2023-2024学年河北省保定市定州二中高二（下）开学数学试卷(含解析）

2023-2024学年河北省保定市定州二中高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列，，，，，按照这个规律，这个数列的第项为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3.已知直线的倾斜角比直线：的倾斜角大，则的斜率为( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列的前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
5.在四面体中，，，则( )
A. B.
C. D.
6.已知过点的直线与圆：交于，两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，且，则的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是参考数据：取，( )
A. 第天 B. 第天 C. 第天 D. 第天
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，分别是双曲线：的左、右焦点，第二象限的点在上，则( )
A. 的虚轴长为 B. 的焦距为
C. 的渐近线方程为 D.
10.如图，在每个空格中填入一个数字，使每一行方格中的数成等比数列，每一列方格中的数成等差数列，则( )
A. B. C. D.
11.若曲线：与曲线：有个公共点，则的值可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是抛物线：的焦点，是上的一个动点，设到轴的距离为，到点的距离为，则的最小值为______．
13.已知，两点分别在两条互相垂直的直线：和：上，且的中点为，则 ______，直线的一般式方程为______．
14.在正方体中，，分别在棱，上，，，平面与棱交于点，则直线与所成角的余弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆：被轴分成两段弧，弧长之比为：．
求；
若动点到坐标原点的距离等于，为圆上一动点，求的取值范围．
16.本小题分
在数列，中，，．
若，求数列的通项公式；
若，求的前项和．
17.本小题分
如图，四棱锥的底面是平行四边形，是边长为的正三角形，平面平面，，，为棱的中点．
证明：平面．
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知正项数列的前项和为，为自然对数的底数，．
证明：是等比数列．
设，证明：．
19.本小题分
已知，为抛物线：上的两点，是边长为的等边三角形，其中为坐标原点．
求的方程；
过的焦点作圆：的两条切线，，且，与分别交于点，和，，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由观察可知，分子为，，，，，，
所以第项的分子为；分母为，，，，，，
所以第项的分母为，
所以第项为．
故选：．
由观察可知，分子为，，，，，，分子为；分母为，，，，，，分母为，可得结果．
本题主要考查数列的归纳推理，属于中档题．
2.【答案】
【解析】解：，，
则，，
故在方向上的投影向量为：．
故选：．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：直线：，
设直线的倾斜角，则，
所以直线的倾斜角为，
由题意可得直线的倾斜角为，
所以直线的斜率为．
故选：．
由诱导公式可得直线的倾斜角的大小，由题意可得直线的倾斜角的大小，进而求出它的斜率．
本题考查直线的倾斜角的求法，诱导公式的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：等差数列的前项和为，且，
故，
则．
故选：．
直接根据等差数列的相关知识求解即可．
本题主要考查等差数列，考查计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：如图所示：
在四面体中，，整理得，故，
由于，则．
故选：．
直接利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：点设圆：内的点，
由圆：可得圆心，半径，
则当时，最小，此时，
则由弦长公式可得．
故选：．
说明与圆的位置关系，当直线与垂直时，取最小值，进而用垂径定理求解即可．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长公式，点到直线的距离公式等知识点，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：根据椭圆的几何性质及题意可得：，
，，，
，，又，
．
故选：．
根据椭圆的几何性质及题意可得：，再化归转化，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意可知，甲植物每天生长的长度构成等比数列，首项为，公比为，乙植物每天生长的长度构成等比数列，首项为，公比为，
设数列的前项和为，数列的前项和为，
则，，
令得，，
即，
设，则，，
则不等式化为，
解得或，
又，，
即，
两边取对数得，，
，
即甲的长度第一次超过乙的长度的时期是第天．
故选：．
由题意可知，甲植物每天生长的长度构成等比数列，首项为，公比为，乙植物每天生长的长度构成等比数列，首项为，公比为，由等比数列的前项和公式可得，再结合对数的运算性质求出的取值范围即可．
本题主要考查了等比数列的应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：双曲线：，可得，，，
所以双曲线的虚轴长为：，所以不正确；
双曲线的焦距为，所以B正确；
双曲线的渐近线方程为，所以C正确；
，分别是双曲线：的左、右焦点，第二象限的点在上，所以，所以不正确．
故选：．
利用双曲线方程，求解虚轴长，焦距，渐近线方程，结合双曲线定义，判断选项即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：每一行方格中的数成等比数列，则有，，
每一列方格中的数成等差数列，则，，
，，，，
当时，，当时，矛盾，
则，，故A，，D正确．
故选：．
根据等差中项，等比中项的性质即可得．
本题考查等比数列，等差数列的性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为曲线：与曲线：都关于轴对称，
所以当时，曲线与曲线有个交点，
而当时，：，
当时，：，
其图象如图所示：
显然，要使当时，曲线与曲线有个交点，
则直线与有两个交点，或与有两个交点，
由，得，
，解得；
由，得，
，解得；
综上，．
故选：．
由曲线的方程易知曲线关于轴对称，把条件转化为当时，曲线与曲线有个交点，对曲线去绝对值，可得直线与第一象限部分有两个交点，或与第四象限部分有两个交点，利用判别式，求解即可．
本题考查曲线的对称性，直线与曲线的位置关系，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：抛物线的焦点的坐标为，作图如下，
抛物线的准线方程为，设点到该抛物线准线的距离为，
由抛物线的定义可知，，
当且仅当、、三点共线时在，中间时取等号，
，，为直角三角形，
，
故的最小值为：．
故答案为：．
利用抛物线的定义，将抛物线上的点到该抛物线准线的距离转化为点到其焦点的距离，当、、共线时即可满足题意，从而可求得距离之和的最小值．
本题考查抛物线的简单性质，着重考查抛物线的定义的应用，突出转化思想的运用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由两条直线垂直可得，解得，
即直线的方程为，
联立，解得，
即两条直线的交点为，
设，因为的中点，
，则，，
解得，，
即，，
所以，
所以直线的方程为，
整理可得．
故答案为：；．
写出两条直线垂直的充要条件，可得的值，设，的坐标，由中点坐标，可得参数的值，即求出，的坐标，进而求出直线的方程．
本题考查两条直线垂直的性质的应用及过两点的直线方程的求法，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，为个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
得，，
，设，则，
因为，，，四点共面，所以可设，
则，得，
所以直线与所成角的余位值为．
答案为：．
建系，设，则，利用，，，四点共面，所以可设，由向量共线求出向量，再代入向量夹角的余弦公式即可求．
本题考查空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．
15.【答案】解：圆：被轴分成两段弧，弧长之比为：．
可得圆的圆心，半径为，并且满足．
若动点到坐标原点的距离等于，可知的轨迹设以原点为圆心，为半径的圆，
为圆上一动点，的取值范围：
【解析】利用圆：被轴分成两段弧，弧长之比为：推出圆心角为，列出方程求解．
求解的轨迹，然后求解距离的最小值以及最大值即可．
本题考查轨迹方程的求法，圆的方程的应用，设中档题．
16.【答案】解：依题意，由及，
可得，
，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，．
由题意及，
可得，
则
，
，
两式相减，
可得
，
．
【解析】先根据题干已知条件可得，再得到，即可发现数列是以为首项，为公差的等差数列，从而计算出数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再运用错位相减法即可计算出前项和．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，错位相减法，等差数列的通项公式的应用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
17.【答案】证明：由题意可得，，，
由余弦定理可得：，
所以可得，
所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面；
解：取的中点，的中点，连接，，
因为为等边三角形，
所以，
由可得，所以平面，
因为，，
以为坐标原点，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，，，，，，，
所以的中点，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，
则，
所以，
，，
所以，，
设直线与平面所成角为，，
则，．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】在中，由余弦定理可得的值，进而可证得，再由平面平面，可证得平面；
取的中点，的中点，连接，，可证得，平面，取以为坐标原点，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，由题意可得点的坐标，求出的坐标，平面的法向量的坐标，进而可得，的值，进而求出直线与平面所成角的正弦值．
本题考查平面垂直的性质的应用，空间向量的方法求线面角的正弦值，属于中档题．
18.【答案】证明：正项数列的前项和为，，．
，则，
，
是等比数列是首项为，公比为的等比数列．
，
，
．
【解析】由题意求出，则，，，，即可证明；
，即可证明．
本题考查了等比数列的通项公式，不等式的放缩，裂项法求和，属于中档题．
19.【答案】解：由对称性可知当为等边三角形时，、两点关于轴对称，
当为等边三角形时，的高为，由题意知点在上，
代入，得，解得，
所以的标准方程为；
由得，易得，的斜率均不为，设：，：，
由，得，同理可得，
则，可以看作方程的两根，
则，，
由，得，所以，，
设，，，，
由，得，易得，则，
所以，
同理可得，
所以
，
所以当，即时，取得最小值，且最小值为．
【解析】由对称性可知当为等边三角形时，、两点关于轴对称，可得点在上，代入解得，即得的标准方程；
设：，：，由，与抛物线相切可得：，然后联立，的方程与抛物线的方程，利用弦长公式求出，，代入中即可求解．
本题考查了直线与圆锥曲线的综合运用，属于中档题．
第1页，共1页