2024年中考数学高频考点突破——圆的切线证明（含解析）

2024年中考数学高频考点突破——
圆的切线证明
1．如图，是圆内接四边形的对角线，于点平分．

(1)求的度数；
(2)点在的延长线上，是该圆的切线．
①求证：是该圆的切线；
②若，直接写出的长．
2．如图，是圆O的直径，O为圆心，、是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点E．

(1)判断直线是否为的切线，并说明理由；
(2)如果，，求的长．
(3)在（2）的条件下，将线段以直线为对称轴作对称线段，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形为菱形．
3．如图，是圆的直径，为圆心，是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点．

(1)判断直线是否为的切线，并说明理由；
(2)将线段以直线为对称轴作对称线段，点正好在圆上，如图2，求证：四边形为菱形．
4．如图1和图2，线段，点C在上．以为直角边构造，使．点O是上一点（包括端点），以点O为圆心、为半径作半圆，交于点E．
(1)如图1，平分，交于点F，连接．求证：是半圆所在圆的切线；
(2)如图2，点G，E关于对称，连接交于点H，设．若，求与r的数量关系；
(3)若，的长为，直接写出点B与半圆所在圆的位置关系．
5．如图，AB是圆的直径，C，D是圆上的点（在AB同侧），过点D的圆的切线交直线AB于点．
(1)若，，求AC的长；
(2)若四边形ACDE是平行四边形，证明：BD平分．
6．如图，已知线段，点C为上一点，以点C为圆心，分别以，为半径在的上方作圆心角均为的扇形和扇形．
(1)求证：；
(2)已知，若是扇形所在圆的切线．
①求的长；
②判断和扇形所在圆的位置关系，并说明理由．
7．如图，已知点A、B、C在⊙O上，且AC=6，BC=8，AB=10．点E在AC延长线上，连接BE，且BE2=AE CE．
(1)求证：BE为⊙O的切线；
(2)若点F为△ABE外接圆的圆心，求OF的长．
8．如图，AC＝AD，在△ACD的外接圆中，弦AB平分∠DAC，过点B作圆的切线BE，交AD的延长线于点E．
(1)求证：CDBE．
(2)已知AC＝7，sin∠CAB＝，求BE的长
9．如图，圆O是△ABP的外接圆，∠B＝∠APC；
（1）求证：PC是圆的切线；
（2）若AP＝6，∠B＝45°，求劣弧AP的长．
10．如图1，四边形内接于，为延长线上一点，平分．
（1）求证：；
（2）如图2，若为直径，过点的圆的切线交延长线于，若，，求的半径．
11．如图，已知以的边为直径作的外接圆的平分线交于，交于，过作交的延长线于．
（1）求证：是切线；
（2）若求的长．
12．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，它的外接圆的圆心O在其内部，连结OC，过点A作AD∥OC，交BC的延长线于点D．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若∠BAD=105°，⊙O的半径为2，求劣弧AB的长．
13．如图，△ABC是钝角三角形，，圆O是△ABC的外接圆，直径PQ恰好经过AB的中点M，PQ与BC的交点为D，，l为过点C圆的切线，作，CF也为圆的直径.
（1）证明：；
（2）已知圆O的半径为3，求的值.
14．如图,AB是⊙O的直径,AD,BD是弦,点P在BA的延长线上,且,延长PD交圆的切线BE于点E.
(1)求证:PD是⊙O的切线；
(2)若,,求PA的长.
15．如图，线段BC所在的直线 是以AB为直径的圆的切线，点D为圆上一点，满足BD＝BC，且点C、D位于直径AB的两侧，连接CD交圆于点E. 点F是BD上一点，连接EF，分别交AB、BD于点G、H，且EF＝BD.
(1)求证：EF∥BC；
(2)若EH＝4，HF＝2，求的长.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)②的长为3．
【详解】（1）解：平分，
．
，
．
，
．
．
；
（2）①证明：如图，取的中点，连接．

，
是该圆的直径．
点是该圆的圆心．
是的切线，
．
，
．
，
．
．
是的切线；
②∵、都是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，是等边三角形，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴的长为3．
2．(1)是的切线，(2)1；
【详解】（1）直线为的切线，理由如下：
如图1，连接，
∵是的直径，
，
，
∵，
，
，
∴，即，
∵是的半径，
直线为的切线；
（2）为切线，
，
，
，
在中，，，
∴，
，
∵，
∴；
（3）如图2，连接，
由题意得：，，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
，
为切线，
，
，
四边形为平行四边形，
∵、为切线，
∴，
四边形为菱形．
3．【详解】（1）解：直线为的切线，理由如下：
连接，如图所示：
∵是圆的直径，
，
，
又，
，
，
，
，
即，
点在上，
直线为的切线．

（2）证明：依题意得：，，
，
，
是圆的直径，
，
设，则，
四边形内接于，
，
即，解得，
，
是的切线，
，
，
是等边三角形，
，
又，
是等边三角形，
，
，
∴四边形为菱形．
4．(2)
(3)点B在半圆所在圆上
【详解】（1）证明：平分，
．
又，，
．
．
是半圆所在圆的切线．
（2）解：点G，E关于对称，
，．
又，，
．
．
（3）解：点B在半圆所在圆上．理由如下：
∵∠ACD=70,
∴∠ECO=110,
∵CO=CE，
∴∠COE=∠CEO=，
∴，
∴r=6,
∴AB=12=2r，
∴点B在半圆所在的圆上．
5．(1)
【详解】（1）∵AB是圆的直径，
∴
∴，∴（舍负值）．
（2）连结BD，连结OD与AC交于点．
∵与圆相切于点，
∴，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴， ，
∴，，
∴，
∵，，
∴四边形OBCD是菱形，
∴平分．
6．(2)①；②相切
【详解】（1）（1）证明：由题意可知，，
∴，即．
在和中， ，
∴．
（2）（2）解：①由题意，得．
∵是扇形所在圆的切线，
∴．
在Rt△ACD中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
②和扇形所在圆相切．
理由如下：
在和中， ,
∴，
∴．
由（1）得，
∴，即．
又∵点E在扇形所在的圆上，
∴和扇形所在圆相切．
7．(2)
【详解】（1）证明：∵AC=6，BC=8，AB=10．
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形且∠ACB=90°，
∴∠ECB=90°，
∴AB为⊙O的直径，
∵BE2=AE CE，
∴，
又∵∠E=∠E，
∴△ECB∽△EBA，
∴∠ECB=∠EBA=90°，
∴EB⊥AB，
又∵OB为⊙O的半径，
∴BE为⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BF，
在Rt△ABE中，tan∠BAE=，
在Rt△ABC中，tan∠BAE=，
∴，
解得BE=，
∵点F为△ABE外接圆的圆心，
∴AF=BF=EF，
∴点F为直角三角形ABE斜边AE的中点，
∵点O为AB的中点，
∴OF为△ABE的中位线，
∴OF=BE=×=．
8．(2)
【详解】（1）证明：设AB与CD的交点为F，连接BD，
∵AC＝AD，AB平分∠DAC，
∴AB⊥CD，DF＝CF，
∴AB是直径，
∵BE是△ACD的外接圆的切线，
∴BE⊥AB，
∴CDBE；
（2）解：∵AC＝7，sin∠CAB＝，
∴CF＝3＝DF，
∴AF＝，
∵cos∠DAB＝，
∴AB＝，
∵tan∠DAB＝，
∴，
∴BE＝．
9．（2）劣弧AP的长为．
【详解】（1）证明：过点P作直径PQ，连接AQ，
∵PQ为⊙O的直径，
∴∠PAQ=90°，
∵=，
∴∠B=∠Q，
∵∠B=∠APC，
∴∠APC=∠Q，
∵∠Q+∠APQ=90°，
∴∠APQ +∠APC=90°，
∴∠CPQ=90°．
∴PC是圆O的切线；
（2）连接OP、OA，
∵=，
∴∠O=2∠B=90°，
∵OP=OA，
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴,
∵AP=6，
∴OP=OA=，
∴劣弧AP的长=．
10．【详解】（1）证明：∵四边形ADBC内接于⊙O，
∴∠EDA＝∠ACB，
由圆周角定理得，∠CDA＝∠ABC，
∵AD平分∠EDC，
∴∠EDA＝∠CDA，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）解：连接AO并延长交BC于H，AM⊥CD于M，
∵AB＝AC，四边形ADBC内接于⊙O，
∴AH⊥BC，又AH⊥AE，
∴AE∥BC，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∴∠E＝∠DBC＝90°，
∴四边形AEBH为矩形，
∴BH＝AE＝2，
∴BC＝4，
∵AD平分∠EDC，∠E＝90°，AM⊥CD，
∴DE＝DM＝1，AE＝AM＝2，
在Rt△ABE和Rt△ACM中，
∴Rt△ABE≌Rt△ACM（HL），
∴BE＝CM，
设BE＝x，CD＝x＋2，
在Rt△BDC中，x2＋42＝（x＋2）2，
解得，x＝3，
∴CD＝5，
∴⊙O的半径为2.5．
11．（2）
【详解】（1）连接OE，
∵∠B的平分线BE交AC于D，
∴∠CBE=∠OBE，
∵EF∥AC，
∴∠CAE=∠FEA，
∵∠OBE=∠OEB，∠CBE=∠CAE，
∴∠FEA=∠OEB，
∵AB是的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠FEO=90°，
∴EF是切线；
（2）∵∠FEA=∠OEB=∠OBE，∠F=∠F，
∴ FEA~ FBE，
∴，
即：，
∴AF×(AF+15)=10×10，解得：AF=5或AF=-20（舍去），
∴，
∵在Rt ABE中，AE2+BE2=AB2，
∴AE2+（2AE）2=152，
∴AE=．
12．（2）π．
【详解】解：（1）连接AO．
∵∠ABC=45°，∴∠AOC=2∠B=90°．
∵OC∥AD，∴∠OAD=90°，
∴AD是⊙O的切线；
（2）连接OB．
∵∠BAD=105°，∠OAD=90°，
∴∠OAB=15°．
∵OB=OA，∴∠ABO=15°，
∴∠AOB=150°，
∴劣弧AB的长=．
13．（2）
【详解】（1）∵CF为直径，l为切线，
∴，
又∵，
∴CF//DE，
∴∠BCF=∠CDE.
又∠CED=∠CBF=90°，
∴；
（2）连接AF，
由题意得：∠CDP=∠BDM=45°，
∵M为弦AB的中点，
∴OM垂直平分线段AB，
∴∠ADM=∠BDM=45°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴，
∵∠AFC=∠ABC=45°，
∴AC=CF×sin45°=，
∴.
14．【详解】(1)证明:连接OD
∵AB是⊙O的直径
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
即PD⊥OD
∴直线PD为⊙O的切线；
(2)解:∵BE是⊙O的切线
∴
∵
∴
∵PD为⊙O的切线
∴
设⊙O的半径为
在Rt△PDO中,,则
∵
∴
解得
∴,
∴；
15．(2)
【详解】(1)∵EF＝BD，
∴＝
∴
∴∠D＝∠DEF
又BD＝BC，
∴∠D＝∠C，
∴∠DEF=∠C
EF∥BC
(2)∵AB是直径，BC为切线，
∴AB⊥BC
又EF∥BC，
∴AB⊥EF，弧BF=弧BE,
GF＝GE＝(HF+EH)=3，HG=1
DB平分∠EDF，
又BF∥CD，
∴∠FBD＝∠FDB＝∠BDE＝∠BFH
∴HB＝HF＝2
∴cos∠BHG＝＝，∠BHG＝60°.
∴∠FDB＝∠BDE＝30°
∴∠DFH＝90°，DE为直径，DE＝4，且弧BE所对圆心角＝60°.
∴弧BE＝×4＝
答案第1页，共2页