2024年 九年级数学中考复习 二次函数与平行四边形综合压轴题 专题提升训练（含答案）

2024年春九年级数学中考复习《二次函数与平行四边形综合压轴题》
专题提升训练（附答案）
1．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧，点的坐标为，
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)若点是轴上的一点，在抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点且以为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P为直线上方的抛物线上一点，过点P作y轴的垂线交线段于M，过点P作x轴的垂线交线段于N，求的周长的最大值．
(3)若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C．
(1)如图1，若，则n的值为______（直接写出结果）；
(2)如图1，在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标；
(3)如图2，过点A作直线的平行线交抛物线于另一点D，交y轴于点E，若，求n．
4．抛物线经过、两点，且，直线过点，，点是线段（不含端点）上的动点，过作轴交抛物线于点，连接、．
(1)求抛物线与直线的解析式；
(2)求证：为定值；
(3)在第四象限内是否存在一点，使得以、、、为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图1，抛物线与x轴交于A，B．两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线经过点A，C．
(1)求直线的解析式；
(2)点P为直线上方抛物线上的一个动点，过点P作于点D，过点P作交x轴于点E，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）问取得最大值的情况下，将该抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，点M为新抛物线对称轴上一点，在新抛物线上确定一点N，使得以点P，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程．
6．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为．
(1)求点C的坐标；
(2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接．
(1)求△ABC的面积；
(2)如图2，点P为直线上方抛物线上的动点，过点P作交直线于点D，过点P作直线轴交直线于点E，求的最大值及此时P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将原抛物线向右平移2个单位，再向上平移8个单位，点M是新抛物线与原抛物线的交点，N是平面内任意一点，若以P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．
8．如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点作轴于点D，交直线于点，求线段的最大值及此时点的坐标；
(3)取（2）中最大值时的P点，在坐标平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
9．如图，抛物线与x轴交于两点，且，与y轴交于点，其中是方程的两个根．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)点M是线段上的一个动点，过点M作，交于点N，连接，当的面积最大时，求点M的坐标；
(3)点在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴是否存在点F，使以A，D，E，F四点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标．
11．如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
(1)求抛物线及直线的解析式．
(2)设点，求使的值最小时m的值．
(3)若抛物线的对称轴与直线相交于点B，E为直线上的任意一点，过E作交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E，F的坐标；若不能，请说明理由．
12．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线）经过，两点，与轴相交于另一点，连接．点是线段上方抛物线上的一个动点，过点作交线段于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线对称轴上的一个动点，则的最大值是___________；
(3)求的最大值，并写出此时点的坐标；
(4)在轴上找一点，抛物线上找一点，使以点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P为直线上方抛物线上的一点，过点P作x轴的平行线交于点D，过点P作y轴的平行线交于点E，求的最大值以及此时点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线的方向平移，使得平移后的抛物线经过线段的中点，且平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M，N，R是直线BC上任意两点，Q为新抛物线上一点，直接写出所有使得以点M，N，R，Q为顶点的四边形是平行四边形的点Q的横坐标，并把求其中一个点的横坐标过程写出来．
14．抛物线（）与x轴交于点，两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点P在线段上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作，垂足为D，交于点E．作，垂足为F，若点P的横坐标为t，请用t的式子表示，并求的面积的最大值；
(3)如图2，点Q是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标，并把求其中一个点P的坐标的过程写下来．
15．综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为，点C的坐标为．
(1)求二次函数的表达式和点B的坐标．
(2)若P为直线l上一点，Q为抛物线上一点，当四边形为平行四边形时，求点P的坐标．
(3)如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接，抛物线上是否存在点M，使？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
16．在直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点．其中点，点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，在直线经过点，与轴交于．在直线l下方的抛物线上有一个动点，连接，，求面积的最大值及其此时的坐标．
(3)将抛物线y向右平移个单位长度后得到新抛物线，点是新抛物线的对称轴上的一个动点，点是原抛物线上的一个动点，取面积最大值时的点．若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标，并写出求解其中一个点的过程．
17．如图，已知抛物线的顶点为点，且与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点．点为抛物线对称轴上的一个动点：
(1)当点在轴上方且时，求的值；
(2)若点在抛物线上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形﹖请求出点的坐标；
(3)若抛物线对称轴上有点，使得取得最小值，连接并延长交第二象限抛物线为点，请直接写出的长度．
18．图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点．P是抛物线上一点，且在直线的上方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点E为中点，作轴交于点Q，若四边形为平行四边形，求点P的横坐标；
(3)如图3，连结，交于点M，作交于点H．记，，的面积分别为．判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点Q．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当的值最大时，求点P的坐标和的最大值；
(3)把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位得新抛物线，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的N点的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
20．抛物线与x轴交于，与y轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，M为抛物线对称轴l上一动点，连接，求的最小值及此时M点的坐标；
(3)如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，点，P为抛物线上一动点，Q为抛物线对称轴l上一动点，以点E、F、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出所有可能的点Q的坐标．
参考答案
1．（1）解：∵点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵抛物线过点，
∴
解得
∴抛物线的函数关系式为；
（2）在抛物线上存在点，使以，，，为顶点且以为一边的四边形是平行四边形；
理由：①如图1，当点在轴下方时，则：，
∴点的纵坐标为，
令，则，
解得，，
∴点的坐标为；
②如图2，当点在轴上方时，
∵平行四边形的对角线分平行四边形为面积相等的两个三角形，点到轴的距离为3，
∴点到轴的距离为3，
令，则，
解得，
∴，，
综上可得，在抛物线上存在点，使以，，，为顶点且以为一边的四边形是平行四边形，点的坐标为或或．
2．（1）解：（1）抛物线过，两点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）当时，，即：，
则，，，
设的解析式为：，将，代入可得：
，解得：，
∴的解析式为：，
设，
∵点P为直线上方的抛物线上一点，过点P作y轴的垂线交线段于M，过点P作x轴的垂线交线段于N，
∴，则，
当时，点的纵坐标为：，
则 ，
∴当时，有最大值为：，
由题意可知，，轴，则，
∴，
则，则，，
的周长为，
则当最大时，的周长有最大值，
即：的周长的最大值为；
（3）存在点，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
①以为对角线，过C作轴交抛物线与M，点N在x轴上，，；
②以为边，过M作垂直抛物线对称轴于G，当，且时，四边形为平行四边形，M点横坐标，纵坐标，；
③过N作轴，与过M作轴交于H，当，时，四边形为平行四边形，M点横坐标为，纵坐标，；
综上所述：点的坐标为或或．
3．（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，
∴，，
∵，即，
∴
，
解得：；
（2）由（1）当时，
解得，，
，，
，，
抛物线对称轴为直线，
设点坐标为，，
由平行四边形性质可知，
当、为平行四边形对角线时，点坐标为，，
代入，
解得则点坐标为，，
当、为为平行四边形对角线时，点坐标为，，
代入，
解得则坐标为，，
综上点坐标为，，；
（3）设点坐标为，
，
则，，
，
，
，
，
，
由一元二次方程根与系数关系，
，
，
将点，，代入，
，
解得或（舍去），
则．
4．（1）解：令，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
将点代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
设直线为，
将点，的坐标代入得，
，解得：，
∴直线的解析式是：；
（2）证明：设点，，如图，过点作轴于点，
则，则，，，
∴为定值；
（3）解：存在，理由：
①当是平行四边形的边时，
如下图：设直线交轴于点，交于点，
令，则，解得；
令，则，
∴，，则，
∴，，
过点作于点，则，
则，
则以、、、为顶点的平行四边形面积，
其中为常数，
故当最大时，平行四边形的面积最大，
设点，则点，
则，
即的最大值为，此时点；
②当是平行四边形的对角线时，如下图，
同理可得：以、、、为顶点的平行四边形面积，
此时，
∵当时，的值随最大而增大，而，
当时，最大值为，
故该种情况，不符合题设要求，
综上，点，即四边形为平行四边形时，符合题设要求，
设点，
由中点坐标公式得：，
解得：，
故点．
5．（1）解：当时，，
∴点，
当时，，
解得：，
∴点，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：如图，过点P作轴于点F交于点G，
∵，，
∴，
∴，
设点，则点，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为；此时点；
（3）解：∵，
∴原抛物线的顶点坐标为，
∵将该抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，
∴相当于原抛物线沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向上平移个单位后得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为，
∴新抛物线的对称轴为直线，
设点，，
若以对角线为对角线，有
，解得：，
此时点M的坐标为；
若以对角线为对角线，有
，解得：，
此时点M的坐标为；
若以对角线为对角线，有
，解得：，
此时点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或或．
6．（1）解：将点代入得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：，
把代入得：，
∴点C的坐标为；
（2）解：过点P作轴于点D，交于点F，过点P作于点E，
∵，，
∴，
∴，
∵，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
设直线的函数表达式为：，
将点，代入得：
，解得：，
∴直线的函数表达式为：，
设点，则，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴．
把代入得：，
∴，
综上：点P到直线距离为，此时；
（3）解：由（1）可得，抛物线的表达式为：，
∴该抛物线是对称轴为直线，
∵点N再抛物线对称轴上，点M在抛物线上，
∴设点，，
①当为平行四边形的对角线时，
∵，，
∴中点为，
∵，，
∴，解得：，
∴，
∴；
②当为平行四边形的对角线时，
∵，，
∴中点为，
∵，，
∴，解得：，
∴，
∴
③当为平行四边形的对角线时，
∵，，
∴中点为，
∵，，
∴，解得：，
∴，
∴
综上：点M的坐标为或或．
7．（1）解：令，则，
解得或4，
∴，
∴，
令，则，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，的值最大，最大值为，
此时；
（3）解：∵原抛物线向右平移2个单位，再向上平移8个单位得到新抛物线，
∴平移后的抛物线的解析式为，
联立方程组，解得，
∴，
设，
①当为平行四边形的对角线时，
，解得，
∴；
②当为平行四边形的对角线时，
，解得，
∴）；
③当为平行四边形的对角线时，
，解得，
∴；
综上所述：N点坐标为或或．
8．（1）解：把，代入得：
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）由题意可得，则，
由题意可得直线过点、，则
设函数解析式为：，
依题意得：
解得：
的函数关系式为，
令，则，
∴当时，的最大值为4．
∴；
（3）存在．点的坐标为或或．
解：设，又、、，
当、为平行四边形的对角线时，与的中点重合，
∴，
解得：，
∴；
当、为平行四边形的对角线时，与的中点重合，
∴，
解得：，
∴；
当、为平行四边形的对角线时，与的中点重合，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，点的坐标为或或．
9．（1）解：解方程得，则，
设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：作轴于H，如图1，
设，
，
，
，即，
，
，
当时，的面积最大，此时M点的坐标为；
（3）解：当时，，则，
如图2，当，则，
∴，
∴此时F点坐标为或；
当 时，则点E和点D的纵坐标互为相反数，即点E的纵坐标为5，
当时，，
解得，
若E点坐标为，由于点向右平移5个单位，向下平移5个单位得到D点，则E点向右平移5个单位，向下平移5个单位得到F点，此时F点坐标为；
若E点坐标为，同样方法得到此时F点坐标为；
总上所述，满足条件的F点坐标为或或或．
10．（1）解：将点，代入得：，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为：；
（2）解：如图，设交于H，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴
，
∴当时，取得最大值，此时；
（3）解：由题意得：平移后抛物线解析式为，，
∴，
∵抛物线的对称轴为，
∴设，，
分情况讨论：
①当为对角线时，
则，
解得：，此时，
∴点N的坐标为；
②当为对角线时，
则，即，
此时，
∴点N的坐标为；
③当为对角线时，
则，即，
此时，
∴点N的坐标为，
综上所述，点N的坐标为或或．
11．（1）解；将，两点代入得，，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
将，两点代入得，，
解得，
∴，
∴抛物线的解析式为，直线的解析式为；
（2）解：当，，
当，，
当，或，
∴，，抛物线与 轴的另一个交点坐标为，
∵，
如图，作直线平行于轴，则在直线上，作关于直线的对称点，连接，与直线交点为，连接，
由题意知，，，
∴，
∴当三点共线时，的值最小且为，
设直线的解析式为，
将点坐标代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入得，，
∴的值为；
（3）解：将代入得，，
∴，，
设，则，
∵以B，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，
∴，
∴，
①当，解得，（与重合，舍去），
∴，则，，
②当，解得，，
∴，则，，
，则，，
综上所述，以B，D，E，F为顶点的四边形能为平行四边形，，或，或，．
12．（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴，，
∵抛物线）经过，两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：，
（2）解：取关于对称轴的对称点，对称轴，
∴，
解方程得到，
∴，
∵，
∴当共线时，有最大值，
∴，
∴故答案为：；
（3）解：过点做轴交于点，
设直线的解析式为：，
∵，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴当时，有最大值，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当最大时，最大，
∴此时；
（4）解：①为对角线，
∵，在轴上，
∴轴，为的对称点，
∴，，
∴，
∴，
②为边，为对角线，设，，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴，
③为边，为对角线，设，，
∴，
∴，
∴，
∴或，
综上可得到：、、、．
13．（1）解：将，点代入，
得，
解得，
该抛物线的解析式为；
（2）解： ，
，
轴，
．
又由题知是直角三角形，，
，
，
当最大时，的长最大，
设直线的解析式为：，
直线经过点，，
代入得：，
解得，
，
设，则，
，
，
当时，有最大值，，
，此时；
（3）解：由（2）得，，
∴中点的坐标为，
∴可以看作点C向右移动个单位长度，向下移动个单位长度，
∵抛物线经过点C，平移后的抛物线经过中点，
∵
∴平移后的抛物线的解析式为：，
对称轴为，
∴与x轴的交点坐标为，
设点Q的坐标为：
当为平行四边形的对角线时，如图所示：
对角线的交点仍在直线上，
∴的中点为，代入直线解析式得：
，
解得：，；
当为平行四边形的边时，，
设直线的解析式为，且，
将点代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
将点Q代入得： ，
解得：，
综上可得：点的横坐标为：或或或．
14．（1）解：将，，三点代入解析式得，
，
解得：，，，
∴；
（2）解：设解析式为，
将， 代入解析式可得，
，
解得：，
∴，
∵点P的横坐标为t，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
过F作，
∵，
∴，
∴，
∴当时，面积最大，
；
（3）解：由（1）得，
，
设，
∵点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形，
①当为对角线时，
P点坐标为，
∴，
解得：，
；
②当为对角线时，
P点坐标为，
∴，
解得：，
；
③当为对角线时，
P点坐标为，
∴，
解得：，
；
综上所述：，，；
15．（1）解：∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，解得：，
∴二次函数的表达式为；
令，则，
解得：，
∴点B的坐标为；
（2）解：如图，
∵点B的坐标为，
∴，
设直线l的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线l的解析式为，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴轴，
设点P的坐标为，则点Q的坐标为，
∴，
∴，
解得：或0（舍去），
∴点P的坐标为；
（3）解：对于，
令，，
∴点D的坐标为，
∴，
∵点，
∴，，
如图，过点A作于点E，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
过点M作轴于点F，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设点M的坐标为，
∴，
∴，
解得：（舍去）或2或4，
∴点M的坐标为或．
16．解:（1）∵抛物线与x轴交于、两点．其中点，点
∴
（2）将代入，
得：
解得：
∴
令，解得：，
∴，
如图所示，过点作轴交于点，
设，则，
∴ ，
∴
，
∴对称轴为，且，
∴面积最大值为，
此时，；
（3）∵点，点关于对称，
则抛物线的对称轴为直线，
∵将抛物线y向右平移1个单位长度后得到新抛物线，
∴则平移后新抛物线的对称轴为直线，
设，，
①若以为对角线时，
，
解得：，
∴，
②为对角线时，
，
解得：，当时，，
∴，
③若以为对角线时，
，
解得：，当时，，
∴，
综上所述，或或．
17．（1）解：∵，
令，解得，，
即，，
把代入中，
得，
即，
∵，
∴对称轴是直线，
顶点，
设对称轴与x轴交于点F，
∴，，，
∵，
∴，
在，．
（2）解：存在
∵点在抛物线上，点在对称轴上，
∴可设，，，
①以为对角线时，由平行四边形的对角线互相平分；则，
∴，
解得，即；
同理②以为对角线时，，
解得，即；
③以为对角线时，，
解得，即；
综上所述，存在，，，使得点，，，为顶点的四边形是平行四边形；
（3）解：如图所示，过点作于点，交对称轴于点，连接并延长交第二象限抛物线为点，
在中，，
∴，
∴，
∴要取得最小值，即要最小，
∴当点，，三点共线且垂直时最小，
此时最小，
在，中，，
∴，
∴，即，
∵，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴的解析式为：，
联立，
解得或（舍去）
∴，
∴．
18．解:（1）∵抛物线经过，，
∴，
解得，
∴，
（2）当时，，
∴点C的坐标是，
∴，
∵四边形为平行四边形，E为中点，
∴，
设直线的解析式为，
则，
∴直线的解析式为，
设，
∴，
，
，
∴点P的横坐标为；
（3）∵，
∴，
，
作交y轴于N，作轴交于Q，
∴， ，
∴，
∴,,
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
．
∴最大值．
即存在最大值，最大值为．
19．（1）解：抛物线与x轴交于、两点（点A在点B的左侧），
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：抛物线与y轴交于点C，
，
，
设直线的解析式为，把，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
如图1，过点P作轴交于点D，
设，则，
，
，
，
，
当时，取得最大值，此时，；
（3）解：∵向右平移1个单位，再向上平移2个单位得新抛物线，
新抛物线解析式为，对称轴为直线，
设，，
①当为的边时，
则，，
，
解得：，
；
②当为的边时，
则，，
，
解得：，
；
③当为的对角线时，
则，
解得：，
；
综上所述，N点的坐标为： 或或．
20．（1）解：将代入得，，
解得，，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图1，连接，交于，连接，
由题意知，抛物线的对称轴为直线，，
∴当三点共线时，，此时值最小，
当时，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴值最小为；
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴的最小值为，；
（3）解：设，以点E、F、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，分两种情况求解：
①为平行四边形的边；
如图2，四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∴；
如图3，四边形为平行四边形，
∴的中点坐标为，则，
当时，，则，
∴，
解得，，
∴；
②为平行四边形的对角线；
如图4，四边形为平行四边形，
的中点坐标为，则，
当时，，则，
∴，
解得，，
∴；
综上所述，以点E、F、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，所有可能的点Q的坐标为，，．