2024年人教版数学中考复习专题训练：相似三角形与圆结合综合问题（含答案）

2024年人教版数学中考复习专题训练：
相似三角形与圆结合综合问题
1．如图，点是的边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，连接，，交于点，连接并延长交的延长线于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
2．如图，是的直径，点F在上，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点D，延长相交于点C．
(1)判断 与的位置关系，并说明理由；
(2)若的半径为5，，求的长．
3．如图，中，，点在外，是的弦，，连接若交于点，交于点，满足．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．
4．如图1，为的直径，弦于点，是上一点，延长，交于点，连结，，与交于点．
(1)若，用含的代数式表示．
(2)如图2，连结，，若，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，作于点，与交于点，，，求的长．
5．如图，中，以为直径的交于点D，是的切线，且，垂足为E，延长交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
6．如图，在中，，平分，交于点D，以为直径作，交于点E，交于点F，连接交于点G，连接交于点P，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求：
①的值；
②线段的长．
7．如图，内接于，是的直径，，过点A作，交于点E，点F是上一点，连接交于点G，连接交于点H．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
(3)设，，求y关于x的函数表达式．
8．如图，是的直径，点D在上，连接，过点O作，交于点E，连接并延长，交的延长线于点C，过点B作的切线，交的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)若，，求的长的长．
9．已知的半径为，P是外一点，，点A、B在上，在中，．
(1)如图①，是的切线，当时，求证：是的切线；
(2)如图②，、分别交于点C、D，当点C为中点时，求的长；
(3)线段的取值范围是______．
10．如图，在的内接四边形中，，直径，垂足为点F．
(1)当时，求的度数；
(2)当，时，求的长．
11．如图，以为直径的经过点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为，交于点．

(1)求证：为等腰三角形；
(2)若，求的值．
12．如图，在中，，以为直径的交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
13．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图（1），其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾入接水槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图（2），筒车圆O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，接水槽所在的直线是圆O的切线，且与直线交于点M，当点P恰好在MN所在的直线上，P、O、C三点共线，是圆O的直径时，解决下面的问题：

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，，求的长．
14．已知、是圆的直径，于，连接．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，是上一点，，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，的延长线交于，若，．求的长．
15．如图1，是的外接圆，且满足，平分交于点、交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，若点是的中点，求的度数；
(3)如图3，连接，若，
①求的值；
②若半径为，则_______．（用含的代数式表示）
参考答案：
1．（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
即，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：在中，，
∴，
设圆O的半径为r，则
∴，
∵
∴
∵
∴
在中，
∴，
解得．
∴的半径为3．
2．（1）解：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线．
（2）解：如图，连接．
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵
∴，
则．
又∵，
在中，，
即：，
解得，
则，
∴，
解得，．
∵，
∴，
∴，
设，
∴，解得：，
经检验：是原方程的解，
故的长为．
3．1）证明：，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
与相切．
（2）解：，，，
，，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
整理得，
解得或不符合题意，舍去，
，，
，
的长是．
4．（1）解：，
，
，
，
；
（2），，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，连结，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
设，，
可得：，
解得：，
，
，
，
，
，
，
设，可得：，解得：，
，，
，
．
5．（1）如图所示，连接，
∵以为直径的交于点D，是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，，则，
∴
∴
∴
∴
∴即
∴
又∵是直径，
∴，
∴
∴
∴
∴
6．（1）证明：∵，平分，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：①连接，，，
∵为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
由垂径定理可得，
∴；
②∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
7．（1）是的直径，，
，
，
和是所对圆周角，
，
．
（2）如图，连结，
是的直径，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
（3）设，则，
，
，，
，，
①如图，当点G在线段上时，
，
，，，
过点G作于点M，
，
，，
，
，
，
，
．
，
，即，
又，
，
，
，
，
．
②如图，当点G在线段上时，
同理可求得．
8．（1）解：，
，
，
，
．
（2）解：如图，连接，则，

，，
，．
是的切线，
，
，
，
，
，
即，
．
9．（1）连接，
∵是的切线,
，
在与中,
，
，
，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）连接，如图:
，点为中点，
，
∴是的直径,
设圆心为，
连接，
∵的半径为,
，
，
，
，
，即 ，
∴，
；
（3），
∴的运动轨迹为以为圆心，半径为的圆，如图:
∴三点共线时，最大, 此时，
即 ，
∴当最小时，最小，如图:
此时共线，，
，
作于，则 ，
， ，
，
，
故答案为：
10．（1）解：∵，
∴
∵直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（2）连接、交于点H，
∵，，
∴，，
∴，
在中，，由勾股定理得，
设半径为 r，则，
在中，，
由勾股定理得，即，
解之得：，
∴，
∵，
∴ ，
∴，即，
∴．
11．（1）证明：连接，

，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
为等腰三角形；
（2）解：连接，

是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
12．（1）证明：∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵，
而，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
13．（1）证明：∵是的直径,
∴，
∴，
∵所在的直线是的切线，点恰好在所在的直线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：∵，,
∴.
∴，
即．
（3）解：由（2）可知，
∵
，
∴，
．
14．（1）证明：如图1，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图2，延长交于，连接、、，
，
∴，是的中垂线，
∴，
，
，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：如图3，连接，设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
整理得，
解得（舍去），或，
∴，
∴，，
，
，
，
∴，
，
，
，
．
15．（1）证明：如图，
平分，
，
，
，
；
（2）解：如图，
平分，
，
点是的中点，
，
，
设，则，
∴；
，
∴；
在中，则有，
即，
∴,
∴；
（3）解：如图，
设，
，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴；
设，则，
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，即；
∵，
∴，
．
如图，连接并延长交于F，连接，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴；
∵平分，
∴点D到的距离相等，且设这个距离为d，
∴；
∵，
∴；
由①知，，则；
在中，由勾股定理得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
∵，
∴；
∵，
∴．
故答案为：．