人教版八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习题（含解析）

人教版八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习题
一、选择题
1．如图，在 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点O，∠ODA=90°，OA=6，OB=2，则AD的长是（　　）
A．6 B．4 C．4 D．4
2．如图，D，E分别是△ABC的边BA，BC的中点.若AC=3，则 DE 的长为 （　　）
A．2 B． C．3 D．
3．已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10 cm，则矩形的面积为（　　）
A．12 cm2 B．24 cm2 C．48 cm2 D．60 cm2
4．如图，四边形 ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，还需要添加的条件是（　　）
A．AB=CD B．AD=BC C．AC=BD D．AB=BC
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（　　）
A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形
B．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
C．当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形
D．当∠DAB= 90°时，四边形ABCD是正方形
6．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长是30，OE=3，则四边形ABFE的周长是（　　）
A．21 B．24 C．27 D．18
7．如图，E是 ABCD的边 AD 延长线上一点，连结BE，CE，BD，BE 交 CD 于点F.添加以下条件，不能判定四边形 BCED为平行四边形的是 （　　）
A．∠ABD=∠DCE B．DF=CF
C．∠AEB=∠BCD D．.∠AEC=∠CBD
8．如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE的中点若AE=AD，DF=2，则BD的长为（　　）
A． B．3 C． D．4
9．如图，菱形ABCD的两条对角线交于点O，BE⊥DC，交DC的延长线于点E，若AC=6， BD=8，则BE的长是（　　）
A． B． C． D．4
10．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA 上，且 DE∥CA，DF∥BA.有下列说法：
①四边形AEDF 是平行四边形；
②若∠BAC=90°，则四边形AEDF 是矩形；
③若 AD平分∠BAC，则四边形AEDF 是菱形；
④若AD⊥BC，且AB=AC，则四边形AEDF 是正方形.
其中正确的是 （　　）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
11．在□ABCD中，若∠A+∠C=100°，则∠D的度数为　 　°.
12．如图，△ABC的周长为 28，点 D，E都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为 Q，∠ACB的平分线垂直于 AD，垂足为 P，连结PQ.若 BC=10，则PQ的长是　 　.
13．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，D，E，F 分别为 AB，BC，CA的中点. 若 BF=5，则DE=　 　.
14．如图，定义：若菱形 AECF 与正方形ABCD的两个顶点A，C重合，另外两个顶点E，F在正方形ABCD 的内部，则称菱形AECF 为正方形ABCD 的内含菱形.若正方形的周长为16，其内含菱形的边长是整数，则内含菱形的周长为　 　；若正方形的面积为18，其内含菱形的面积为6，则内含菱形的边长为　 　.
三、解答题
15．已知：如图，在 ABCD中，过 AC的中点O的直线分别交 CB，AD 的延长线于点 E，F.求证：BE=DF.
16．如图，在□ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA 上的点，且满足 AE=CG，BF=DH，连结 EG，FH.求证：EG，FH 互相平分.
17．如图，在△ABC 中，AB=AC，D，E 分别是线段 BC，AD的中点，过点 A 作 BC 的平行线交BE 的延长线于点 F，连结 CF.求证：
（1）△BDE≌△FAE.
（2）四边形 ADCF 是矩形.
18．如图，矩形EFGH 的顶点E，G分别在菱形AB-CD 的边AD，BC上，顶点 F，H 在菱形ABCD 的对角线BD上.
（1）求证：BG=DE.
（2）若E为AD 中点，FH=4，求菱形 ABCD 的周长.
19．如图，的中线，相交于点G，点P，Q分别是，的中点．求证：
（1）四边形是平行四边形；
（2） ．
20．如图，在矩形中，对角线相交于点，分别过点作于点，于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
21．如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
22．已知：正方形中，点E，M分别在边，上．
（1）如图1，，垂足为点G，求证：；
（2）如图2，点F，N分别在边，上，若，请判断和的大小关系，并说明理由．
23．如图，四边形为菱形，．，，．
（1）点坐标为　 　 ，四边形的面积为　 　 ；
（2）如图，点在线段上运动，为等边三角形．
求证：，并求的最小值；
点在线段上运动时，点的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点的横坐标若变化，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB=OD＝2
∵∠ODA＝90°
∴AD＝
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质，可得OB=OD，进而根据勾股定理，可直接求出AD的长.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵D，E分别是△ABC的边BA，BC的中点
∴DE=AC＝
故答案为：D.
【分析】根据三角形的中线等于第三边的一半解题即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意得：另一边==8 cm，
∴ 矩形的面积=6×8=48 cm2.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质得四个角为直角，再根据勾股定理即可求得另一个，再根据矩形的面积即可求得.
4．【答案】D
【解析】【解答】A、平行四边形的对边相等，不能判定它是菱形；故此选项不符合题意；
B、平行四边形的对边相等，不能判定它是菱形；故此选项不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，故此选项不符合题意；
D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据菱形的判定定理“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”并结合各选项可判断求解.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：①对角线相等的平行四边形是矩形，故A正确；
②有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B正确；
③∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故C正确；
④当∠DAB=90°，平行四边形ABCD是矩形，不能判定其是正方形，故D错误；
故答案为：D．
【分析】通过矩形、菱形、矩形及正方形的判定方法一一判断即可.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可知AB=CD，AD=BC，OA=OC，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，AE=CF，
∴四边形ABFE的周长=AB+AE+BF+EF=AB+BF+CF+2OE=AB+BC+2OE=15+6=21，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质可证得△AOE≌△COF，从而得到OE=OF，AE=CF，再根据线段之间的等量关系进行替换可得出答案.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB∥CD
∴∠ABD=∠CDB，DE∥BC
∵∠ABD=∠DCE
∴∠CDB＝∠DCE
∴EC∥DB
∴四边形BCED是平行四边形，故选项A正确，不符合题意；
B、∵DE∥BC
∴∠CDE＝∠DCB
∵∠CDE＝∠DCB，DF＝CF，∠DFE＝∠BFC
∴△DFE≌△CFB
∴EF＝BF
∴四边形BCED是平行四边形，故选项B正确，不符合题意；
C、∵DE∥BC
∴∠AEB＝∠EBF
∵∠AEB＝∠BCD
∴∠EBF＝∠BCD
∴FC=FB，无法判定四边形BCED是平行四边形，故选项C符合题意；
D、∵DE∥BC
∴∠AEB=∠CBE
∵∠AEC=∠CBD
∴∠BEC=∠EBD
∴EC∥BD
∴四边形BCED是平行四边形，故选项D正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理：①对边平行的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形，逐项判断得出答案.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵D是AC的中点，F是CE中点，DF=2，
∴AE=2DF=4，
∵AE=AD，
∴AD=4，
在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，
∴BD=AD=4，
故答案为：D．
【分析】根据三角形的中位线性质可知AE=2DF，从而得知AD=4，再根据直角三角形的中线性质，中线等于斜边的一半可得出答案.
9．【答案】A
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是菱形，
∴，，，
在Rt△OCD中，由勾股定理得，
∵，
∴，
解得：.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质、勾股定理可得菱形边长，再由菱形的面积公式可求BE的长.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ DE∥CA，DF∥BA ，
∴ 四边形AEDF 是平行四边形，故①正确；
若∠BAC=90°，
∴四边形AEDF 是矩形，故②正确；
若AD平分∠BAC ，
∴∠EAD=∠FAD，
∵ DE∥CA ，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴AE=DE，
∴ 四边形AEDF 是菱形，故③正确；
若AD⊥BC，且AB=AC，
∴AD平分∠BAC ，
由③知四边形AEDF 是菱形，故④错误.
故答案为：C.
【分析】由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判断①正确；若∠BAC=90°，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知②正确；若AD平分∠BAC ，结合DE∥CA ，可推出∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判断③正确；由AD⊥BC，且AB=AC，可得AD平分∠BAC ，由③知四边形AEDF 是菱形，故④错误.
11．【答案】130
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠A+∠D=180°，
∵ ∠A+∠C=100°，
∴∠A=∠C=50°，
∴∠D=130°.
故答案为：130.
【分析】根据平行四边形的对角相等、邻角互补进行解答即可.
12．【答案】4
【解析】【解答】解：∵ △ABC的周长为28， BC=10 ，
∴AB+AC=18，
∵ ∠ABC 的平分线垂直于 AE ，
∴∠AQB=∠BQE=90°，∠ABQ=∠QBE，
∵BQ=BQ，
∴△ABQ≌△QBE（ASA），
∴AQ=QE，AB=BE，
同理可证AP=PD，AC=DC，
∴DE=BE+CD-BC=AB+AC-BC=8，
∴PQ=DE=4.
故答案为：4.
【分析】易求AB+AC=18，可证△ABQ≌△QBE（ASA），可得AQ=QE，AB=BE，同理可证AP=PD，AC=DC，从而求出DE=BE+CD-BC=8，最后利用三角形中位线定理即可得解.
13．【答案】5
【解析】【解答】解：∵D，E 分别为 AB，BC的中点，
∴DE=AC，
∵F 为CA的中点，∠ABC=90°，
∴BF=AC，
∴BF=DE，
而BF=5，
∴DE=5.
故答案为：5.
【分析】由题意根据三角形的中位线定理可得DE=AC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF=AC，于是得BF=DE可求解.
14．【答案】12；
【解析】【解答】解：连接AC、BD、AC、BD交于点O，
在正方形ABCD中，AC⊥BD，AC=BD，
在菱形AECF中，EF⊥AC，
∵ 正方形的周长为16，
∴AB=4，OA=AB=2，
∴OE＜2，
∵ 其内含菱形的边长是整数，
∴OA2+OE2=AE2，解得AE=3，
∴ 内含菱形的周长为3×4=12，
若正方形的面积为18，
∴AB=3，
∴OA=AB=3，
∵其内含菱形的面积为6 ，
∴EF=2，
∴ 内含菱形的边长为 =.
故答案为：12，.
【分析】连接AC、BD、AC、BD交于点O，根据正方形的性质、菱形的性质及勾股定理分别求解即可.
15．【答案】证明：∵点O为AC的中点，
∴OA=OC，
∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠F=∠E，
在△AOF和△COE中
∴△AOF≌△COE（AAS）
∴AF=CE，
∵AD=BC，
∴DF=CE.
【解析】【分析】利用线段中点的定义可证得OA=OC，利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得AD=BC，∠F=∠E；再利用AAS证明△AOF≌△COE，利用全等三角形的性质可证得AF=CE，据此可证得结论.
16．【答案】证明：连接EH，EF，FG，HG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=BC，
∵ BF=DH ，
∴AH=CF，
在△AEH和△CGF中
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH=FG，
同理可证EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴FH和EG互相平分.
【解析】【分析】连接EH，EF，FG，HG，利用平行四边形的性质可知∠A=∠C，AD=BC，可推出AH=CF，利用SAS证明△AEH≌△CGF，利用全等三角形的对应边相等，可证得EH=FG，同理可证EF=HG，可得到四边形EFGH是平行四边形，利用平行四边形的性质，可证得结论.
17．【答案】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是线段AD的中点，
∴AE=DE，
∵∠AEF=∠DEB，
∴△BDE≌△FAE（AAS）.
（2）证明：∵△BDE≌△FAE，
∴AF=BD，
∵D是线段BC的中点，
∴BD=CD，
∴AF=CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形；
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCF为矩形.
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE=∠DBE，结合题意可得AE=DE，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等即可证明；
（2）根据全等三角形的的对应边相等得到AF=BD，结合题意可推得AF=CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCF是平行四边形，根据等腰三角形西边上的高和底边上的中线，顶角的角平分线三线合一可得∠ADC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明.
18．【答案】（1）证明：在矩形EFGH中，EH=FG，EH∥GH，
∴∠GFH=∠EHF，
∴∠GFB=∠EHD，
在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠BGF=∠EDH，
∴△BGF≌△EDH（AAS），
∴BG=DE.
（2）解：连接EG，在菱形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，
∵ E为AD 中点，
∴AE=ED，
∵BG=DE，
∴AE∥BG，AE=BG，
∴四边形ABGE时平行四边形，
∴AB=EG，
在矩形EFGH中，EG=FH=4，
∴AB=EG=4，
∴菱形ABCD的周长为4×4=16.
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得EH=FG，EH∥GH，然后利用AAS证明△BGF≌△EDH，利用全等三角形的性质即可求解；
（2）连接EG，易证四边形ABGE时平行四边形，可得AB=EG，利用矩形的性质可得AB=EG=FH=4，再利用菱形的四条边相等即可求解.
19．【答案】（1）解：∵，是的中线，
∴是的中位线，
∴且．
∵点P，Q分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴且，
∴且．
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵P是中点，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）由已知条件得出EF和PQ分别是 和的中位线，再由中位线定理得出结论即可判定 四边形是平行四边形 ；
（2）由（1）所得结论四边形是平行四边形 和 P是中点得出，，通过转换即可得出。
20．【答案】（1）证明：∵在矩形在中，，，
∴，
又∵，，
，，
在和中，
，
∴，
，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：在矩形在中，，，
∵，
∴，
∴在中，，
，
∴是等边三角形，
，
∴在中，，，
由勾股定理得，．
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质结合平行线的性质即可得到，再根据垂直结合平行线的判定得到，，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，从而根据平行四边形的判定即可求解；
（2）先根据矩形的性质得到，，进而即可得到，再根据等边三角形的判定与性质即可得到，从而运用勾股定理即可求解。
21．【答案】（1）证明：在菱形中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：在菱形中，，
∵，
∴，
∵在矩形中，，
∵，
∴在中，，
解得：．
【解析】【分析】（1）先根据菱形的性质即可得到，，进而根据题意即可得到，再根据平行四边形的判定和矩形的判定即可求解；
（2）先根据菱形的性质得到，进而得到，再根据勾股定理即可求出CD。
22．【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
.
（2）解：，
理由：作于点Q，于点P，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
由题意知：四边形和四边形是矩形，
，
，
【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得，， 根据垂直及余角的性质可得 ， 根据AAS证明， 利用全等三角形的性质即得结论；
（2）作于点Q，于点P，根据AAS证明△EPF≌△MQN，利用全等三角形的性质即得结论.
23．【答案】（1）；
（2）解：证明；如图中，设交于．
四边形是菱形，
，，，
，
，
，都是等边三角形，
，
，
，，
≌．
，
当时，的值最小，
，，
，
在中，
，
的最小值为；
解：不变．
理由：过点作于，
≌，
，．
，
≌，
，
点的横坐标为，不变．
【解析】【解答】解：（1）如图所示：
∵ 四边形ABCD为菱形，B（-，0），C（，0）
∴ AB=BC=AD=
过点A作AE⊥x轴于E
∴ 四边形AEOD为矩形
∴ AD=EO=
∵ ∠ABC=120°
∴ ∠ABE=60°
∴ AE=3
∴ A（-，3）
【分析】本题考查菱形性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质和三角形全等的判定。（1）根据菱形的性质，结合勾股定理，易得点A的坐标和四边形ABOD的面积；（2） 连接BD交AC于J，结合菱形的性质和 为等边三角形 ，易证≌，则可得AF=BE。求AF最小值，即求BE的最小值，BE的最小值为，可得AF最小值为； 过点F作FH⊥AD于H，可证≌，得DH=DJ=，是定值。此题构造三角形，证明全等，得出替换线段是关键。
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