2023-2024学年安徽省合肥市蜀山区西苑中学九年级（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省合肥市蜀山区西苑中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的平方根为( )
A. B. C. D.
2.安徽坚持以“两强一增”为牵引，全方位夯实粮食安全根基据统计，年安徽粮食产量超过亿斤，其中亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.某学校实践基地加大农场建设，为学生提供更多的劳动场所该实践基地某种蔬菜年的年产量为千克，年的年产量为千克设该种蔬菜年产量的平均增长率为，则符合题意的方程是( )
A. B.
C. D.
6.如图，中，，点在上，若，，则的长度为( )
A. B. C. D.
7.已知二次函数的图象与轴有两个交点，分别是，，二次函数的图象与轴的一个交点是，则的值是
( )
A. B. C. 或 D. 或
8.如图，在高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进米到点，又测得仰角为，则该高楼的高度大约为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
9.矩形中，，，点是边上一动点，沿翻折，若点的对称点恰好落在矩形的对称轴上，则折痕的长是( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，延长至，使得，点为动点，且，连接，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.因式分解： ______．
12.将一副三角板按如图所示方式摆放，使点、分别在、上，，其中，，则的度数是______．
13.如图，在中，弦，，，是上一点，，则劣弧的长为______．
14.已知关于的抛物线．
此抛物线顶点的纵坐标是______；
若，点为该抛物线上一动点，其横坐标为，过点作轴，交直线于点，当的长随的增大而减小时，的取值范围是______用含的代数式表示
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：．
16.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别是、、．
以点为旋转中心，将逆时针旋转，得到，请画出点、、的对应点分别为、、；
将平移，使平移后点、对应点，分别在轴和轴上，画出平移后的；
借助网格，请用无刻度的直尺画出的中线D.保留作图辅助线
17.本小题分
观察以下等式：
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
按照以上规律，解决下列问题：
写出第个等式：______；
写出你猜想的第个等式：______用含的等式表示，并证明．
18.本小题分
如图，某巡逻艇在海上例行巡逻，上午时在处接到海上搜救中心从处发来的救援任务，此时事故船位于处的南偏东方向上的处，巡逻艇位于处的南偏西方向上米处，事故船位于巡逻艇的北偏东方向上，巡逻艇立刻前往处救援，已知巡逻艇每分钟行驶米，请估计几分钟可以到达事故船处结果保留整数参考数据：，，，
19.本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
求一次函数的解析式；
当时，直接写出的取值范围；
求的面积．
20.本小题分
如图，点是以为直径的上一点，是切线，在的延长线上，作于．
求证：平分；
若，求的半径；
请探索：线段，，之间有何数量关系？请证明你的结论．
21.本小题分
每年的月日是“国际数学节”，某班进行了“数学史”知识测试，班长对本班学生的测试成绩进行统计，将成绩由低到高，依次分为、、、、五个组，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
已知组同学的成绩如下单位：分：、、、、、、、、、、、
根据所给信息，解答下列问题：
补全频数分布直方图；
请求出扇形统计图中“”所在扇形的圆心角的度数；
该班学生成绩的中位数是多少？小君的成绩是分，他认为自己的成绩在全班属于中等偏上，你同意他的观点吗？请说明理由．
22.本小题分
春回大地，万物复苏，又是一年花季到某花圃基地计划将如图所示的一块长，宽的矩形空地划分成五块小矩形区域其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植，，三种花卉活动区一边与育苗区等宽，另一边长是，，三种花卉每平方米的产值分别是百元、百元、百元．
设育苗区的边长为，用含的代数式表示下列各量：花卉的种植面积是______，花卉的种植面积是______，花卉的种植面积是______．
育苗区的边长为多少时，，两种花卉的总产值相等？
若花卉与的种植面积之和不超过，求，，三种花卉的总产值之和的最大值．
23.本小题分
如图，在中，，点为延长线上一点，．
求证：；
作，，垂足分别为点，，交于点．
如图，当平分时，求的值；
如图，连接交于点，当，时，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
的平方根是．
故选：．
根据平方根的定义，求数的平方根，也就是求一个数，使得，则就是的平方根，由此即可解决问题．
本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．
2.【答案】
【解析】【分析】
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【解答】
解：亿．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：、原式，故本选项计算错误，不符合题意；
B、原式，故本选项计算错误，不符合题意；
C、原式，故本选项计算错误，不符合题意；
D、原式，故本选项计算正确，符合题意；
故选：．
根据零指数幂的意义，积的乘方，单项式除以单项式的法则以及多项式乘多项式的法则计算即可．
本题考查了整式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
根据根的判别式的意义得到，然后解方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
【解答】
解：根据题意得，
解得．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
利用年的年产量年的年产量该种蔬菜年产量的平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【解答】
解：根据题意得：．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
由勾股定理可求的长，通过证明∽，可得，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识，证明三角形相似是解题的关键．
【解答】
解：，，
，
，
，，
∽，
，
，
，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
根据交点坐标即可得到向右平移个单位得到点，向右平移个单位得到点，而二次函数的图象向右平移个单位得到二次函数，从而求得的值为或．
本题考查了二次函数图象与轴的交点，根据交点坐标得出平移的规律是解题的关键．
【解答】
解：二次函数的图象与轴有两个交点，分别是，，
二次函数的图象向右平移个单位得到二次函数，
二次函数的图象与轴的一个交点是，
向右平移个单位得到点或向右平移个单位得到点，
的值为或，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：设楼高为．
在中有：，
在中有：．
而，
解得．
故选：．
利用所给角的三角函数用表示出，；根据得方程求解．
本题考查运用三角函数的定义解直角三角形．
9.【答案】
【解析】解：分两种情况：
如图所示：
当恰好在矩形的对称轴上时，
则，，，，
由折叠的性质得：，，
由勾股定理得：，即，点与重合，点与点重合，
，
；
如图所示：
当恰好在矩形的对称轴上时，过作平行交于，交于，
则，，，，
四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，，
由勾股定理得：，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即，
；
综上所述，当点恰好在矩形的对称轴上时，的长为或；
故选：．
分两种情况，根据折叠的性质和勾股定理进行解答即可．
本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质等知识；熟练掌握翻折变换和勾股定理是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
由线段垂直平分线的判定可知：直线为线段的垂直平分线，即可判定当时，由最小值，此时，再证明∽，列比例式可求解的最小值．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，确定点位置是解题的关键．
【解答】
解：如图：
，，
直线为线段的垂直平分线，
当时，有最小值，此时，
，，
∽，
，
垂直平分，，
，
，
，
，
，
解得，
即的最小值为，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：原式
，
故答案为：．
先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得．
本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法和平方差公式是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：设交于点，
，
，
，，
，
故答案为：．
利用平行线的性质以及三角形的外角的性质求解即可．
本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13.【答案】
【解析】解：连接，
弦，，，
为的直径，且，
劣弧长为：，
故答案为：
连接，根据圆周角定理得到为的直径，根据勾股定理求出，再根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是弧长的计算、圆周角定理、勾股定理，熟记弧长公式是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，
该抛物线的顶点坐标为，
抛物线顶点的纵坐标是，
故答案为：；
联立抛物线与线得，
整理得，
，
，
，
直线与抛物线无交点，
，
抛物线开口向上，
点在点上方，
点为该抛物线上一动点，其横坐标为，
，，
，
对称轴为，
当的长随的增大而减小时，的取值范围是．
故答案为：．
将抛物线化为顶点式即可求得答案；
联立可得，整理为，由根的判别式得，直线与抛物线无交点，由，得点在点上方，根据题意可得：，，即可得出，可得对称轴为，根据二次函数的性质即可求解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根的判别式等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15.【答案】解：
．
【解析】根据实数运算的法则计算即可．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．
16.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求；
如图，线段即为所求．

【解析】利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用平移变换的存在分别作出，，的对应点，，即可；
根据三角形的中线的定义作出图形即可．
本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，掌握旋转变换，平移变换的性质是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
故答案为：；
由题意得，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
，
第个等式：．
故答案为：．
根据前个等式的规律求解此题；
根据前个等式归纳出此题规律进行求解．
此题考查了算式规律的归纳能力，关键是能准确理解题意，并通过观察、计算、归纳进行求解．
18.【答案】解：过点作，垂足为，
由题意得：
米，，，
设米，
在中，米，
在中，米，
，
，
解得：，
米，
在中，，
米，
分钟，
估计分钟可以到达事故船处．
【解析】过点作，垂足为，由题意得：米，，，然后设米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而根据，列出关于的方程，进行计算可求出的长，进而求出的长，最后根据时间路程速度，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：、两点在反比例函数的图象上，
，
解得，，
，，
把，代入中得，
解得，
一次函数解析式为．
由图象可知，当时，的取值范围是或．
把代入得，
解得，
点坐标为，
．
【解析】将，两坐标先代入反比例函数求出，，然后由待定系数法求函数解析式．
根据直线在曲线下方时的取值范围求解．
由求解．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．
20.【答案】证明：连接，
是切线，
，
，
，
，
，
，
，
即平分；
解：连接，
，，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
的半径是；
，
证明：，，
，
，
，
∽，
，
即．
【解析】连接，由是切线，得到，根据平行线的性质得到，有等腰三角形的性质得到，于是得到结论；
连接，由三角函数的定义得到，得到，于是得到，由是的直径，得到，解直角三角形即可得到结论；
根据余角的性质得到根据相似三角形的性质得到结论．
本题考查了切线的性质，三角函数的定义，余角的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：调查人数：人，
“组”人数：人，
“组”人数：人，
补全直方图如下：
，
答：扇形统计图中组所在扇形的圆心角的度数为；
调查人数是人，
第和个数据的平均数即为该班学生成绩的中位数，
第和个数据是，，
该班学生成绩的中位数是，
，
小君的成绩在全班属于中等偏上，观点正确．
【解析】从两个统计图可得“组”的频数是人，占调查人数的，可求出调查人数，由“组”的圆心角度数可求出所占的调查人数的百分比，进而求出频数，再根据各组频数之和为调查人数，可求出“组”的频数即可；
求出“组”所占的百分比，即可求出相应的圆心角度数；
求出调查人数，根据中位数的求出求出中位数，然后作出判断即可．
本题考查频数分布直方图、频数分布表和扇形统计图，掌握统计图表中的数量关系是正确解答的前提．
22.【答案】解：；；；
，花卉每平方米的产值分别是百元、百元，
，两种花卉的总产值分别为百元和百元，
，两种花卉的总产值相等，
，
，
解方程得舍去，，
当育苗区的边长为时，，两种花卉的总产值相等；
花卉与的种植面积之和为：，
，
，
设，，三种花卉的总产值之和百元，
，
，
，
当时，随的增加而减小，
当时，最大，且百元，
故A，，三种花卉的总产值之和的最大值元．
【解析】【分析】
根据正方形和长方形的面积计算公式可直接得出答案；
根据，两种花卉的总产值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案；
先根据花卉与的种植面积之和不超过建立不等式，得到，再设，，三种花卉的总产值之和为百元，得到关于的二次函数，根据二次函数的性质即可得到答案．
本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程和函数表达式．
【解答】
解：育苗区的边长为 ，活动区的边长为，
花卉的面积为：，
花卉的面积为：，
花卉的面积为：，
故答案为：；；；
见答案；
见答案．
23.【答案】证明：如图中，，
，
，，
又，
，
，
；
解：平分，
，
设，，
，
∽，
，
，
，
，
，
负值已经舍去，
，
，，
，
；
连接，，设交于点．
，
，
，
，，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
设，
，，
，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
，
解得，
，
．
【解析】【分析】
欲证明，只要证明即可；
设，，证明∽，推出，可知，即，可得负值已经舍去，即可解决问题；
连接，，设交于点证明是等腰直角三角形，再证明，设，则，，利用相似三角形的性质求出，可得结论．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
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