2023-2024学年数学八年级一次函数单元测试试题（京改版）提升卷二含解析

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2023-2024学年数学八年级一次函数（京改版）
单元测试 提升卷二 含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）已知直线，，，若无论x取何值，y总是取，，中的最小值，则y的最大值是（ ）
A． B．3 C． D．2
2．（本题3分）已知一次函数的图象过原点，则m的值为（　　）
A．0 B．2 C． D．
3．（本题3分）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
4．（本题3分）一次函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（本题3分）下列关于一次函数的图像性质说法中，不正确的是（ ）
A．直线与x轴交点的坐标是 B．直线经过第一、二、四象限
C．y随x的增大而减小 D．与两坐标轴围成的三角形面积为4
6．（本题3分）《九章算术》中有这样一道数学题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之．问：几何步及之 ”如图是善行者与不善行者行走的路程S（单位：步）与行走时间t（单位：分）之间的函数图象，则两图象交点P的纵坐标为（ ）
A．200 B．250 C．300 D．350
7．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，．点，点．则点A坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．（本题3分）下面的函数解析式，可以代表下表中数据的是（　　）
x 3 8
y 0 5
A． B． C． D．
9．（本题3分）甲、乙两位同学周末相约去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速前行乙比甲晚出发，并且在中途停留后，按原来速度的一半继续前进．此过程中，甲、乙两人离A地的路程s（）与甲出发的时间t（）之间的关系如图．下列说法：①A，B两地相距；②甲比乙晚到B地；③乙从A地刚出发时的速度为；④乙出发与甲第三次相遇．其中正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴负半轴，轴正半轴分别交于点，，在轴上取点，点是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等边三角形，使得点落在第一象限，连接．若，则的最小值为（ ）
A．6 B． C．8 D．
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）商场开展促销活动．已知某种商品的售价为60元/件，规定凡购买该商品超过5件，则超出的部分按照售价的6折付款．若一位顾客购买了件，需付款y元，则y与x间的关系式是 ．
12．（本题3分）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值随自变量增大而减小”；乙：“函数图象经过点”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是 ．
13．（本题3分）函数的自变量x的取值范围是 ．
14．（本题3分）若第三象限内的点满足，则点P的坐标是 ．
15．（本题3分）一次函数，当时，，则的值是 ．
16．（本题3分）设的最小值为a，最大值为b，其中，则 ．
17．（本题3分）如图，图中的折线反映了圆圆从家到学校所走的路程与时间的函数关系，其中，所在直线的表达式为，所在直线的表达式为，则 ．
18．（本题3分）已知关于x的一次函数与（a，b为常数，且），下列结论：①点在函数图象上；②若，则；③若，则函数一定不经过第二象限；④若函数经过点，则函数一定经过点．其中正确结论的序号是 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
（本题8分）已知一次函数的图象与y轴交点的纵坐标为，且当时，，求这个一次函数的解析式．
20．（本题8分）甲、乙两车早．上从A城车站出发匀速前往B城车站，在整个行程中，两车离开A城的距离s与时间t的对应关系如图所示：
(1)A，B两城之间距离是多少？
(2)求甲、乙两车的速度分别是多少？
(3)从乙车出发后到甲车到达B城车站这一时间段，在何时间点两车相距？
21．（本题10分）甲、乙两车都从A地前往B地，A、B两地相距320km．已知甲车先走后，乙车再出发．开始时，两车行驶的速度相同，中途甲车放缓速度，乙车仍按原速行驶．甲、乙两车离A地的距离与乙车行驶时间的函数关系如图所示．
(1)求段的函数表达式；
(2)当乙车到达B地时，求甲车离B地的距离．
22．（本题10分）早晨，小涛从家中匀速步行上学，6 分钟后，爸爸发现小涛有一个资料袋掉落在家中立即沿小涛上学的路线去追小涛，递交资料袋后又立即以原路、原速返回家中，小涛也以原速继续步行上学(递交资料袋的时间忽略不计）．已知两人与家的距离y(米）与小涛出发的时间x(分钟）之间的函数关系如图所示，请回答下列问题：

(1)小涛的速度为________米/分钟，爸爸的速度为_______米/分钟，
图中点C的坐标为___________，点D的坐标为_____________；
(2)解释图中点 B的实际意义：_____________________________；
(3)当小涛和爸爸相距80 米时，求小涛出发的时间．
23．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，经过点的直线与轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)点是线段上一动点，若直线把的面积分成：的两部分，请求点的坐标；
(3)直线上有一个点，过作轴的垂线交直线于点，当时，求出点的坐标．
24．（本题10分）已知坐标平面上的三个点，，，，且满足．
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)求的面积，如图1，若直线以每秒2个单位的速度向左移，经过多长时间，该直线经过点C．
(3)如图2，，的角平分线与的补角的角平分线交于点E，求的度数．
25．（本题10分）如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点．

(1)求直线的解析式；
(2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分；
(3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】此题主要考查了一次函数与一次不等式的综合应用，根据题意可得y所表示的函数图象为图象在点A下方的那部分函数图象包含点A，线段，以及在点B下方的函数图象（包含）点B，据此联立函数解析式求出点A和点B的坐标即可得到答案．
【详解】解：联立，解得，
∴，
联立，解得，
∴，
∵无论x取何值，y总是取，，中的最小值，
∴y所表示的函数图象为图象在点A下方的那部分函数图象包含点A，线段，以及在点B下方的函数图象（包含）点B，
∴y的最大值是2，
故选：D．
2．B
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数中，当时函数图象经过原点是解答此题的关键．先根据一次函数的图象经过原点得出关于m的不等式组，求出m的值即可．
【详解】解：∵一次函数的图象经过原点，
∴，
解得：．
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0是解题的关键．根据被开方数大于等于0和分式的分母不等于0的条件可得且，求解不等式组，即可得出答案．
【详解】解：由题意得：且，
解得：且，
故选：C．
4．D
【分析】本题考查判断一次函数经过的象限，根据一次函数的性质，分和，判断出图象所经过的象限即可．
【详解】解：∵，
∴当，图象经过一、二、三象限，当时，图象经过二、三、四象限，
∴符合题意的是选项D．
故选D．
5．A
【分析】根据题意由题目中的函数解析式利用一次函数图象的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：A、直线与 x 轴交点的坐标是，故符合题意；
B、一次函数的图象中，，故直线经过第一、二、四象限，故不符合题意；
C.、一次函数的图象中 ，有y 随 x 的增大而减小，故不符合题意；
D、由一次函数 可知与坐标轴的交点坐标分别为和，∴与坐标轴围成的三角形面积为4，故不符合题意；
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意求出一次函数关系式是解题的关键．根据题意I去除善行者和不善行者的函数关系式，再联立求两个一次函数交点坐标即可．
【详解】解：设点A、B的坐标为：，
则直线的表达式为：t①，
设直线的表达式为：，
将点B的坐标代入上式得：，
解得：，
则直线的表达式为：②，
联立①②得：，
解得：，两图象交点P的纵坐标为250，
故选：B
7．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．过C作直线轴，过B作于E，过A作于D，于是得到，得到，根据全等三角形的性质得到，根据点，点，得到，于是得到结论．
【详解】解：过C作直线轴，过B作于E，过A作于D，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵点，点，
∴，
∴．
故选：D．
8．B
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据给定数据，利用待定系数法求出一次函数表达式是解题的关键．
【详解】解：设一次函数的解析式为．
将，代入得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为．
故选：B．
9．D
【分析】本题考查一次函数的实际应用，以及分式方程的实际应用，根据函数与图象中的信息，结合时间、路程、速度三者之间的关系和追击问题的等量关系，对上述说法一一分析，即可解题．
【详解】解：由图知甲、乙两位同学最终停下来时，离A地的路程s（）最大为，
①正确，
由图知乙到B地时，甲到B地时，（），
②正确，
乙比甲晚出发，并且在中途停留后，按原来速度的一半继续前进．
设乙从A地刚出发时的速度为，则停留后的速度为，
由图知乙在中途停留前已走，则停留后行驶路程为（），总的行驶时间为（），
有，解得，
乙从A地刚出发时的速度为（），
③正确，
根据图象可知，甲的速度为
乙在途中停留后，二者第三次相遇， 乙中途停留前运动时间为
乙的第二个拐点时间为（），
由图知第三次相遇在第二个拐点之后，即第三次相遇时间大于第二个拐点时间，
设乙继续前进t小时后二者相遇， 根据题意得：
解得
故第三次相遇为乙出发后
④正确．
综上所述，正确的有①②③④，共4个．
故选：D．
10．B
【分析】在直线上取点M，使，连接，过点M作轴于点G，连接并延长，交y轴于点E，证明，得出，证明轴，说明点F在过点M且平行于x轴的直线上，作点O关于的对称点N，连接，交于点H，连接，说明当点F在点H处时，最小，且最小值为，求出最小值即可．
【详解】解：在直线上取点M，使，连接，过点M作轴于点G，连接并延长，交y轴于点E，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即轴，
∴点F在过点M且平行于x轴的直线上，
∴轴，
∴，
作点O关于的对称点N，连接，交于点H，连接，
则，，
∴，
∴，
∵两点之间相等最短，
∴当点F在点H处时，最小，且最小值为，
根据勾股定理得：，
即最小值为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，找出使最小时，点F的位置．
11．
【分析】本题考查了列函数关系式，理解题意是解题的关键．根据题意，付款金额等于5件的全额费用加上超出部分的六折的费用，即可求解．
【详解】解：依题意，，
；
故答案为：
12．（答案不唯一）
【分析】本题考查一次函数的图象和性质．根据题意的要求，结合常见的函数，写出函数解析式即可．
【详解】函数值随自变量增大而减小，且该函数图象经过点，
该函数为一次函数．
设一次函数的表达式为，则，．
取，此时一次函数的表达式为．
故答案为：答案不唯一．
13．/
【分析】本题考查求函数的自变量的取值范围，分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数非负，分式的分母不为0．
【详解】解：由题意可得，且，
解得：，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了求一个数的立方根，算术平方根，各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．先求的值，再根据各象限内点的坐标的符号特征，可得答案．
【详解】解：∵为第三象限内的点，
∴，
∵，
∴，
∴点P的坐标为．
故答案为：．
15．2或
【分析】本题考查了一次函数的性质以及待定系数法求一次函数解析式，分两种情况考虑，根据一次函数的性质找出点的坐标，利用待定系数法求出k、b值，再将其代入
【详解】当时，y值随x值的增大而增大，
∴，
解得：，
∴；
当时，y值随x值的增大减小，
∴，
解得：，
∴．
综上所述，的值为2或．
故答案为：2或．
16．7
【分析】设，把x的取值分为和，先根据绝对值的性质化简代数式，再根据一次函数的增减性求出其最大值和最小值，最后把两种情况综合起来，确定a和b的值．
此题主要考查了绝对值的性质，分两段确定代数式的最大值和最小值是解答此题的关键．
【详解】设，
当时，
，
，
，
此时y随x的增大而增大，
∴当时，，
当时，；
当时，
，
，
，
此时y随x的增大而减小，
当时，，
当时，，
综上，，，
，
故答案为：7．
17．50
【分析】本题了求一次函数解析式．先利用待定系数法求得、的值，再求值即可．
【详解】解：把代入得：；
把，代入得：
，
解得，
∴．
故答案为：50．
18．①②③④
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质．熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征，两直线交点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的图象位置与系数符号的关系，是解决本题的关键．
①将点代入即可判断；
②根据列不等式，结合解不等式即可；
③若，根据，得到，，可判断一次函数的图象的位置；
④将点代入，可得，将代入，得到，再判断其是否经过即可．
【详解】将代入，
得，，
∴点在函数图象上，
故①正确；
∵，
∴，
若，则，
解得，
故②正确；
若，
又，
∴，，
∴的图象过一、三、四象限，
∴函数一定不经过第二象限，
故③正确；
将代入，
得，，
∴，
∴，
当时，，
∴一定经过点，
故④正确．
故答案为：①②③④．
19．
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式．利用待定系数法解答，即可求解．
【详解】解：∵一次函数的图象与y轴交点的纵坐标为，且当时，，
∴，
解得：．
∴一次函数的解析式是．
20．(1)300千米
(2)甲、乙两车的速度分别是60千米小时和100千米小时
(3)分别在上午，，这三个时间点两车相距40千米
【分析】本题考查一次函数的应用、行程问题等知识，解题的关键是学会利用函数解决实际问题，学会转化的思想，把问题转化为方程，属于中考常考题型．
（1）根据图象即可得出结论；
（2）根据图象求甲、车两车速度；
（3）分两车相遇前和相遇后以及乙到达城四种情况进行讨论即可．
【详解】（1）由图象可知、两城之间距离是300千米；
答：，两城之间距离是300千米；
（2）由图象可知，甲的速度（千米小时），
乙的速度（千米小时），
答：甲、乙两车的速度分别是60千米小时和100千米小时；
（3）设乙车出发后到甲车到达B城车站这一段时间内，甲车与乙车相距40千米时甲车行驶了m小时，
①当甲车在乙车前时，
得：，
解得：，
此时是上午；
②当甲车在乙车后面时，
，
解得：，
此时是上午；
③当乙车到达城后，
，
解得：，
此时是上午．
答：分别在上午，，这三个时间点两车相距40千米．
21．(1)；
(2)当乙车到达B地时，甲车离B地的距离为．
【分析】本题考查了一次函数的应用．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得开始时，甲车的速度，即乙车的速度，再求得乙车走完全程所用的时间，据此求解即可．
【详解】（1）解：设段的函数表达式为，
把，代入得，
解得，
∴段的函数表达式为；
（2）解：由题意得，开始时，甲车2小时走了，
则开始时，甲车的速度为，
∴乙车的速度为，
∴乙车走完全程所用的时间为，
当时，，
，
答：当乙车到达B地时，甲车离B地的距离为．
22．(1)60，180，，
(2)小涛出发9分钟时，爸爸在距家540米处追上小涛
(3)当小涛和爸爸相距80米时，小涛出发的时间为分钟或分钟或分钟
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
（1）由函数图象即可得出结论；
（2）由实际意义得出结论；
（3）分三种情况，由路程、速度、时间之间的关系进行讨论即可．
【详解】（1）由图象知：
小涛的速度为；
爸爸的速度为；
点的坐标为，点的坐标为，
故答案为：60，180，，；
（2）由（1）知，小涛出发9分钟时，爸爸在距家540米处追上小涛，
故答案为：小涛出发9分钟时，爸爸在距家540米处追上小涛；
（3）设当小涛和爸爸相距80米时，小涛出发的时间为xmin，
①爸爸没有出发时，，
解得；
②爸爸出发后，，
解得；
③追上后：，
解得，
答；当小涛和爸爸相距80 米时，小涛出发的时间为分钟或分钟或分钟．
23．(1)直线的解析式为
(2)点的坐标为或
(3)或
【分析】本题考查了求直线与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，点在函数图像上的坐标特点，注意分类讨论．
（1）首先求出A、C两点的坐标，再用待定系数法即可求解；
（2）求出的面积；设，，分两种情况考虑：当：：时；②当：：时；由面积关系求出m的值，即可求得点G的坐标；
（3）设，则，从而求得，由即可求得n的值，从而得到点P的坐标．
【详解】（1）解：在中，令，得；令，得；
∴，，
点．
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为；
（2）解：，，．
，
，
设，，
当：：时，即，
，
，
；
②当：：时，即，
，
，
．
综上，点的坐标为或；
（3）解：设，则，
，
，
，
或，
或．
24．(1)，，
(2)；若直线以每秒2个单位的速度向左移，经过秒，该直线经过点C
(3)
【分析】（1）根据非负数的性质，求出a、b的值，即可求出三个点的坐标；
（2）求出直线的解析式：，求出直线与x轴的交点坐标，得出，再求出；
（3）延长交的延长线于H，点P为y轴上A点上方的一点，设，，交x轴于F，根据平行线的性质得出，，根据，求出，根据求出结果即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，．
∴，，．
（2）解：设的关系式：，
把，，代入得
，
解得：．
∴直线的解析式：，
令，则，
解得：，
∴直线与x轴的交点坐标，
，
直线以每秒2个单位的速度向左移的时间：（秒）．
．
（3）解：延长交的延长线于H，点P为y轴上A点上方的一点，
设，，交x轴于F，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了一次函数的几何应用，非负数的性质，求一次函数解析式，平行线的性质，三角形外角的性质，平移的性质，三角形的面积计算，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线．
25．(1)直线的解析式为；
(2)当点C运动到或的位置时，的面积被直线分成1：2的两部分
(3)存在，点的坐标为或或．
【分析】（1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为；
（2）可得的面积，当时，，可得，，即得，当时，同理可得；
（3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可．
【详解】（1）解：在中，令得，
，，
，
，
，
把代入得：
，解得，
直线的解析式为；
（2）解：，，
的面积，
当时，如图：

此时，
，即，
，
在中令，得，
∴，
当时，如图：

此时，
，即，
，
在中令，得，
∴，
综上所述，当点C运动到或的位置时，的面积被直线分成1：2的两部分；
（3）解：存在点，使与全等，
在中，，，
，
①若，过作交轴于，过作于，如图：

，，
，，
设，则，，，
而，
，
解得或，
当时，，此时，符合题意，
当时，，此时，不符合题意，舍去，
∴，
同理可知，时，
，，，
，
同理可得，
②若时，如图：

，，
，
在中，令得，
，
此时，，符合题意，
，
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题．
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