.（重、难点）
2、会用无理方程解决简单的实际问题.（重点）
复习引入：
1.直角三角形的两条直角边长分别为则斜边的长为 .
2.正数的平方根是 ,它的正的平方根是 .
3.已知则= .
例5.有两块正方形的瓷砖，其中小的一块瓷砖的面积比大的瓷砖的面积小40平方分米，已知大瓷砖的边长长4分米，求这两块瓷砖的面积分别是多少？
分析：方法一：间接设元：设小瓷砖的边长为x分米
边长 面积
小瓷砖
大瓷砖
方法二：直接设元：设小瓷砖的面积为y平方分米
面积 边长
小瓷砖
大瓷砖
解得x=9.
经检验，x=9 是原方程的根,且符合题意
当x=9 时,还十40=9+40=49.
答:这两块瓷砖的面积分别是 9 平方分米和49 平方分米
例6.如图 21-3,l1是一条东西方向的道路,l2是一条南北方向的道路,这两条道路相交于点 O.有一棵古树位于图中点 P处，从古树到l1、l2的距离分别为 3 千米和2千米分别以与所在的直线为坐标轴(以 1千米为长度单位)建立平面直角坐标系,如图 21-4所示.
小明和小丽从点 O 处同时出发,其中小明沿着l2 以 5 千米/时的速度由南向北前进,小丽沿着l1 以 4 千米/时的速度由西向东前进
(1) 试用坐标表示这两人出发后经过 t小时分别所到达的位置;
(2) 两人出发后经过了多少时间,他们分别所在的位置与古树的距离恰好相等
分析：根据题意，以点O为原点，L1所在直线为x轴（向东为正方向）、L2所在直线为y轴（向北为正方向），建立直角坐标系（两轴以1千米为长度单位），则点P的坐标为（2，3）
设t小时后两人与点P的距离相等，此时小丽和小明所在的位置分别记为A和B，得A（4t，0），B（0，5t）
因为AP＝BP根据两点距离公式得：
解得：
经检验,t1、t2 都是原方程的根,但 t1=0 不合题意，舍去
议一议：
例题5、6是通过哪种方程来求解的？它们与前面所学的列方程解应用题有什么相同点与不同点？
总结
列无理方程（组）解应用题的一般解题步骤：
1．审题 2．设元
3．列方程（组） 4．解方程
5．检验 6．解答。
7.（无理方程要验二次根哦！）（检验是否为原方程的解，验证是否符合题意。）
1. 有一个数,它的正平方根比它的倒数的正平方根的 3 倍多 2,求这个数.
解：设这个数为x，由题意得
答：这个数为9
课本练习
2. 某学校修建两块面积相等的绿地,一块是长方形,另一块是正方形.已知长方形绿地的长比宽多 14 米,且这两块绿地的周长之和为 196 米,那么长方形绿地的宽是多少米
解:设长方形绿地的宽为x米,则长为(x+14)米。由题意,得
解得：x=18
答:长方形绿化地的宽度是18米.
3.试一试.树根下有一蛇洞,树高 15 米.树顶有一只苍鹰，它看见一条蛇迅速地向洞口爬去，在与洞口的距离还有三倍树高时，鹰向蛇的前方直扑过去.如果鹰、蛇的速度相等，那么在蛇离洞口多远处,鹰能抓住蛇 (此题由古代印度数学家婆什迦逻的有趣问题改编而来.)
解：设苍鹰扑向的那一点距离树根的距离为x，由题意可得方程如下：
答：在蛇离洞口20米远处,鹰能抓住蛇
解之得x=20
1.如图，在平面直角坐标系xOy中，点B(5，3)，∠OAB=∠B=90°，OC+BC=7，求点C的坐标．
【解析】解：设C(x,3)，
∴OC= ，BC=5-x,
∵OC+BC=7，∴ +(5-x)=7，
∴ =x+2，
两边平方得：x2+9=x2+4x+4，解得x= ，
经检验，x= 是原方程的解，
∴C( ，3)．
随堂检测
2.如图，矩形草坪ABCD的长AD=14m,宽AB=12m,小华把一根长为28m的绳子的一端固定在点B处，沿草坪边BA、AD走到点P处(点P在边AD上)，把长绳PB段拉直并固定在点P处，然后沿草坪边PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C处，求AP的长．
解：设AP=x m,则DP=(14-x)m,
∴BP= ，CP= ，
∵绳子长28m,
∴ + =28，
∴ =28- ，
解得x=5或x=9，
经检验，x=5，x=9都是原方程的解，
∴AP的长是5m或9m.
3.如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=6m,宽AB=4m,小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，____∴∠A=∠D=90°，AB=CD=4，
设AP=x m,则PD=(6-x)m,
∵BP+CP=10，BP= ，CP= ，
∴ + =10，∴ =10- ，
两边平方，得(6-x)2+16=100-20 +16+x2，
整理，得5 =3x+16，两边平方并整理，得x2-6x+9=0，
即(x-3)2=0，所以x1=x2=3，经检验，x=3是方程的解．
答：AP的长为3m.
4.如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m,宽AB=3m,小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
【解析】设AP=xm,则DP=8-x(m)．
∵BP= = ，
CP= = ，
又∵BP+CP=10m,∴ + =10．
∴ =10- ．
∴(8-x)2+9=100-20 +9+x2．整理，得9+4x=5 ．
∴81+72x+16x2=225+25x2．
∴x2-8x+16=0．∴(x-4)2=0．∴x=4．
答：AP的长为4m.
5.如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=14m,宽AB=12m,点P在AD上(AP＞PD)，小华把一根长为28m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．
【解析】解：(3)设AP的长为x m,则DP的长为(14-x)m.
由题意，得 =28，
整理，得2 =x+21，
两边平方，得4(144+x2)=x2+42x+441，
即3x2-42x+135=0．
整理，得x2-14x+45=0．
∴(x-5)(x-9)=0．所以x1=5，x2=9，
经检验x1=5，x2=9是原方程的根．
由于AP＞DP，所以AP=9m.
6.如图，在矩形ABCD中，AD=8，AB=2，点P在AD上，若PB+PC=10，求AP的长．
________
【解析】解：设AP的长为x,则PD=8-x.
由题意，得 =10，
移项，得 =10- ，
两边平方，得4+(8-x)2=100-20 +4+x2，
整理，得9x2-72x+19=0．
解得x= ．
经检验x= 是方程的解．
所以AP的长为 ．
7、有一直立杆，它的上部被风吹折，杆顶着地处离杆脚20dm，修好后又被风吹折，因新断处比前次低5dm，故杆顶着地处比前次远10dm，求此杆的高度。
解：设第一次被折断时顶部长x,根部长y,折后构成一个直角三角形,据勾股定理有：
（2）-（1）得x+y=50
即杆的高度为50dm
课堂小结：
1、 首先把实际问题转化为数学问题。
（1）找出等量关系，列出方程；
（2）画出平面几何图形，在图形中寻找等量关系列方程；或建立直角坐标系，在坐标系内寻找等量关系列方程。
2、列无理方程解决应用问题的一般步骤。
列无理方程（组）解应用题的一般解题步骤：
1．审题 2．设元
3．列方程（组） 4．解方程
5．检验 6．解答。
7.（无理方程要验二次根哦！）（检验是否为原方程的解，验证是否符合题意。）