人教版八下第17章勾股定理单元测试卷（含解析）

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第17章勾股定理单元测试卷
时间100分钟 满分120分
姓名 班级 考号
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．4，5，6 B．0.5，1.2，1.3 C．1，2，3 D．5，12，13
2．如图，在中，于点D，平分交于点E，交于点F．，则的长等于（　　）
A．5 B．20 C． D．
3．在直角坐标系中，点A、B坐标分别为和，点C是y轴上一个动点，且A、B、C三点不在同一直线上，当的周长最小时，点C坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，于点．分别以为边向外作正方形，得到较大的三个正方形的面积分别为，那么最小的正方形面积为（）
A．5 B．6 C．7 D．
5．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，为的高，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四边形是边长为的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是（ ）

A． B． C． D．
7．在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上．下列结论：其中正确的有（ ）
①；②；③；④

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④
10．图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在数轴上的点所表示的数为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时到墙底端的距离为米．如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么点将向外移动了（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
二、填空题（每小题3分，共24分）
13．如图，一棵高5米的树被强台风吹斜，与地面形成夹角，之后又被超强台风在点D处吹断，点A 恰好落在边上的点E，若米，则的长是 米．

14．如图是一圆杜玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是 ．
15．如图，一渔船由西往东航行，在点测得海岛位于北偏东的方向，前进40海里到达点，此时，测得海岛位于北偏东的方向，则海岛到航线的距离是 海里．

16．已知一个等腰的底边的长为厘米，腰上有一点，使得厘米，厘米，那么等腰的腰长为 厘米．
17．已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ．
18．如图，长方形恰好被分割成8个完全相同的小正方形，现将外围的交点从1号到12号按顺序进行编号，点、分别在2号、6号和10号交点上，如果按顺时针方向同时移动三点，各点每次只移动到下一个交点，这样绕长方形外围一周回到原先的位置，在这个过程中，有 次成为直角三角形．
19．一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形最短边上的高为 ．
20．如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为 为直角三角形．
三、解答题（共60分）
21．（8分）如图，在中，是边上的高，点是边上一点，且满足，连结，点是的中点．
(1)若，求的长；
(2)若，求证：．
22．（8分）将长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，折叠后，点落在点处，并且点落在边上的处，连接．
(1)求证：
(2)若，求的长．
23．（8分）如图是一块四边形绿地的示意图，其中，米，米，米，米，求绿地的面积．
24．（8分）我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，大正方形由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，，，．

(1)请你利用这个图形，推导勾股定理：．
(2)若直角三角形的面积为，，求小正方形的边长．
25．（10分）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为．

(1)求旗杆在距地面多高处折断（即求的长度）．
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部米处是否有被砸伤的风险？
26．（10分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响．试问：
(1)A城市是否会受到台风影响？请说明理由．
(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级？
27．（8分）如图，圆柱形纸杯高为5cm，底面周长为16cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A处．画出圆柱形纸杯侧面展开图（画一半侧面展开图即可），并求出蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离是多少？（杯壁厚度不计）

第17章勾股定理单元测试卷参考答案
1．D[提示：A、由，该组数不是勾股数，不符合题意；
B、由勾股数定义可知，各数必须是正整数，0.5，1.2，1.3不是勾股数，不符合题意；
C、由，该组数不是勾股数，不符合题意；
D、由，该组数是勾股数，符合题意；
故选：D．]
2．D[提示：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
过点E作于G，
∵平分，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
中，，
，
∴．
故选：D．]
3．D[提示：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，，过点作轴于点，

则，
，
，，
的周长为，
由两点之间线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为，
，
，
，
，
又，
，
，
，
即当的周长最小时，点坐标是，
故选：D．]
4．C[提示：在中，，
，
三个正方形的面积分别为，
，
在及中，由勾股定理可得：
，，
，
，故选：C．]
5．D[提示：由题可得：
，
，
，
解得：，故选：D．]
6．B[提示：设，则：，
连接，，

在中，，
在中，，
∵折叠，
，
，
即，
解得，即，
故选：B．]
7．A[提示：中，，，，所对的边分别为a，b，c，
，
∵，，
∴，
，故A正确．
故选：A．]
8．C[提示∵和都是等腰直角三角形，
∴,
，.
∴.
∴.①正确；
∴，，．
∴；
∵，
∴．
∵，
∴．故②正确；
中，
而
∴；④正确；
∵的顶点A在的斜边上，
∴．
而
∴，故③错误．
故选：C]
9．C[提示：如图所示，
∵正方形的面积为49，
∴，

∵是直角三角形，
∴根据勾股定理得：，故④正确；
∵正方形的面积为4，
∴，
∴，故②错误；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为，
即，故③正确；
由可得，
又∵，
两式相加得：，
整理得：，
，故①错误；
故正确的是③④．
故选：C．]
10．D[提示：∵，，又∵为直角三角形，将长度为的边延长一倍长度为，
∴由勾股定理知，延伸后斜边长为，
又∵四个直角三角形全等，
∴这个风车外围周长为，
故选：．]
11．B[提示：由题意知，半径的长为，
∴，
故选：B．]
12．C[提示：在直角中，已知，
则，
∵
∵在直角中，，且为斜边，
，
故选：C．]
13．[提示：过点D作于点M，如下图所示，

设米，则米，
在中，，
则米，米，
∴米，
在中，由勾股定理知：，即，
解得，即的长是米；
故答案为：．]
14．[提示：如图所示，是直角三角形，
∵底面半径为，高为，
，，
由勾股定理得：，
∴吸管露在杯口外的长度最少为：，
故答案为：5cm．]
15．[提示：根据题意可知，
∴，
∴海里
在中，，
∴
∴海里，
∴，
即
答：海岛到航线的距离是海里，
故答案为：．]
16．/[提示：如图，
由题意可得，，即，
∴
∴，
设个等腰的腰长为厘米，
在中，，
解得.
故答案为：.]
17．（0，0），（，0），（﹣2，0）[提示：∵点P、A、B在x轴上，
∴P、A、B三点不能构成三角形．
设点P的坐标为（m，0）．
当△PAC为直角三角形时，
①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠ACP＝90°时，如图，
∵∠ACP＝90°
∴AC2＋PC2＝AP2，
，
解得，m＝，
∴点P的坐标为（，0）；
当△PBC为直角三角形时，
①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠BCP＝90°时，
∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，
∴PO＝BO＝2，
∴点P的坐标为（﹣2，0）．
综上所述点P的坐标为（0，0），（，0），（﹣2，0）．
]
18．6[提示：共有六次情况成为直角三角形，如图1到图6，
如图1，∵，
∴，
∴是直角三角形，
同理可证其它5个三角形都是直角三角形，即共有6次成为直角三角形，
故答案为：6]
19．8[提示：，
又，，，
，，，
，，，
，
是直角三角形，
这个三角形最短边上的高为
故答案为：]
20．3或2或[提示：作BF⊥AD于F，
则四边形DEBF为矩形，
∴BF=DE=4，DF=BE=1，
∴AF=AD-DF=3，
由勾股定理得，

当△ABC为直角三角形时，
即
解得，CD=3，
如图2，作BH⊥AD于H，
仿照上述作法，当∠ACB=90°时，
由勾股定理得，
由得：
解得：
同理可得：当∠ABC=90°时，
综上：的长为：3或2或．
故答案为：3或2或．]
21．（1）解：是边上的高，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
；
（2）证明：连接，
，点是的中点，
，
，
，
都是等腰三角形，
，
是边上的高，
，
，
都是等腰三角形，
，即点E为的中点，
，
．
22．（1）证明：由题可知：
（2）解：在中
在中，设
在中，
在中
解
23．解：连接．
，米，米．
（米）．
米，米，
，
即，
是直角三角形，且，
（平方米）．
24．（1）证明：由题意知，，
∴；
（2）解：由题意知，，
∴小正方形的边长为，
∴小正方形的边长为3．
25．解：（1）根据题意，，，
∵，
∴，
解得，
故的长度为3米．
（2）根据(1)得，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
且，
∴，
故有危险．
26．（1）解：A城市会受到这次台风的影响，理由如下：
如图1，过点A作于点D，
在中，千米，
∴千米，
∵城市受到的风力超过5级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为：（千米），
∵160千米千米，
∴A城市会受到这次台风的影响．
（2）解：如图2，以A为圆心，200千米为半径作交于E、F，则千米，
∴台风影响该市持续的路程为：，
∴台风影响该市的持续时间（小时）．
（3）解：∵千米，
∴（级），
∴（级），
∴该城市受到这次台风最大风力为级．
27．解：将纸杯沿侧面展开，作关于的对称点，
连接，则即为最短距离，如图所示：
，
，，
在中，由勾股定理得，
，
故蚂蚁从外壁到内壁处的最短距离为．
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