2023-2024学年重庆市渝北区松树桥中学八年级（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年重庆市渝北区松树桥中学八年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列等式中，从左到右的变形中是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
3.化简的结果为( )
A. B. C. D.
4.如图，已知，下列所给条件不能证明≌的是( )
A.
B.
C.
D.
5.若是完全平方式，则的值为( )
A. B. C. D. 或
6.等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为( )
A. B. C. 或 D. 或
7.九章算术中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为( )
A. B.
C. D.
8.如图，把三角形纸片沿折叠，当点落在四边形外部时，则与、之间的数量关系是( )
A.
B.
C.
D.
9.已知等边中，，若点在线段上运动，当的值最小时，的长为( )
A.
B.
C.
D.
10.若数使关于的不等式组至少有五个整数解，关于的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数之和是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.计算：______．
12.要使分式有意义，则的取值范围是______．
13.点关于轴对称的点的坐标为______．
14.因式分解： ．
15.如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则 ．
16.如图，点在的平分线上，于点，点在上，若，，则______．
17.已知：，则的值为 ．
18.若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是 ；若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是，且十位数字与个位数的和能被整除则满足条件的“交替数”的最大值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
19.解下列方程：
；
．
四、解答题：本题共7小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
计算：
；
．
21.本小题分
在几何学习中，我们遇到这样一个题目：“在四边形中，若平分，，求证：”结合学过的知识，可以知道：首先过点分别作出、的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后结合补角的知识使问题得到解决请根据上述的思路，完成下面的作图与填空：
尺规作图：用直尺和圆规，过点分别作出、的垂线，垂足分别是点、只保留作图痕迹；
证明：，，
．
和为．
又平分，，，
______．
在和中，
，
≌______，
______．
______，
______．
22.本小题分
已知：如图，、是上的两点，且，，求证：
≌；
．
23.本小题分
先化简：，并从，，中选一个合适的数作为的值代入求值．
24.本小题分
如图，在中，，平分，于点，点在上，求证：．
25.本小题分
春夏来临之际，天气开始暖和．某商家抓住商机，在三月份力推甲、乙两款儿童衬衣．已知三月份甲款衬衣的销售总额为元，乙款衬衣的销售总额为元，乙款衬衣的单价是甲款衬衣单价的倍，乙款衬衣的销售数量比甲款衬衣的销售数量少件．
求三月份甲款衬衣的单价是多少元？
四月份，该商家准备销售甲、乙两款衬衣共件．为了加大推销力度，将甲款衬衣的单价在三月份的基础上下调了，乙款衬衣的单价在三月份的基础上打五折销售．要使四月份的总销售额不低于元，则该商家至少要卖出甲款衬衣多少件？
26.本小题分
已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且．
如图，当点在线段上时，过点作于，连接，若，，求的长；
如图，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点若求证：；
如图，当点在延长线上时，连接交的延长线于点，若：：，请直接写出的值不需要计算过程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：选项A中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项B、、中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
2.【答案】
【解析】解：、等式从左到右变形属于因式分解，故本选项符合题意；
B、等式从左到右变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、等式从左到右变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D、等式从左到右变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
3.【答案】
【解析】解：原式，
故选B
原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、添加可利用判定≌，故此选项错误；
B、添加不能判定≌，故此选项正确；
C、添加可利用判定≌，故此选项错误；
D、添加可利用判定≌，故此选项错误；
故选：．
利用、、、、进行分析即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5.【答案】
【解析】解：或是完全平方式，是完全平方式，
或，
或．
故选：．
利用完全平方公式得出关于的方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：当顶角是时，它的底角；
底角是．
所以底角是或．
故选：．
因为题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分两种情况进行分析．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论解答问题的关键．
7.【答案】
【解析】解：规定时间为天，
慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，
又快马的速度是慢马的倍，两地间的路程为里，
．
故选：．
根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，再利用速度路程时间，结合快马的速度是慢马的倍，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的感觉．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，翻折变换，
根据折叠的性质可得，根据平角等于用表示出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用与表示出，然后利用三角形的内角和等于列式整理即可得解．
【解答】
解：是沿折叠得到
又，
即
整理得，
故选A．
9.【答案】
【解析】解：如图，
作于点，交于点，
是等边三角形，
，
当时，
的值最小，
此时，．
故选：．
可以作于点，交于点，根据是等边三角形，，得，所以，
当时，的值最小，根据等边三角形的重心即可求得的长．
本题考查了等边三角形的性质，解决本题的关键是找到动点的位置．
10.【答案】
【解析】解：
解不等式，得：，
解不等式，得，
不等式组至少有五个整数解，
；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，且，为整数，
又为整数，
可以取，，，
所有整数之和为：．
故选：．
解不等式组，根据整数解得个数判断的取值范围；解分式方程，用含的式子表示，检验增根的情况，再根据解的非负性，确定的范围，然后根据方程的整数解，确定符合条件的整数，相加即可．
这道题主要考查解一元一次不等式组和分式方程，本题的需要注意的是必须对分式方程的根进行检验．
11.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：．
先根据积的乘方法则计算，再根据单项式乘以单项式法则计算．
本题主要考查了积的乘方法则，单项式乘以单项式的法则，同底数幂的乘法法则，熟记各项法则是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：依题意得：，
解得．
故答案为：．
直接利用分式有意义的条件分析得出答案．分式有意义的条件是分母不等于零．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：点关于轴对称的点的坐标为．
故答案为：．
根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
14.【答案】
【解析】解：
故答案是：．
首先提公因式，然后利用平方差公式即可分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
15.【答案】
【解析】解：是的垂直平分线，
，
，
，的周长为，
，即
．
故答案为：．
直接利用线段垂直平分线的性质得出，再利用已知得出答案．
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确得出是解题关键．
16.【答案】
【解析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是根据角平分线的性质求得的长，难度不大．
作于点，根据角平分线的性质求得的长，然后利用直角三角形中的直角边等于斜边的一半求解即可．
解：如图，作于点．
点在的平分线上，，，
．
，
．
故答案为：．
17.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了分式的值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
已知等式整理后，代入原式计算即可得到结果．
【解答】
解：由，得到，
则原式
，
故答案为：．
18.【答案】
【解析】解：取最小的正整数，取最小的整数，
则，，．
最小的“交替数”是；
根据题意知：，是正整数，．
，且，，
或，
解得或，
．
，
或，
是正整数，
或或，
或或或或或，
解得或或舍去或舍去或或，
，，，，即；
或，，，，即；
或，，，，即；
或，，，，即．
故所有的“交替数”是或或或，
最大的“交替数”为，
故答案为：，．
根据最小的正整数是，最大的一位数是解答；根据题意得到：，是正整数，，联立方程组，解答即可．
本题主要考查了因式分解的应用，实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．
19.【答案】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原分式方程的解，
即原分式方程的解是；
，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是增根，
即原分式方程无解．
【解析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
20.【答案】解：
；
．
【解析】利用整式的乘法计算，再进一步合并即可；
利用平方差公式和完全平方公式计算．
此题考查整式的混合运算，掌握计算方法和计算公式是解决问题的关键．
21.【答案】
【解析】解：如图，、为所作；
证明：，，
又平分，
．
在和中，
，
≌，
．
又．
．
故答案为：，，，，．
利用基本作图．过点分别作和的垂线即可；
先根据角平分线的性质得到再证明≌得到然后利用得到．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质和角平分线的性质．
22.【答案】证明：，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌；
≌，
，
．
【解析】根据，得，由，可得，通过即可证明≌；
由全等三角形的性质得，从而．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：
，
且，
当时，原式．
【解析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后在，，中选一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题．
24.【答案】证明：平分，，，
，
在和中，
≌，
．
【解析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．因为，，所以，又因为平分，所以，已知，则可根据判定≌，根据全等三角形的性质即可得到结论．
25.【答案】解：设三月份甲款衬衣的单价是元，则三月份乙款衬衣的单价是元，
根据题意得，，
解得：，
经检验：是原方程的根，
答：三月份甲款衬衣的单价是元；
该商家至少要卖出甲款衬衣件，则该商家至多要卖出乙款衬衣件，
根据题意得，，
解得：，
答：该商家至少要卖出甲款衬衣件．
【解析】设三月份甲款衬衣的单价是元，则三月份乙款衬衣的单价是元，根据题意列方程即可得到结论；
该商家至少要卖出甲款衬衣件，则该商家至多要卖出乙款衬衣件，列不等式即可得到结论．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．
26.【答案】解：，，
，
，，
，
又，，
≌，
，，
；
证明：如图，过点作，交的延长线于，
，，
，
，，
，
又，，
≌，
，
，
，
又，，
≌，
，
，
在中，，
，
；
解：当点在延长线上时，如图，过点作，交的延长线于，
：：，
设，，
，
，，
，
，，
，
又，，
≌，
，，
，
又，，
≌，
，
，
．
的值为．
【解析】由“”可证≌，可得，，即可求出答案；
过点作，交的延长线于，由“”可证≌，可得，由“”可证≌，可得，再判断出，即可得出结论；
设，，判断出≌，得出，，再判断出，即可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
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