2023-2024学年数学八年级三角形的证明单元测试试题（北师大版）提升卷二含解析

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2023-2024学年数学八年级三角形的证明单元测试（北师大版）提升卷二 含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，在直角梯形中，，，和分别平分和，且点E在上，若，，则的面积为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．80
2．（本题3分）已知等腰三角形的底边和腰的长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
3．（本题3分）下列说法中，正确的是（ ）
A．关于某直线对称的两个图形是全等图形
B．等边三角形的高、中线、角平分线都是它的对称轴
C．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧
D．两个全等三角形一定关于某直线对称
4．（本题3分）如图，，点E在上，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（本题3分）如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为　　
A．40 B．28 C．20 D．10
6．（本题3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，与均为等腰三角形，，连接交于点F，与交于点G，与交于点H，并连接．下列结论：①；②；③；④平分；⑤，正确的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（本题3分）已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点D，以O为圆心，长为半径画弧，交于点C，连接．②以D为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接．则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（本题3分）如图，已知与均是等边三角形，点在同一条直线上，与交于点，与交于点，与交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④，⑤，其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（本题3分）如图，在中，，的角平分线，相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，下列结论：；；；连接，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）如图，在中，，平分于点E．若，，则的长为 ．
12．（本题3分）如图，中，，平分交于点D，且，若，则点D到线段的距离为 ．

13．（本题3分）如图，已知分别是的平分线，过点F且，的周长是，，则的周长是 ．

14．（本题3分）如图，P、两点关于对称，P、两点关于对称，若，，则 ．

15．（本题3分）如图，在中，，是边上的中线，，垂足为E．若，则的度数为 ．
16．（本题3分）如图，，则 ．
17．（本题3分）如图，四边形，对角线交于点E，已知，

（1）若，则 ．
（2）若，则 ．
18．（本题3分）如图，在中，，，点，分别在边，上，则的最小值为 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）已知，在中，，，，，求证：平分．
20．（本题8分）如图，在中，，分别垂直平分和，并分别交于M，N两点，与相交于点F．

(1)若，求的周长．
(2)若，求的度数．
21．（本题8分）如图，在中，，，分别是边，上的中线，，相交于点O．
(1)求证：．
(2)连接，试说明直线是线段的垂直平分线．
22．（本题8分）已知：如图，、的平分线相交于点，过作于，交于，且，，求的周长．
23．（本题10分）如图，在中，，，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作，DE交线段AC于点E．
(1)当时，______，______．
(2)当线段DC的长度为何值时，？请说明理由．
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
24．（本题12分）如图，在中，，为的角平分线．以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F，连接，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
25．（本题12分）在中，和的平分线交于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)当为等边三角形时，求证：；
(3)当不是等边三角形，且时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请加以证明，若不成立，说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．过点E作于点F，根据角平分线的性质得出，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：过点E作于点F，
∵和分别平分和，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
2．C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．根据等腰三角形的定义可知三边长为6，6，5可．
【详解】解：根据题意可知等腰三角形的三边长为6，6，5，
所以这个三角形的周长为．
故选：C．
3．A
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，等边三角形的性质，轴对称的含义与性质，熟记基本性质与概念是解本题的关键，根据以上图形的基本性质与相关概念逐一分析判断即可．
【详解】解：A． 关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形，正确；符合题意；
B． 等边三角形的底边上的高、中线、顶角的平分线所在的直线都是它的对称轴，故不符合题意；
C． 两个图形关于某条直线对称，则这两个图形不一定分别位于这条直线的两侧，如图，

故C错误；不符合题意；
D． 全等的两个三角形不一定成轴对称，如图，

故D错误；不符合题意；
故选A．
4．C
【分析】本题考查了平行线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是知晓“两直线平行，内错角相等”．
根据直角三角形的两个锐角互余、平行线的性质定理即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
5．D
【分析】延长，交于点，可证，得出，，则，当时，最大为20，即最大为10．
本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；利用三角形中线的性质得到是解题的关键．
【详解】解：如图：延长，交于点，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，；
，
，即；
，
，
当时，最大，
即最大．
故选：D．
6．D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，根据，可得，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
7．C
【详解】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．过点A作于点M，于点N，证明，即可判断①③④正确．
【分析】解：过点A作于点M，于点N，
∵
∴
在和中，
∴，故①正确，
∴，
∵
∴
∵
∴，故③正确，
∵
∴
∴
∴，
∴平分，故④正确，
在和中，，
由于无法判断，
故无法判断，故与不一定相等．故②错误．
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角性质，由作图步骤①，可知，利用等边对等角，可得出，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，由作图步骤②，可知，利用等边对等角，可求出的度数，由是的外角，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数，根据作图的步骤，找出是解题的关键．
【详解】由作图步骤①可知：，
∴．
在中，，
∴．
由作图步骤②可知：，
∴．
∵是的外角，
∴，
∴．
故选：B．
9．C
【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、平行线的判定等，解题的关键是找准全等三角形的对应边角．
根据等边三角形的性质可推得，从而可判定①正确；由于条件不足，无法推证②；由得，再由等边三角形各角为及平角为可推得，结合可推证，则，于是是等边三角形，则，因此，③④正确；由可知，则可推得，⑤正确．于是可得出正确的个数是4个．
【详解】解：①由与均是等边三角形可知，，
∴．
又∵，，
∴，
∴，故①正确；
②由于两等边三角形的边长并不确定，点O是与的交点，其位置也不确定，不一定是线段的中点，故②错误；
③由得，
又，
∴，又，
∴
∴，又，
∴是等边三角形．
则，又，
∴，
∴，③正确；
④由是等边三角形可知：，④正确；
⑤∵，
∴，
∵，
∴，
故⑤正确．
综合以上分析可知，正确的选项有①③④⑤，共有4个．
故选：C．
10．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，余角性质，平行线的判定，角平分线的定义与性质，三角形的内角和定理，利用角平分线的定义和三角形的内角和定理，通过计算求得的度数，即可判断正确；利用全等三角形的判定与性质即可得出正确；利用，通过计算和等量代换即可得出正确；利用等腰直角三角形的性质可得，由平行线的判定可得，即可判断正确；根据以上即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：，
，
，是的角平分线，
，，
，
，故正确；
，是的角平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，故正确；
在和中，
，
，
，，
，故正确；
如图，连接，
，，
，
，
，
∴，
∴，故正确；
∴正确结论的个数是个，
故选：．
11．
【分析】本题考查了角平分线的性质，线段的和差，利用角平分线的性质可得，现利用线段的和差即可求解，掌握相关性质是解题的关键．
【详解】解：∵，平分，，
∴，
又∵
在，
故答案为：．
12．6
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，，过点D作于E，根据线段之间的关系得到，再由角平分线上的点到角两边的距离相等得到，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点D作于E，
∵，，
∴，
∵，平分，，
∴，
∴点D到线段的距离为6，
故答案为：6．

13．
【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质和角平分线的定义证明得到，同理得到，再由三角形周长计算公式得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∵的周长是，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，
∴的周长是，
故答案为：．
14．7
【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质求出的两边相等且有一个角是是解题的关键．根据轴对称的性质可得，，，然后求出，再根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形判定，即可得出的长．
【详解】解：如图，连接，

与关于对称，与关于对称，
，，，，
，
，
，
，
是等边三角形．
，
，
故答案为：7
15．/28度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形的三线合一得，从而得，再根据垂直定义可得然后利用等边对等角可得，即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，是边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16．/75度
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形外角的性质．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；利用等腰三角形的两个底角相等结合三角形的外角的性质逐一求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17． 100°/100度 6
【分析】（1）三角形的内角和定理求出的度数，外角的性质，求出的度数，再利用三角形的内角和定理进行求解即可；
（2）延长交于点，先证明是等边三角形，得到，，再证明，得到，进而得到，再根据含度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长，即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）延长交于点，

∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：6．
【点睛】本题考查三角形的综合应用，涉及三角形的内角和，三角形的外角的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形．
18．
【分析】作点关于直线的对称点，连接、、，作于点，由，，求得，，则，所以，由，，且，得，即可得出答案．
【详解】解：作点关于直线的对称点，连接、、，作于点，
∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，且，
∴，
即，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
19．见解析
【分析】本题考查了角平分线的判定定理；作于点E，由三角形的面积得，从而可得，由角平分线的判定定理即可得证；掌握角平分线的判定定理“在角的内部，到角两边距离相等的点，在角的平分线上．”是解题的关键．
【详解】解：如图，作于点E，
又 ，
，
，
，
，
平分．
20．(1)的周长为
(2)
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，，则的周长．
（2）根据等边对等角可得，，根据，求出，根据求出结果即可．
【详解】（1）解：∵，分别垂直平分和，
∴，，
∴的周长；
（2）解：由（1）得，，由，分别垂直平分和，可得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质和整体思想的利用．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等腰三角形的判定与性质．
（1）由“”可证，由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，可证，可得．
（2）根据，，得出、O在线段的垂直平分线上，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵，分别是边，上的中线，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵，，
∴、O在线段的垂直平分线上，
∵两点确定一条直线，
∴直线是线段的垂直平分线．
22．
【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的定义．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明和是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得，，可将的周长转化在为，即可得解．有效的进行线段的等量代换是解题的关键．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴的周长为．
23．(1)，；
(2)当时，，理由见解析；
(3)或，理由见解析．
【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，得到答案；
（2）当时，利用，，得到，即可求证；
（3）分三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：当时， ，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴．
（3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形，
①当时，
；
②当时，
此时，点与点重合，不合题意；
③当时，
综上所述，当的度数为 或时，的形状是等腰三角形．
24．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查等腰三角形的性质，角的平分线，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理
（1）根据，结合，证明：即可．
（2）根据，结合，可得，结合，平分，可得．根据计算即可．
【详解】（1）证明：根据以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，平分，
∴．
∴．
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)成立，理由见解析
【分析】本题考查角平分线性质及判定，内角和定理，全等性质及判定，等边三角形性质．
（1）过点作，，，利用角平分线性质即可得到，，再利用角平分线判定即可得到本题答案；
（2）作于，利用等边三角形性质得，，即可得到本题答案；
（3）设，作于，于，于，利用三角形内角和定理得，再利用全等三角形判定及性质即可得到本题答案．
【详解】（1）证明：过点作，，，垂足分别为，
，
∵在的平分线上，
∴，
∵在的平分线上，
∴，
∴，
∴点在的平分线上，
∴平分；
（2）证明：∵为等边三角形，平分，
∴，同理，
作于，
，
∵平分，，
∴，同理，
∴，
∴；
（3）解：成立，理由如下：
设，作于，于，于，则点在线段上，点在线段上，
，
∵和的平分线，交于点，
∴，
∵，，
∴，
∵，分别平分，，
∴，
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
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