2023-2024学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级（下）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级（下）入学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
2.分式的值为，则的值是( )
A. B. C. D. 或
3.下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
4.若，，则的值为( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，，垂直平分，分别交、于点、，平分，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，原来从村到村，需要沿路绕过两地间的一片湖，在，间建好桥后，就可直接从村到村若，，那么，建好桥后从村到村比原来减少的路程为( )
A. B. C. D.
7.五根小木棒，其长度分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是( )
A. B.
C. D.
8.若分式方程无解，则的值是( )
A. 或 B. C. 或 D. 或
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
9.分解因式的结果为______．
10.生物学家发现一种病毒的长度约为，用科学记数法表示这个数为______．
11.若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12.如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为______．
三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题分
计算：．
14.本小题分
先化简再求值：，其中．
15.本小题分
如图，在和中，，，，延长，交于点．
求证：平分；
若，，，求的长．
16.本小题分
某中学开学初在商场购进、两种品牌的足球，购买品牌足球花费了元，购买品牌足球花费了元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的倍，已知购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花元．
求购买一个品牌、一个品牌的足球各需多少元；
该中学决定再次购进，两种品牌足球共个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高了，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果这所中学此次购买、两种品牌足球的总费用不超过元，那么该中学此次最多可购买多少个品牌足球？
17.本小题分
阅读下面内容：我们已经学习了二次根式和乘法公式，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号，
例如：当时，求的最小值．
解：，，又，，当时取等号．
的最小值为．
请利用上述结论解决以下问题：
当时，当且仅当 时，有最小值为 ．
当时，求的最小值．
请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙墙足够长，另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
18.本小题分
已知，实数，，满足．
求，，的值；
如图，在平面直角坐标系中，，都是轴正半轴上的点，，都是轴正半轴上的点点在上面，，．
如图，若点与重合，，求点的坐标；
如图，若点与不重合，，，求的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，故此选项不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：分式的值为，
且，
解得．
故选：．
根据分母不为零分子为零的条件进行解题即可．
本题考查分式的值为零的条件，掌握分母不为零分子为零的条件是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：中含有分母，它不是最简二次根式，则不符合题意；
，则不符合题意；
中含有分母，它不是最简二次根式，则不符合题意；
符合最简二次根式的定义，则符合题意；
故选：．
被开方数中不含字母或开得尽方的整数或整式，这样的二次根式即为最简二次根式，据此进行判断即可．
本题考查最简二次根式的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，即，而，
，
即．
故选：．
根据完全平方公式进行计算即可．
本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
5.【答案】
【解析】解：垂直平分，，平分，
，
垂直平分，
．
在中，
．
．
，
故选：．
利用线段的垂直平分线的性质求出的长，再由直角三角形的性质求出的长，进而可得出结论．
本题考查的是含度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质，熟知在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由勾股定理得，
，
建好桥后从村到村比原来减少的路程为，
故选：．
根据勾股定理求出的长即可求解．
本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：、，，故A不正确；
B、，，故B不正确；
C、，，故C正确；
D、，，故D不正确．
故选：．
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足，那么这个三角形是直角三角形．
8.【答案】
【解析】解：，
方程两边同时乘得：
，
，
，
，
分式方程无解，
，
，
，
解得：，
分式方程无解，
，
解得：，
综上可知：或，
故选：．
先把方程两边同时乘得整式方程，然后根据方程无解，分两种情况讨论：分式方程的分母等于，求出再代入整式方程，求出；整式方程无解，列出关于的方程，求出即可．
本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程无解的条件．
9.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
11.【答案】且
【解析】解：根据题意得：且，
解得：且．
故答案为：且．
根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件可得且，即可求解．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．
12.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，，
，
是翻折而成，
，，是直角三角形，
，
在中，，
设，
在中，，即，
解得，则．
故答案为：．
先根据矩形的特点求出的长，再由翻折变换的性质得出是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长．
本题考查了翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
13.【答案】解：原式
．
【解析】利用二次根式的性质，有理数的乘方法则，立方根的定义及负整数指数幂计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
14.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
15.【答案】证明：如图，连接，
在和中，，，，
≌，
，
，，
平分，
点在的平分线上；
解：，
，
，
，
设，
，
在中，，
，
．
．
【解析】连接，证明≌，可得，根据角平分线的性质即可解决问题；
证明，设，所以，根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，解决本题的关键是得到≌．
16.【答案】解：设购买一个品牌的足球需要元，则购买一个品牌的足球需要元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
元．
答：购买一个品牌的足球需要元，购买一个品牌的足球需要元．
设该中学此次可以购买个品牌足球，则可以购买个品牌足球，
依题意得：，
解得：．
答：该中学此次最多可购买个品牌足球．
【解析】设购买一个品牌的足球需要元，则购买一个品牌的足球需要元，由题意：购买品牌足球花费了元，购买品牌足球花费了元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的倍，列出分式方程，解方程即可；
设该中学此次可以购买个品牌足球，则可以购买个品牌足球，由题意：品牌足球售价比第一次购买时提高了，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果这所中学此次购买、两种品牌足球的总费用不超过元，列出不等式，一元一次不等式，解之取其中的最小值即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
17.【答案】
【解析】解：，
，
又，
，当且仅当时取等号．
的最小值为．
故答案为：，；
，
，
，
又，
，当且仅当时取等号，
的最小值为，
的最小值为，
即的最小值为；
根据题意可得，垂直于墙的一边长为米，则篱笆的长为米，
，
，
又，
，当且仅当时取等号，
的最小值为，
即需要用的篱笆最少是米．
根据例题中的公式计算即可；
先化简，再运用公式计算即可；
由题意得篱笆的长为米，再根据例题中的公式计算即可．
本题考查了二次根式的性质，理解题中例题解法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
18.【答案】解：．
，，，
解得：，，．
，，，
．
设，
，
．
．
．
如图，过点作于，的反向延长线交轴于点．
，
．
．
又由题意，，
．
≌．
．
又，
．
又，
．
．
如图，过作于，并延长交轴于点．
，，
．
．
，，
．
又，
≌．
．
，，，
．
，，
．
．
设，
又，
，
．
．
，即．
．
【解析】依据题意，由，从而，，，进而计算可以得解；
依据题意，由，，，从而，再设，可得，又过点作于，的反向延长线交轴于点，，可得，进而可得≌，从而，又，则，最后可得，进而可以得解．
依据题意，过作于，并延长交轴于点，又，，从而，故BE，再证得≌，从而又，结合，，可得，故AD，此时设，又，借助得方程，求出，故可得计算得解．
本题主要考查了配方法的应用、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
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