2023-2024学年安徽省A10联盟高一（下）开学数学试卷(含解析）

2023-2024学年安徽省A10联盟高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知正实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.点从出发，沿着单位圆顺时针运动到达点，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
5.若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.已知角，满足，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如图，在扇形中，，，点在弧上点与点，不重合，分别在点，作扇形所在圆的切线，，且，交于点，与的延长线交于点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列计算中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10.函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
C. 的图象关于点对称
D. 若方程在上有且只有个根，则
11.已知是定义在上的偶函数，若，，且，恒成立，且，则满足的实数的值可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数过点，则 ______．
13.函数的值域为______．
14.中国茶文化源远流长，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是，经过后的温度是，则，其中表示环境温度，为常数该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是，放在的室温中，以后茶水的温度是，在上述条件下，大约需要再放置______能达到最佳饮用口感结果精确到，参考数据：，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，命题“，”为假命题．
求实数的取值集合；
在的条件下，若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高米，叶片长米叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点在风车的最低点此时离地面米设点转动秒后离地面的距离为米，则关于的函数关系式为．
求的解析式；
求叶片旋转一圈内点离地面的高度不低于米的时长．
17.本小题分
已知函数．
若，且，求函数的零点；
若，函数的定义域为，存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
若，求的值；
设，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数的定义域为，，且当时，．
判断的奇偶性，并说明理由；
解不等式：；
已知，，若对，，使得成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，可得，或，
或，可得．
故选：．
根据指数函数的性质，化简得，根据二次不等式的解法算出或，然后利用并集与补集的法则算出答案．
本题主要考查指数不等式与一元二次不等式的解法、并集与补集的运算法则等知识，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意得，
，
．
故选：．
由已知结合指数与对数的转化及对数运算性质即可求解．
本题主要考查了指数与对数的转化公式的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，，
，即，当且仅当，即，时取等号，
，即的最小值为．
故选：．
由已知结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：点从出发，沿着单位圆顺时针运动到达点，
则，，
故点的坐标为．
故选：．
根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，所以；
因为，所以；
又因为，所以；
因为，所以．
综上可得：．
故选：．
利用指数函数的单调性可判断，和，结合幂函数的单调性即可判断，的大小关系，进而得出结论．
本题考查指数式和对数式比较大小，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
由已知结合同角基本关系及和差角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：函数在上单调递增，
则，解得．
故选：．
根据已知条件，列出不等式组，即可求解．
本题主要考查分段函数的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：连接，如图所示：
设，，在中，，
由得，．
在中，，，
．
令，则，且，
则，
当且仅当时取等号．
故选：．
直接利用三角函数的关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：．
由已知结合和差角公式及二倍角公式检验各选项即可判断．
本题主要考查了和差角公式及二倍角公式的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由已知函数的部分图象可得：，，即，
又因为，所以，所以．
因为的图象过点，所以，即，
解得，
由已知函数的部分图象可可知：，即，即，
所以，故，故A正确；
将的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是，
显然该函数为非奇非偶函数，故B错误；
因为，所以点不是函数的对称点，故C不正确；
因为，
若方程在上有且只有个根，则，故D正确．
故选：．
根据已知图象及特殊点的坐标得出函数的解析式，进而判断选项A的正误；根据函数的平移变换可得出新函数的解析式，进而判断选项B的正误；将点代入函数的解析式验证即可判断选项C的正误；结合三角函数的图象与性质可判断实数的取值范围即可判断选项D的正误．
本题考查由三角函数的部分图象求函数的解析式、三角函数的图象与性质，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：若，，且，恒成立，
等价于，
令，则，
所以函数在上单调递减．
因为是偶函数，所以，
故，且．
因为，即，即，
所以或，解得或．
故选：．
构造函数，结合已知判断的单调性及奇偶性，然后结合单调性及奇偶性即可求解的范围，进而可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：设，
幂函数过点，
则，解得，
所以，则．
故答案为：．
设出幂函数的解析式，再将点代入解析式，并将代入解析式，即可求解．
本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：方法：分类变量法
因为，
因为，所以，
所以，，
所以，即函数的值域为．
方法：函数的性质法．
因为，所以，
即，
若，则不成立，所以．
所以，
因为，所以，
解得，即函数的值域为．
利用分类变量法或利用三角函数的有界性求值域．
本题主要考查了函数的值域求法，利用三角函数的有界性是解决本题的关键，要求熟练掌握求函数值域的几种常见方法．
14.【答案】
【解析】解：由题意得，把，，，代入公式，
得，即，解得．
设大约需要再放置能达到最佳饮用口感，则，即，
则，所以，
解得，
所以，大约需要再放置能达到最佳饮用口感．
把，，，代入公式，化简求出，再求时所需要的时间的值．
本题考查了指数函数与对数函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
15.【答案】解：命题“，”的否定为：“，”，
因为原命题为假命题，则其否定为真命题，
当时，恒成立，满足题意；
当时，只需，解得．
所以实数的取值集合为．
因为“”是“”成立的充分不必要条件，
所以是的真子集，而不为空集，
所以，，
因此的取值范围为：．
【解析】根据特称命题的否定为真，根据分类讨论思想以及一元二次不等式恒成立，可得答案；
根据充分不必要条件的集合表示，建立不等式组，可得答案．
本题主要考查充分条件和必要条件，属于中档题．
16.【答案】解：如图，建立平面直角坐标系，
当时，风车开始旋转时某叶片的一个端点在风车的最低点，设为，则，
由题意得，，且，
解得，
所以；
令，则，
即，
所以，解得，
当时，，
所以叶片旋转一圈内点离地面的高度不低于米的时长为秒．
【解析】建立平面直角坐标系，根据题意列出方程组，求出，，的值，得到的解析式；
令，则，再结合正弦函数的性质求解．
本题主要考查了三角函数的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．
17.【答案】解：若，，则，
令，则，得，
即的零点为．
，函数在定义域内单调递增，
函数在定义域内单调递增，
函数在定义域内单调递增．
函数的定义域为，存在，使得在上的值域为，
故，
关于的方程有两个不同的根，
，即有两个不同的根．
令，则，关于的方程有两个不同的正实数根，，
，
解得，故实数的取值范围为．
【解析】由题意，解得函数的零点为．
根据复合函数的单调性和根的分布可得结果．
本题主要考查对数函数的性质，属于中档题．
18.【答案】解：，
若，则，解得，
所以．
由题意得，，
因为，所以，所以．
由题意可知不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
所以，
解得，
即实数的取值范围为．
【解析】直接利用三角函数的关系式的变换求出结果；
首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用恒成立问题的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考察学生的运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：为奇函数，理由如下：
令，则，解得．
令，则，即，
为奇函数．
令，则，
，，，则，
，．
当时，，为奇函数，
当时，，，即，
在为减函数．
，，解得，
即不等式的解集为．
，，使得成立，
，即．
的对称轴为，．
当，即时，在上单调递增，
则，，解得，；
当，即时，在上单调递减，
则，，解得，；
当时，在上先减再增，
则，，
解得或，；
综上所述，实数的取值范围是．
【解析】为奇函数，利用赋值法即可求解；
利用单调性的定义判断函数的单调性，从而可解不等式；
由题意可得，即，对分类讨论，求出的最小值，从而可得的取值范围．
本题主要考查函数奇偶性与单调性，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
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