2024年 九年级数学中考复习 相似三角形综合解答题 专题提升训练（含答案）

2024年春九年级数学中考复习《相似三角形综合解答题》专题提升训练（附答案）
1．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）求证EG2＝GF AF；
（3）若AG＝3，EG＝，求BE的长．
2．如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结，当与相似时，求的长．
3．如图，在中，，为上一点，经过点的分别交，于点，，与相切于点，连接，相交于点．
(1)求证：平分；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
4．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴正半轴交于点，已知．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标．
（2）若为第一象限抛物线上的一个动点，为轴上的一点，过点作轴，若与以点、、为顶点的三角形相似，求动点的坐标．
5．【问题背景】（1）如图1，，，．求证：；
【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值；
【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长．
6．如图，为正方形对角线上的一点，连接并延长交于点，过作分别交，于，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点与点关于直线对称，连接并延长交直线于点，连接．
①设的度数为，求的度数：
②猜想与之间的数量关系，并证明．
7．在矩形中，点是对角线、的交点，直角的顶点与重合，、分别与、边相交于、，连接，（为常数）．
（1）发现问题：如图1，若，猜想：________；
（2）类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长．
8．综合与实践
【问题背景】
如图1，矩形中，．点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边的点处．
【问题解决】
（1）填空：的长为______．
（2）如图2，将沿线段向右平移，使点与点B重合，得到与交于点F，与交于点G．求的长；
【拓展探究】
（3）在图2中，连接，则四边形是平行四边形吗？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．
9．在菱形中，，点、分别是边、上两点，满足，与相交于点．
（1）如图1，连接．求证：；
（2）如图2，连接．
①求证：；
②若，，求线段的长（用含、的代数式表示）．
10．（1）如图1，，垂足为D，，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED．你能在图中找出一对相似三角形，并说明相似的理由吗？
（2）如图2，在中，，，，重足为E，P为AB上一点，于D，交BE于F．求证：；
（3）如图3，在中，，M为AC上一点，连接BM，，，，请直接写出BC的长．
11．【问题探究】
（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD．
①请探究AD与BD之间的位置关系？并加以证明．
②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，求线段AD的长．
【拓展延伸】
（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．
12．如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题：
【问题发现】
（1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________．
【类比探究】
（2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论．
【拓展应用】
（3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．
13．如图1，已知：内接于圆O，，连接并延长，交于点D．
(1)求证：
(2)如图2，过点B作于点E，交圆O于点F，交于点G，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接DE，，，求DE的长．
14．【问题提出】已知一个三角形的三条边长，怎样求出其内角平分线的长度？
【问题转化】
（1）已知：如图1，中，是内角平分线．求证：；
（2）已知：如图2，内接于，延长的内角平分线交于点．求证：；
【问题解决】
（3）已知：如图3，中，，，，是的内角平分线．求的长；
（4）已知：如图3，中，，，，是的内角平分线．请直接写出求的计算公式：__________．
15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，弦AD平分∠BAC，过点D作射线AC的垂线，垂足为M，点E为线段AB上的动点．
(1)求证：MD是⊙O的切线；
(2)若∠B＝30°，AB＝8，在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由；
(3)若点E恰好运动到∠ACB的角平分线上，连接CE并延长，交⊙O于点F，交AD于点P，连接AF，CP＝3，EF＝4，求AF的长．
16．如图，在中，，，点为的中点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，且交线段于点，的平分线交于点．
（1）如图1，若，则线段与的数量关系是________，________；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点作交于点，连接，．
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②求证：；
（3）如图3，若，，过点作交于点，连接，，请直接写出的值（用含的式子表示）．
17．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置．
（1）如图1，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，，，则GF的长度为________________；
（2）如图2，当点C恰好落在AD边上点F处时，若，且，求BC的长；
（3）如图3，当点C恰好落在AD边上点F处时，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值．
18．【基础探究】（1）如图①，在中，为上一点，，交延长线于点，若，求的长．
【拓展延伸】（2）如图②，在中，为上一点，，交延长线于点，，， ，则 ．
【拓展延伸】（3）如图③，点为四边形内部一点，且有，，于点，为上一点，，若，，则的面积为 ．
19．【问题探究】
课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：
如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值．

(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．
【初步运用】
(2)如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值．
【灵活运用】
(3)如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则__________________．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和．
（1）求抛物线的对称轴．
（2）当时，将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线．
①求抛物线的解析式．
②设抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点．设点的横坐标为．是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．（1）证明：∵GE∥DF，
∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF．
∴DG=GE=DF=EF．
∴四边形EFDG为菱形．
（2）证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O．
∵四边形EFDG为菱形，
∴GF⊥DE，，
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴，即DF2=FO AF．
∵，
∴；
（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．
∵，
∴，整理得：FG2+3FG-10=0．
解得：FG=2，FG=-5（舍去）．
∵
∴
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH∥AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴，即，
∴．
∴．
2．（解：（1）∵AD∥BC，
∴，．
∵DB=DC=15，DE=DF=5，
∴，
∴，
∴BG=CH．
（2）过点D作DP⊥BC，过点N作NQ⊥AD，垂足分别为点P、Q．
∵DB=DC=15，BC=18，
∴BP=CP=9，DP=12．
∵，
∴BG=CH=2x，
∴BH=18+2x．
∵AD∥BC，
∴，
∴，
∴，
∴DN＝．
∵AD∥BC，
∴∠ADN=∠DBC，
∴sin∠ADN=sin∠DBC，
∴，
∴NQ＝．
∴y＝AD NQ＝x (0＜x≤9)．
（3）∵AD∥BC，
∴∠DAN=∠FHG．
（i）当∠ADN=∠FGH时，
∵∠ADN=∠DBC，
∴∠DBC=∠FGH，
∴BD∥FG，
∴，
∴，
∴BG=6，
∴AD=3．
（ii）当∠ADN=∠GFH时，
∵∠ADN=∠DBC=∠DCB，
又∵∠AND=∠FGH，
∴△ADN∽△FCG．
∴，
∴x (18 2x)＝ 10，整理得x2-3x-29=0，
解得x＝，或x＝（舍去）．
综上所述，当△HFG与△ADN相似时，AD的长为3或．
3．（1）证明：如图1，连接OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ODB＝90°＝∠C，
∴ODAC，
∴∠ODA＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）证明：如图2，连接DF，EF．
∵AE是⊙O的直径，
∴∠AFE＝90°＝∠C．
∴EFBC，
∴∠B＝∠AEF．
∵∠AEF＝∠ADF，
∴∠B＝∠ADF，
由（1）知∠BAD＝∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，
∴，
∴AD2＝AB·AF；
（3）解：设⊙O的半径为R，则OA＝OD＝OE＝R．
∵BE＝8，
∴OB＝BE＋OE＝8＋R．
在Rt△BDO中，，
∴，
∴R＝5，
∴AE＝2OE＝10，AB＝BE＋2OE＝18，
由（2）知∠AEF＝∠B，∠AFE＝90°，
∴．
在Rt△AFE中，，
∴，
由（2）知AD2＝AB·AF，
∴．
4．解：（1）设点的坐标为，则点的坐标为．
∵抛物线的对称轴为，
∴，∴，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，抛物线的解析式为，顶点的坐标为
（2）设动点的坐标为，
①当∽时，，则，
∴，（舍去），
∴点的坐标为．
②当∽时，，则，
∴，（舍去），
∴点的坐标为．
∴动点的坐标为或．
5．解：（1）如图，∵，，，
∴，且，
∴，
∴，
∴
（2）如图2，连接BD，
∵，，
∴
在正方形ABCD中，，
∴，，
，
∴；
（3）如图，过点作，交于点，连接
又
即
6．证明：（1）作，垂足为，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠NAB=90°，∠NHB=90°，
∴∠B=∠NAB=∠NHB=90°，
∴四边形ABHN为矩形，
∴，
，
，又，
，
，
；
（2）①.
点与点关于直线对称，且四边形是正方形，
，，
，
在等腰中，，
又，
；
②.
证明：连接，，
由对称性可知，
即是等腰直角三角形，
∴FC，
，
∵四边形ABCD为正方形，
∴，
，
，
又，
，
，
．
7．解：（1）若，则，即四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠EOB=∠FOC，
∴△OEB≌△OFC，
∴OE=OF，
∴
故答案为：1；
（2）．
理由：过作于，作于，
∵，
∴四边形是矩形．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在矩形中，，
∵，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
由（2），，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
令，则，
由题意，，
由勾股定理得，，
解得：，
∴，
∴，
∴，
由（2）知，，
∴在中，，
∴．
8．解：（1）如图：∵矩形中，
∴CD=AB=10，AD=BC=8
根据折叠的性质可得DC＇=DC=10
在直角三角形ADC＇中，AC＇=．
（2）由折叠可知：．
在中，根据勾股定理可求得，
∴．
在中，设，根据勾股定理，得，
解得，即．
如图：连接，则由平移可知，，且．
于是可得，
∴，
又∵，
∴．
（3）四边形不是平行四边形，理由如下：
由折叠可知；
又∵平移可知，且，
∴，
∴，即是等腰三角形，
∴．
如图，过点作于点H，则且，
∴ ．
设，则，
在中，根据勾股定理，得，
解得，
∴，
∴．
而在中，，
根据勾股定理可求得，
∴，即，
故四边形不可能是平行四边形．
9．（1）证明：∵四边形是菱形，，
∴ ，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵
∴．
（2）①证明：连接，延长到点，使，连接．
由（1）知，
∴，
，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴
∴是等边三角形，
∴．
②由①可知，
∵，∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
10．解：（1）如图，相似三角形有：，，．
证明如下：
∵，，
∴，，
又∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴；
（答案不唯一，选取一个说明即可）
（2）过P作，分别交BE、BC于点H、G
，．
，．是等腰直角三角形．
．
∵，，
．
∴，
，
．
∵，，．
∴．
在和中
，
∴，
∴，
∴；
（3）过点作，过点作，如下图：
设，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在中，，即，
解得，，
又∵，
∴
，
∴．
11．解：（1）和均为等腰直角三角形，
，，，
，
，且，，
，
，
，
，
故答案为：；
②如图，过点作于点，
，，，
，
，
，
故答案为：4；
（2）若点在右侧，
如图，过点作于点，
，，，，．
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
即，
，，
，
，
若点在左侧，
，，，，．
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
即，
，，
，
．
12．解：（1）连接，如下图：
∵点D为BC边中点
∴
又∵为等腰直角三角形
∴，，
∴
又∵
∴
∴
∴
（2）分别过点、作、交于点
∵为等腰直角三角形
∴
又∵、
∴、为等腰直角三角形
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴，，
∴，
∴
又∵
∴
∴，即
（3）∵，
∴
又∵
∴
∴
∴
设，
∴
∴当时，最大，最大为1．
13．（1）证明：如图，连接、，
∵，，
∴点都在线段的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，，
∴是线段的垂直平分线，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，则，
∴，
在中，，
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
整理得，
解得（不合题意，舍去），
∴，
∵，
∴．
14．解：（1）过点C作CE∥AB交BA的延长线于点E，
∴，∠DAC＝∠ACE，∠BAD＝∠E
∵AD是内角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴∠E＝∠ACE，
∴AE＝AC，
故；
（2）连接CE，
∵∠AEC＝∠ABC，∠BAD＝∠ECD，
∴△ABD∽△CED，
∴，即BD CD＝AD DE，
同理可得：△ABD∽△AEC，故AB AC＝AD AE，
即AB AC＝AD（AD+DE）＝AD2+AD ED＝AD2+BC CD，
∴AD2＝AB AC﹣BD CD；
（3）由（1）知，，
而BC＝5，故BD＝3，CD＝2，
则AD2＝AB AC﹣BD CD＝24﹣6＝18，
∴AD＝3；
（4）由（1）知，，
∴BDAC，则BC，
∴AD2＝AB AC﹣BD CD＝bc，
∴AD，
故答案为．
15．（1）解：如图，连接OD，交BC于点N，
AB为直径
弦AD平分∠BAC，
四边形CNDM为矩形
OD为圆的半径
MD是⊙O的切线
（2）解：在点E运动过程中，EC+EM存在最小值，理由如下：
过点C作，并延长交⊙O于点F，连接MF，交AB于点E，连接EC，则此时EC+EM的值最小
弦AD平分∠BAC，
与的度数为
AB是直径
，AB是直径
为半圆
FD为圆的直径
由（1）知：MD是⊙O的切线
由题意得：AB垂直平分FC
由（1）知：四边形CNDM为矩形
在中
在中
EC+EM的最小值为．
（3）解：如图
FC平分，
AD平分，
解得或（不合题意，舍去）
16．解：（1）∵点为中斜边的中点，
∴，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∵中，，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
故答案为：；；
（2）①正方形，理由如下：
∵，平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
又∵，
∴四边形为正方形；
②显然，在正方形中，，
∴，
又∵，
∴，
由（1）得：则为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴
在与中，
∴，
∴，
∴；
（3）同（2）中①理，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形为菱形，
∵为等边三角形，
∴，菱形的边长也为2，
由题意，，，
∵，
∴，
即：，
∴，
∵在菱形中，，
∴，
∴，
如图，作，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴．
17．解：（1）设CF交BE于点H，
∵四边形为矩形
∴，
∴
由翻折可得：，
∴为的中垂线
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
由翻折得
∴
∴
故答案为：
（2）∵将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处
∴，
又∵矩形ABCD中，
∴，
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
（3）过点作于点
∵
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴，设
∵平分，，
∴，，设，则
∵
∴
解得
∴
∴
18．解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∴的长为．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
在中，，
∴．
故答案为：．
（3）如图，过点作交延长线于点，
∴，，
∴，
∴，
即：
∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
即，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
19．（1）解：∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：构造如图所示矩形，延长交于点G，
由（1）中结论可得：，
∵，
∴设，，
∵点为的中点，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
∵，
∴，则，，
解得：，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴；

（3）解：连接，构造如图所示矩形，过点N作，交于点P，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设，，
∴，
设，
则，，
∴，整理得：，
∴，
由（1）中结论可得：．
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴．
故答案为：．

20．解：（1）因为抛物线图像过（1,1）、（4,1）两点，
这两点的纵坐标相同，根据抛物线的性质可知，对称轴是x=（1+4）÷2=2.5,；
（2）①将点（1,1）、（4,1）向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到（-1,0），（2,0），将点（-1,0），（2,0），a=-1，
根据交点式可求出C1二次函数表达式为；
②根据①中的函数关系式，可得A（2,0），B（-1,0），C（0,2），D（m，），且m＞0
由图像可知∠BOC=∠DEO=90°，
则以点，，为顶点的三角形与相似有两种情况，
（i）当△ODE∽△BCO时，
则，即，
解得m=1或-2（舍），
（ii）当△ODE∽△CBO时，
则，即，
解得
所以满足条件的m的值为1或．