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第18章《勾股定理》单元复习学案
【学习目标】
1.知道本章的知识结构，并能用书面形式整理出来.
2.体验勾股定理的探究过程，养成良好的思维习惯.
3.会用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，提高思考、分析、解决问题的能力.
【学习重难点】
重点：勾股定理及其逆定理的内容和应用.
难点：勾股定理发现过程中所体现的重要数学思想.
【学法指导】
通过复习回顾，探究本章的主要内容，理解掌握勾股定理及其逆定理的内容与应用.
【自主学习】
1.什么是勾股定理？
【答案】直角三角形两条直角边长的平方和，等于斜边的平方。
2.什么是勾股定理的逆定理？
【答案】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
3.什么是勾股数？常见的勾股数有哪些？
【答案】能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数。
4.勾股定理及其逆定理的应用有哪些？
【答案】运用勾股定理及直角三角形的鉴别条件解决简单的实际问题，如：建筑设计；探究图形间的关系，形成必定的空间观点，如：地理测量等。
【课内探究】
活动一 小组合作：请你整理出本章的知识结构图
活动二 易错题解析
已知是某直角三角形的三边长，若，，则下列关于c的说法中，正确的是（）
A．c的值只能为 B．c的值只能为
C．c的值为或 D．c的值有无限多个
【答案】C
【分析】此题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，分两种情况讨论是解本题的关键．分两种情况：①当为直角边时，②当为直角边，利用勾股定理求出第三边长即可．
【详解】解∶分两种情况∶①当为直角边时，；
②当为直角边，为斜边时，．
故选∶C．
活动三 典例突破1：
如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，如果正方形和正方形的面积分别为和，那么正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理直接求解即可，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为和，
∴，，
∵，
∴，
∴正方形的面积为，
故选：．
活动四 典例突破2：
葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高为时，这段葛藤的长为 ．
【答案】2.6
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．根据题意画出图形，利用圆柱侧面展开图，结合勾股定理求出即可．
【详解】解：如图所示：
，
∴这段葛藤的长．
故答案为：．
活动五 易错题解析
在中，，，，则最长边上的高为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了与三角形高有关的计算、勾股定理的逆定理，先判断出三角形为直角三角形，然后根据三角形面积相等得到最长边上的高，熟练运用定理是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
即，
满足，
∴是以为直角的直角三角形，
设最长边上的高为，
根据，
解得，
故选：C．
活动六 典例突破3：
下列各组数据是勾股数的一组是（ ）
A．3，4，5 B．0.3，0.4，0.5 C．1，1， D．13，14，15
【答案】A
【分析】本题考查勾股数，理解勾股数的概念是关键．根据勾股数是满足的三个正整数求解即可．
【详解】解：A、3，4，5满足的三个正整数，是勾股数，符合题意；
B、0.3，0.4，0.5不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
C、1，1，中的不是整数，三个数不是勾股数，不符合题意；
D、不等于，13,14,15不是勾股数，不符合题意，
故选：A．
活动七 典例突破4：
如图，在四边形中，、为对角线，，，，若，的面积为2，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据已知条件得出，过点作于点，设交于点，根据三角形的面积求得，构造等腰直角三角形，进而额电池的长，即可求解．
【详解】解：∵，设，，
∵，
∴，即，
∵，
∴
∴
如图所示，过点作于点，设交于点，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵
∴，
∵的面积为2，
∴
∴，则，
在中，，
如图所示，作关于的对称点，连接，交于点，
∵，则是等腰直角三角形，
则，
设，则，
在中，
解得：或（舍去）
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握以上知识，得出解题的关键．
活动八 典例突破5
如图，在中，，，，是的边上的高，为垂足，且，.
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)求的长.
【答案】(1)是直角三角形；
(2)．
【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理的应用．
（1）根据勾股定理先求出，再利用勾股定理的逆定理判断即可；
（2）由是的边上的高，利用面积法计算即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
根据勾股定理，
∵，
∴是直角三角形；
（2）解：∵是的边上的高，
∴，
∴．
活动九 达标检测
1.以下三组数中是勾股数的一组是（ ）
A．6，7，8 B．2，3，4 C．，， D．5，12，13
【答案】D
【分析】本题考查了勾股数，勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、因为，所以它们不是勾股数，故本选项不符合题意；
B、因为，所以它们不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、因为，，都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项错误；
D、，所以它们是勾股数，故本选项正确；
故选：D．
2．如图是一个长方体包装盒，高为，底面是正方形，边长为，现需用绳子装饰，绳子从出发，沿长方体表面绕到处，则绳子的最短长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了平面展开——最短路径问题，把长方体右边的表面展开，连接，则就是绳子的最短时经过的路径，然后根据勾股定理求解，利用两点之间线段最短的性质，将长方体右边的表面展开是解题的关键．
【详解】如图，
将长方体右边的表面翻折（展开），连接，显然两点之间线段最短，为点到点的最短距离，由勾股定理知：
，
∴，即绳子最短为，
故选：．
3.在中，，，，求的长（ ）
A．4 B．2 C．4或6 D．2或4
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的特征，过点A作于点D，然后进行分类讨论：当点B和点C在两侧时，当点B和点C在同侧时，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：过点A作于点D，
当点B和点C在两侧时，
∵，，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
∴，
当点B和点C在同侧时，
同理可得：，
∴，
综上：的长为2或4，
故选：D．
4.下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．1，3， B．9，16，25 C．2，2，4 D．10，24，25
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：A、∵，
∴三边长为1，3，，可以组成直角三角形，故此选项符合题意；
B、∵，
∴三边长为9，16，25，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴三边长为2，2，4，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴三边长为10，24，25，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选A．
5．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．10，24，26
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，即可判断答案．
【详解】解：A、，不能作为直角三角形的三边长，符合题意；
B、，能作为直角三角形的三边长，不符合题意；
C、，能作为直角三角形的三边长，不符合题意；
D、，能作为直角三角形的三边长，不符合题意；
故选：A．
6．由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和．根据勾股定理的逆定理可以判断A、B、C，根据三角形内角和可以判断D．
【详解】解：由，可得，则，即由线段，，组成的三角形是直角三角形，故选项A不符合题意；
，故选项中的三条线段可以构成直角三角形，故选项B不符合题意；
，故选项中的三条线段可以构成直角三角形，故选项C不符合题意；
，最大的，故选项D中的三角形不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
7.如图，在中，，，是等边三角形，，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理和角所对直角边是斜边的一半，过作于点，则，从而可得出，再根据等边三角形的性质得到，最后用勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】如图，过作于点，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
设，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴
∴，解得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
8．已知，在x轴上找一点P，使得点P到A， B两点的距离相等，则点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，设点P的坐标为，则，，根据点P到A， B两点的距离相等，得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：设点P的坐标为，
∴，，
∵点P到A， B两点的距离相等，
∴，
∴，
解得，
∴点P的坐标为，
故答案为：．
9.已知三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为 度．
【答案】30
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再证明得到，则可证明是等边三角形，得到，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，中，，点D是延长线上一点，且，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为30度，
故答案为：30．
10．在中，的对边分别为a、b﹑c，下列条件中：①；②；③；④．能判断是符合条件的直角三角形的有 个．
【答案】3
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理．根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，逐项判断即可．
【详解】解：①由题意知，，则是符合条件的直角三角形，符合题意；
②由题意知，，则是直角三角形，但不是符合的条件形，故不符合题意；
③由题意知，则是符合条件的直角三角形，符合题意；
④由题意知，则是符合条件的直角三角形，符合题意；
即符合要求的只有3个，
故答案为：3．
11.如图，在等腰中，，点O是的中点，边的长为，将一块边长足够大的三角板的直角顶点放在O点处，将三角板绕点O旋转，始终保持三角板的直角边与相交，交点为点D，另一条直角边与相交，交点为点E，求等腰直角三角形的边被三角板覆盖部分的两条线段与的长度之和．
【答案】10
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理．
连接，根据等腰可求得，再由“三线合一”与“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可求得，，由 ，，得到，从而通过“”证明，得到．在等腰中，根据勾股定理求得，从而．
【详解】连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵在等腰中，点O是的中点，
∴，，
，，
∴，，
∵，
，
∴，
∴，
∴．
∵在等腰中，，，
∴，即，
∴，
∴．
12.如图，在中，，，，点D是外一点，连接，， 且，．
(1)求的长；
(2)求四边形的面积
【答案】(1)5
(2)36
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键．
(1)利用勾股定理直接计算求解即可．
(2) 根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据面积公式计算即可．
【详解】（1）∵，，，
∴，
故得长为5．
（2）∵，，，
且，
∴，
∴四边形面积为：
=．
活动十 拓展练习：
如图，明明在距离河面高度为的岸边C处，用长为的绳子拉点B处的船靠岸，若明明收绳后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？
【答案】向岸A移动了9米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意得到，分别根据勾股定理求出，，即可求出．
【详解】解：由题意得，
在中，，
在中，，
∴．
答：船向岸A移动了9米．
【学习反思】
这节课，你有哪些收获？你还有什么疑惑？
我的收获有：
我的疑惑有：
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【学习目标】
1.知道本章的知识结构，并能用书面形式整理出来.
2.体验勾股定理的探究过程，养成良好的思维习惯.
3.会用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，提高思考、分析、解决问题的能力.
【学习重难点】
重点：勾股定理及其逆定理的内容和应用.
难点：勾股定理发现过程中所体现的重要数学思想.
【学法指导】
通过复习回顾，探究本章的主要内容，理解掌握勾股定理及其逆定理的内容与应用.
【自主学习】
1.什么是勾股定理？
2.什么是勾股定理的逆定理？
3.什么是勾股数？常见的勾股数有哪些？
4.勾股定理及其逆定理的应用有哪些？
【课内探究】
活动一 小组合作：请你整理出本章的知识结构图
活动二 易错题解析
已知是某直角三角形的三边长，若，，则下列关于c的说法中，正确的是（）
A．c的值只能为 B．c的值只能为
C．c的值为或 D．c的值有无限多个
活动三 典例突破1：
如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，如果正方形和正方形的面积分别为和，那么正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
活动四 典例突破2：
葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高为时，这段葛藤的长为 ．
活动五 易错题解析
在中，，，，则最长边上的高为（ ）
A．3 B．4 C． D．
活动六 典例突破3：
下列各组数据是勾股数的一组是（ ）
A．3，4，5 B．0.3，0.4，0.5 C．1，1， D．13，14，15
活动七 典例突破4：
如图，在四边形中，、为对角线，，，，若，的面积为2，则的长为 ．
活动八 典例突破5
如图，在中，，，，是的边上的高，为垂足，且，.
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)求的长.
活动九 达标检测
1.以下三组数中是勾股数的一组是（ ）
A．6，7，8 B．2，3，4 C．，， D．5，12，13
2．如图是一个长方体包装盒，高为，底面是正方形，边长为，现需用绳子装饰，绳子从出发，沿长方体表面绕到处，则绳子的最短长度是（ ）
A． B． C． D．
3.在中，，，，求的长（ ）
A．4 B．2 C．4或6 D．2或4
4.下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．1，3， B．9，16，25 C．2，2，4 D．10，24，25
5．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．10，24，26
6．由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．
7.如图，在中，，，是等边三角形，，则 ．
8．已知，在x轴上找一点P，使得点P到A， B两点的距离相等，则点P的坐标为 ．
9.已知三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为 度．
10．在中，的对边分别为a、b﹑c，下列条件中：①；②；③；④．能判断是符合条件的直角三角形的有 个．
11.如图，在等腰中，，点O是的中点，边的长为，将一块边长足够大的三角板的直角顶点放在O点处，将三角板绕点O旋转，始终保持三角板的直角边与相交，交点为点D，另一条直角边与相交，交点为点E，求等腰直角三角形的边被三角板覆盖部分的两条线段与的长度之和．
12.如图，在中，，，，点D是外一点，连接，， 且，．
(1)求的长；
(2)求四边形的面积
活动十 拓展练习：
如图，明明在距离河面高度为的岸边C处，用长为的绳子拉点B处的船靠岸，若明明收绳后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？
【学习反思】
这节课，你有哪些收获？你还有什么疑惑？
我的收获有：
我的疑惑有：
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