2023-2024学年河北省承德市宽城一中高二（下）期初数学试卷(含解析）

2023-2024学年河北省承德市宽城一中高二（下）期初数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.文抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，则( )
A. B. C. D.
3.记是等差数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
4.已知圆与圆，则两圆公切线的条数为( )
A. B. C. D.
5.已知，均为等差数列，且，，，则( )
A. B. C. D.
6.线段长度为，其两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为( )
A. B. C. D.
7.如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知是椭圆上一点，椭圆的左、右顶点分别为，垂直椭圆的长轴，垂足为，若，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：与：，则( )
A. 若，则两直线垂直 B. 若两直线平行，则
C. 直线恒过定点 D. 直线在两坐标轴上的截距相等
10.等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选择项正确的是( )
A. B.
C. 当时最小 D. 时的最小值为
11.已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且，则下列结论正确的是( )
A. 双曲线的渐近线方程为
B. 以为直径的圆的方程为
C. 到双曲线的一条渐近线的距离为
D. 的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列的公比为，且，，，则 ______．
13.经过点和的双曲线的标准方程是______．
14.过点的直线与圆：交于、两点，为圆心，当最小时，直线的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：与圆：相交于，两点．
若为圆上一点，求点到直线的最大距离；
求弦的长度．
16.本小题分
数列是首项为，公比为正数的等比数列，且满足．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在梯形中，，，，为等边三角形，平面平面，为棱的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
数列满足，，．
求，；
证明：数列是等差数列；
若求数列的前项和．
19.本小题分
设椭圆的离心率为，直线过椭圆的右焦点，与椭圆交于点、；若垂直于轴，则．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ椭圆的左右顶点分别为、，直线与直线交于点求证：点在定直线上．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意，抛物线开口向右，焦点在轴的正半轴上，且
抛物线的焦点坐标是
故选：．
先确定抛物线开口向右，焦点在轴的正半轴上，且，从而可求抛物线的焦点坐标．
本题以抛物线的标准方程为载体，考查抛物线的几何性质，确定抛物线的类型是关键．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，向量，
则．
故选：．
根据题意，由空间模的计算公式计算可得答案．
本题考查空间向量的模，涉及向量的坐标，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：等差数列的前项和为，且，，
又，，，成新的等差数列，
又，
，
，
．
故选：．
根据等差数列的性质即可求解．
本题考查等差数列的性质应用，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
圆心距，两圆外切，有条公切线．
故选：．
根据题意，分析两个圆的圆心和半径，可得两圆外切，进而分析可得答案．
本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由于，均为等差数列，则为等差数列，
因此，，
所以的公差为，
故．
故选：．
根据等差数列的性质即可求解．
本题考查等差数列性质的应用，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，设，，的中点为，
则，可得，即，，
由，可得，整理得，
因此，线段中点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，围成图形的面积．
故选：．
设出、的坐标，根据建立关系式，得到中点的坐标满足的关系式，得到其轨迹为一个圆，再根据圆面积公式算出答案．
本题主要考查两点间的距离公式及其应用、轨迹方程的求法、圆的方程及其性质等知识，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：在正三棱柱中，向量不共面，，，
令，则，而，
于是得，
因此，，
所以与所成角的大小为．
故选：．
可得出，，并设，然后即可求出，并知道，然后即可求出的值，从而得出答案．
本题考查了用向量求异面直线所成角的方法，向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，向量的数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设，，
因为，，
所以，，
所以，
因为，
所以点的横坐标为，
把代入椭圆方程，有，所以，即，
因为，
所以，整理得，
因为，所以，
所以，即，
所以椭圆的离心率．
故选：．
设，，将代入椭圆方程，可表示出，再利用，推出，然后根据椭圆离心率的计算方法，即可得解．
本题考查椭圆离心率的求法，熟练掌握椭圆的方程与几何性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：中，当时，直线的方程为：，因为两条直线的斜率互为负倒数，所以两条直线垂直，所以A正确；
中，若两条直线平行，则，解得，所以不正确；
中，直线：整理可得，
联立，解得，，即直线恒过定点，所以C正确；
中，直线：在轴的截距为，在轴的截距为，所以直线在坐标轴上的截距不相等，所以不正确．
故选：．
中，当时，可得直线的方程，可得两条直线的斜率的关系，判断出的真假；中，写出两条直线平行的充要条件，可得的值，判断出的真假，中，将直线整理为，可得直线恒过的定点的坐标，判断出的真假；中，求出直线在坐标轴上的焦距，判断出的真假．
本题考查直线在坐标轴上的截距的求法，两条直线的位置关系的判断方法，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意，设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
又由等差数列是递增数列，可知，则，故A，B正确；
因为，
由可知，当或时最小，故C错误，
令，解得或，即时的最小值为，故D正确．
故选：．
设等差数列的公差为，因为，求得，根据数列是递增数列，得到，B正确；再由前项公式，结合二次函数和不等式的解法，即可求解．
本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其单调性、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：中双曲线，可得焦点在轴上，，，，是实半轴长，虚半轴长，
所以渐近线方程为即，所以A 正确；
中，，可得左焦点，右焦点，所以以为直径的圆的圆心是，半径为，
所以圆的方程为，所以不正确；
中，到一条渐近线为的距离，所以C正确；
中，，设坐标，，，
，又在双曲线上，所以，由得，，
，D正确；
故选：．
给出双曲线方程，可以得出的值，左右焦点的坐标，渐近线方程，由，得的横纵坐标的关系，再由在双曲线上，可求出的坐标．进而得命题的真假．
本题考查双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题和易错题．
12.【答案】
【解析】解：，，
则，解得或舍去．
故答案为：．
根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，设双曲线的方程为，，
又由双曲线经过点和，
则，解可得，
则双曲线的标准方程为：；
故答案为：．
根据题意，设双曲线的方程为，将、的坐标代入方程可得，解可得、的值，将其变形为标准方程即可得答案．
本题考查双曲线的标准方程，关键是依据题意设出双曲线的方程，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，圆：，其圆心，半径，
又由点，则有，即点在圆的内部，
由直线和圆相交的性质可得，当最小时，圆心到直线的距离最大，此时直线与直线垂直；
此时，直线的斜率，
此时直线的方程为：，即，
故答案为：．
根据题意，分析可得点在圆的内部，由直线和圆相交的性质可得当最小时，直线与直线垂直，根据两条直线垂直的性质，求得直线的斜率，再用点斜式求得直线的方程．
本题考点是直线与圆的位置关系，注意分析最小的条件，属于基础题．
15.【答案】解：圆：，整理得，
所以圆心到直线的距离，
故点到直线的最大距离为．
利用垂弦定理，．
【解析】直接利用点到直线的距离公式求出结果；
利用垂弦定理求出结果．
本题考查的知识要点：圆与直线的位置关系，点到直线的距离，垂弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
16.【答案】解：设等比数列是的公比为，，
，
，，
解得，
；
由可得：数列的前项和
．
【解析】设等比数列是的公比为，，根据，可得，，解得，可得；
由利用求和公式即可得出结论．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：证明：取中点，连结，，如图，
为的中点，，，
，，，，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面．
取中点，中点，连接，，则，
是等边三角形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
，则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】推导出，由此能证明平面；
根据题设条件，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．
本题考查线面平行、线面垂直的判定与性质、线面角的正弦值的求法、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：，，，
，即，
，
同理可得．
证明：，
，又，
数列是等差数列，首项为，公差为；
由可得：，
，
．
，
数列的前项和．
【解析】由，，，分别令，，即可得出结论．
由，变形为，即可证明结论；
由可得：，可得，再利用裂项求和方法即可得出结论．
本题考查了等差数列的定义与通项公式、累加求和方法、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ由已知得，
所以，
所以椭圆的方程为；
Ⅱ设，，：，
联立，
得，
所以，
可得，，
所以，
又因为，
所以；
所以点在直线上．
【解析】Ⅰ由已知得，求出，，即可得到椭圆方程．
Ⅱ设，，：，联立，利用韦达定理，转化求解的横坐标即可．
本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．
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