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微专题03 奔驰定理与三角形的“四心”
题型一：奔驰定理与三角形面积比例问题
题型二：奔驰定理与三角形“四心”关系
题型三：三角形的重心
题型四：三角形的外心
题型五：三角形的内心
题型六：三角形的垂心
1.奔驰定理
对于内一点，记，，，则
.
因该定理图案形似奔驰车标，所以起名“奔驰定理”.
证明：延长交于点，
容易得到，且，
代入化简得，
同理，
，
所以
即得证.
2.奔驰定理与三角形“四心”的关系
(1)重心：三角形中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
当点是三角形的重心时，容易得到，
代入奔驰定理化简得到， .
(2)外心：三角形边的中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
当点是三角形的外心时，由圆的性质可得，，
由面积公式，，
所以
(3)内心：三角形角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
当点是三角形的内心时，由圆的性质可得,
由面积公式，，
所以，
又根据正弦定理，
所以也可以写成.
(4)垂心：三角形高线的交点，高线与对应边垂直．
当点是三角形的垂心时，根据图形，可知，
所以
同理可得，所以
代入奔驰定理，即得：
．
3.三角形重心的向量表示
（1）；
（2）；
（3）动点满足，，则的轨迹一定通过的重心
（4）动点满足，，则动点的轨迹一定通过△ABC的重心
（5）重心坐标为：.
4.三角形外心的向量表示
（1）；
（2）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心；
（3）若，则是的外心；
（4）；
（5）.
5.三角形内心的向量表示
（1）
（2）
（3）动点满足，则的轨迹一定通过△ABC的内心
（4）
6.三角形垂心的向量表示
（1）
（2）
（3）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心
（4）
（5）.
题型一：奔驰定理
【例1】已知点是所在平面内一点，满足， ，则_______
【答案】
【解析】（法1）：由结论推广可得，，所以
（法2）：由可得，设AB，BC中点分别是D,E，得，所以点P在中位线上，且，所以
【变式1】已知点是所在平面内一点，满足，则与面积之比是
【解析】（法1）：由得，，即，由结论推广得
（法2）：由得，，即，化简得，由，得，设AB中点为D，则，所以点P在的中位线上，所以
【变式2】设为所在平面上一点，且满足．若的面积为8，则的面积为___________．
【答案】14
【解析】法一：共线系数和＋分点恒等式+等积变形
，设H为线段AC上一点，且，
则，
∵PD∥AB，∴
法二：奔驰定理推论：是平面内的一点，且，则
① ； ②
∵，
∴
【变式3】已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理,又，，，所以得,因为,所以.
设可得则是的重心，，利用,,所以,所以,同理可得,.所以与的面积之比为即为.
【变式4】已知是三角形内部一点，且，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设，∵，∴，设与交于点，则平分，∴，是中点，
∴．比值为．
故选：C．
【变式5】若点是所在平面内的一点，点是边靠近的三等分点，且满足，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】是所在平面内一点，连接，，延长至使，
∵，∴，
连接，则四边形是平行四边形，向量和向量平行且模相等，
由于，所以，又，所以，
在平行四边形中，，则与的面积比为，
故选：C.
【变式6】平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】由得，
由得，
根据平面向量基本定理可得，，
所以，，
延长交于，延长交于，
则，又，所以，
所以为的平分线，
同理可得是的平分线，
所以为的内心.
题型二：奔驰定理与三角形四心的关系
【例1】（多选题）（2024·高一单元测试）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（ ）
A．若是的重心，则有
B．若，则是的内心
C．若，则
D．若是的外心，且，则
【答案】ABD
【解析】对于A，是的重心，则,
代入就得到,正确；
对于B，设点P到边的距离分别为，
由得，，即，与已知条件比较知，，则是的内心，正确；
对于，即，
与比较得到，，错误；
对于D，是的外心，且，则，设三角形外接圆半径为R，
所以，
代入奔驰定理即可得到，正确，
故选：ABD.
【变式1】如图，已知是的垂心，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，
则，，
因此，，同理，
于是得，
又，即，由“奔驰定理”有，
则，而与不共线，有，，即，
所以.
故选：A
【变式2】在面上有及内一点满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的 心.
【答案】内
【解析】，，
，
，
，分别是，方向上的单位向量，
向量平分，即平分，同理平分，
为的内心，
故答案为：内
【变式3】如图，已知是的垂心，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵是的垂心，延长交与点，
∴
，
同理可得，∴：，
又，
∴，
又，
∴，
不妨设，其中，
∵，
∴，解得或，
当时，此时，则都是钝角，则，矛盾.
故，则，∴是锐角，，
于是，解得.
故选：A.
【变式4】奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图，因为，
所以，同理，，
所以为的垂心。
因为四边形的对角互补，所以，
．
同理，，
，
．
，
．
又
．
由奔驰定理得.
故选C．
题型三、三角形的重心
【例1】若所在平面内一点P满足，则P是的（ ）．
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】C
【解析】设中点为D，
由可得，
即点共线，且，则P为的重心.
故选：C
【变式1】O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心
【答案】D
【解析】由题设，
而所在直线过中点，即与边上的中线重合，且，
所以P的轨迹一定通过的重心.
故选：D
【变式2】O是△ABC所在平面内一点，动点P满足，
，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心
【答案】D
【解析】，h为BC边上的高
∴.
∴点P在三角形的中线上，所以点P的轨迹一定通过三角形的重心.
【变式3】若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足， ，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（ ）
A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心
C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心
【答案】B
【解析】，变形得到，
其中分别代表方向上的单位向量，
故所在直线一定为的平分线，
故直线AP一定经过的内心，
，即点到三个顶点相等，故点是的外心，
因为，所以，
如图，取的中点，连接，
则，所以，
故三点共线，且，
所以是的重心，
由可得，
故，同理可得，
故为三条高的交点，为的垂心.
故选：B
【变式4】（多选题）点为△所在平面内一点，则（ ）
A．若，则点为△的重心
B．若，则点为△的垂心
C．若．则点为△的垂心
D．在中，设，那么动点的轨迹必通过△的外心
【答案】AD
【解析】A．由于，其中为的中点，可知为边上中线的三等分点（靠近线段），故为△的重心；选项A正确.
B．向量，，分别表示在边和上取单位向量和，它们的差是向量，当，即时，则点在的平分线上，同理由，知点在的平分线上，故为△的内心；选项B错误.
C．是以，为边的平行四边形的一条对角线的长，而是该平行四边形的另一条对角线的长，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，故为△的外心．选项C错误.
对于D，设是的中点，，
即，所以，
所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过△的外心.选项D正确.
故选：AD.
【例2】已知是的重心，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】连接并延长交于，如图，
因为是的重心，则是的中点，
所以
，
又，所以，，
所以.
故选：B.
【变式1】如图，在中，中线AD、BE、CF相交于点G，点G称为的重心，那么是（ ）
A．3∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶3
【答案】B
【解析】因为为的中线，所以，
设，则，
故，所以，
因为，所以，
因为三点共线，可设，则，
故，
故，相加得，
解得，故.
故选：B
【变式2】已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则与面积比为（ ）
A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:2
【答案】B
【解析】如图所示
是的重心，
,
,
,
,
，即，
点为的中点，即点为边中线的两个三等分点，
，
，
故选：B.
【变式3】记的内角的对边分别为，若O为的重心，，则 .
【答案】
【解析】连接AO，延长AO交BC于D，由题意得D为BC的中点，，所以，.因为，
所以，得.
故.
故答案为:.
【例3】已知G为△ABC的重心（三条中线的交点），，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取的中点为，连接，如下图所示：
因为G为△ABC的重心，所以，
因为，，
所以，
所以，
又，当且仅当时取等号；
所以的最小值为.
故选:C.
【变式1】如图，经过的重心G的直线与分别交于点，，设，，则的值为 ．
【答案】3
【解析】设，由题意知，
，
由P，G，Q三点共线，得存在实数使得，
即，
从而消去，得．
故答案为：3
【变式2】在中，过重心的直线交边于点，交边于点（、为不同两点），且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由是的重心，得到，再由三点共线，得到，结合题意，得出方程组求得，结合基本不等式，即可求得的最小值.
【详解】如图所示，设边上的中点为，因为是的重心，可得，
根据向量的线性运算法则，可得，
又因为三点共线，可得，即，
可得，
因为，可得，
所以，整理得，即，其中，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
题型四、三角形的外心
【例1】在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以，
设的中点为，则，则，
所以，所以点P在线段AB的中垂线上，故点P的轨迹过的外心.
故选：A
【变式1】已知是所在平面上一点，若，则是的( )．
A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心
【答案】C
【解析】，根据外心的性质，所以则是的外心，故选C.
【变式2】是所在平面上一点，若，则是的( )．
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】B
【解析】记AB中点为D，，点O在线段AB的中垂线上
其它同理，点O也在其他边的中垂线上，所以点O是的外心.
【变式3】已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定经过的 ．(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）
【答案】外心
【解析】如图所示：为中点，连接，
，
，故，
即，故的轨迹一定经过的外心.
故答案为：外心
【变式4】（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则
B．在中，若O点满足，则O点是的重心
C．若，把右平移2个单位，得到的向量的坐标为
D．在中，若，则P点的轨迹经过的内心
【答案】BD
【解析】对于A，依题意如图，
但，故选项A错误；
对于B，设的中点为，由于，即，
所以，所以O点是的重心，故选项B正确；
对于C，向量平移后不改变方向和模，为相等向量，故选项C错误；
对于D，根据向量加法的几何意义知，以和为邻边的平行四边形为菱形，
点P在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角，
故P点的轨迹经过的内心，故选项D正确.
故选：BD
【例2】已知点O是△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则 ．
【答案】5
【解析】如图所示，
取AB的中点E，连接OE，
因为为△ABC的外心，则，
所以，
同理： ，
所以.
故答案为：5.
【变式1】已知中，，，，为的外心，若，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，为的外心，设外接圆半径为，
在圆中，过作，，垂足分别为，，
则，分别为，的中点，
因为，两边乘以，即，
的夹角为，而，
则，得①，
同理两边乘，即，，
则，得②，
①②联立解得，，
所以．
故选：C．
【变式2】已知O是△ABC的外心，AB=6，AC=10，若，且，则△ABC的面积为______.
【答案】
【解析】
代入，得
代入，得
故面积为
【补充】若去掉条件，则需要考虑外心在AC上的情况，此时△ABC为Rt△，面积为24
【变式3】已知点O是△ABC的外心，若，则cos∠BAC=__________.
【答案】
【解析】——构造方程组
解得（负值已舍去）
题型五、三角形的内心
【例1】已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B .
【解析】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
则的方向与的角平分线一致，
由，可得，
即，
所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，
故点P的轨迹一定经过的内心.
【变式1】已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】C
【解析】因为
，
根据平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上，
而向量与共线，
点的轨迹过的内心.
故选：．
【变式2】（多选题）点O在所在的平面内，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则点O为的垂心
B．若，则点O为 的外心
C．若，则1
D．若且，则点O是的内心
【答案】ACD
【解析】对A：如图所示， ，
则，，，
，
为的垂心，A正确；
对B：如图，取的中点，连接，由，则，
，，三点共线，又是的中线，且，
为的重心，B错误；
对C：如图：，分别是，的中点，
由，，，
，，，
则，，，
则，C正确；
对D：如图，
，，
，，即为的平分线，
同理由得，即为的平分线，
为的内心，D正确．
故选：ACD
【例2】已知点O是的内心，，，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】连接并延长交于点，连接，则由角平分线定理得到的长度关系，再由平面向量基本定理，利用三点共线，得到关系式，比较系数可得答案.
【详解】连接并延长交于点，连接，
因为O是的内心，所以为的平分线，
所以根据角平分线定理可得，
所以,
因为三点共线，所以设，
则，
因为，
所以，
故选：D
【变式1】设为的内心，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取的中点，连，
因为，，所以，，
所以的内心在线段上，为内切圆的半径，
因为，
所以，
所以，得，
所以，
所以，
又，所以，
又已知，所以，
所以.
故选：B.
【变式2】已知在中，，，设是的内心，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】以的中点为坐标原点，建立如下图所示的坐标系，由内切圆的性质得出，再由得出.
【详解】以的中点为坐标原点，建立如下图所示的坐标系：
设的内切圆的半径为，则，解得
故，则
因为，所以，即，解得，故.
故选：C
【变式3】已知为的内心，且满足，若内切圆半径为2，则其外接圆半径的大小为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【分析】在中，取边的中点，连接，
则，而，有，因此点共线，
由为的内心，得平分，即有，
因此，，有，，令内切圆与边切于点，连接，
则，，，
，，
在中，，
令外接圆半径为，由正弦定理得.
故选：A
【变式4】设I为的内心，若，，，则
【答案】
【解析】解法1：不难发现，是以B为直角顶点的直角三角形，如图，设圆I与 分别相切于点D E F，设圆I的半径为r，则，显然四边形是正方形，所以，从而，，易证，，所以，，故，从而，，
.
故答案为: .
解法2：按解法1求得的内切圆半径，由图可知在上的投影即为，
所以.
故答案为: .
【例3】在△ABC中，，若O为内心，且满足，则x+y的最大值为 ．
【答案】
【解析】延长AO交BC于D，设BC与圆O相切于点E，AC与圆O相切于点F，则OE＝OF，则，
设，
因为B、C、D三点共线，
所以，即
，
因为，，所以，
所以．
故答案是：
题型六、三角形的垂心
【例1】若是内一点，且，则为的（ ）
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
【答案】A
【解析】因为，
所以，
即，
则，，
即是三条高线的交点，为的垂心.
故选：A.
【变式1】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的( )．
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】D
【解析】原式为
等式两边同时乘，得
，∴
【变式2】若为所在平面内一点，且
则点是的( )
A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心
【答案】A
【解析】
得,即，同理可得
【例2】已知的垂心为点，面积为15，且，则 ；若，则 .
【答案】30 25
【解析】如图，
是的边上的高，则；设，
因为，面积为15，所以，即；
.
由第一空可知，所以；
所以，由可得，即；
因为，
所以；
故答案为：30 25.
【变式1】若为的垂心，，则＝ ， ．
【答案】 或
【解析】因为，所以，
设为的中点，为的中点，则，，
所以，
所以为的中位线，且，所以为的中点，所以，
又，，所以，所以，
所以，
同理可得，
所以，，
又为的垂心，，
设，，则，，
所以，即，所以，则
所以，所以，
故答案为：；
【变式2】已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则 .
【答案】/
【解析】因为，
所以，同理，
由H为△ABC的垂心，得，即，
可知，即，
同理有，即，可知，即，
所以， ，又，
所以．
【变式3】已知H为的垂心，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依题意，，同理．
由H为△ABC的垂心，得，即，
可知，即．同理有，
即，可知，
即，解得，
，又，
所以．
故选：C．
【变式4】在中，AB＝5，AC＝6，D是BC的中点，H是的垂心，则 .
【答案】
【解析】因为H是的垂心，可得，所以.
又因为D是BC的中点，可得AD是中线，所以.
从而
.
故答案为：
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微专题03 奔驰定理与三角形的“四心”
题型一：奔驰定理与三角形面积比例问题
题型二：奔驰定理与三角形“四心”关系
题型三：三角形的重心
题型四：三角形的外心
题型五：三角形的内心
题型六：三角形的垂心
1.奔驰定理
对于内一点，记，，，则
.
因该定理图案形似奔驰车标，所以起名“奔驰定理”.
证明：延长交于点，
容易得到，且，
代入化简得，
同理，
，
所以
即得证.
2.奔驰定理与三角形“四心”的关系
(1)重心：三角形中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
当点是三角形的重心时，容易得到，
代入奔驰定理化简得到， .
(2)外心：三角形边的中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
当点是三角形的外心时，由圆的性质可得，，
由面积公式，，
所以
(3)内心：三角形角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
当点是三角形的内心时，由圆的性质可得,
由面积公式，，
所以，
又根据正弦定理，
所以也可以写成.
(4)垂心：三角形高线的交点，高线与对应边垂直．
当点是三角形的垂心时，根据图形，可知，
所以
同理可得，所以
代入奔驰定理，即得：
．
3.三角形重心的向量表示
（1）；
（2）；
（3）动点满足，，则的轨迹一定通过的重心
（4）动点满足，，则动点的轨迹一定通过△ABC的重心
（5）重心坐标为：.
4.三角形外心的向量表示
（1）；
（2）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心；
（3）若，则是的外心；
（4）；
（5）.
5.三角形内心的向量表示
（1）
（2）
（3）动点满足，则的轨迹一定通过△ABC的内心
（4）
6.三角形垂心的向量表示
（1）
（2）
（3）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心
（4）
（5）.
题型一：奔驰定理
【例1】已知点是所在平面内一点，满足， ，则_______
【变式1】已知点是所在平面内一点，满足，则与面积之比是
【变式2】设为所在平面上一点，且满足．若的面积为8，则的面积为___________．
【变式3】已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式4】已知是三角形内部一点，且，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式5】若点是所在平面内的一点，点是边靠近的三等分点，且满足，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【变式6】平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
题型二：奔驰定理与三角形四心的关系
【例1】（多选题）（2024·高一单元测试）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（ ）
A．若是的重心，则有
B．若，则是的内心
C．若，则
D．若是的外心，且，则
【变式1】如图，已知是的垂心，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】在面上有及内一点满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的 心.
【变式3】如图，已知是的垂心，且，则( )
A． B． C． D．
【变式4】奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三、三角形的重心
【例1】若所在平面内一点P满足，则P是的（ ）．
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【变式1】O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心
【变式2】O是△ABC所在平面内一点，动点P满足，
，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心
【变式3】若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足， ，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（ ）
A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心
C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心
【变式4】（多选题）点为△所在平面内一点，则（ ）
A．若，则点为△的重心
B．若，则点为△的垂心
C．若．则点为△的垂心
D．在中，设，那么动点的轨迹必通过△的外心
【例2】已知是的重心，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【变式1】如图，在中，中线AD、BE、CF相交于点G，点G称为的重心，那么是（ ）
A．3∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶3
【变式2】已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则与面积比为（ ）
A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:2
【变式3】记的内角的对边分别为，若O为的重心，，则 .
【例3】已知G为△ABC的重心（三条中线的交点），，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，经过的重心G的直线与分别交于点，，设，，则的值为 ．
【变式2】在中，过重心的直线交边于点，交边于点（、为不同两点），且，则的最小值为 .
题型四、三角形的外心
【例1】在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【变式1】已知是所在平面上一点，若，则是的( )．
A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心
【变式2】是所在平面上一点，若，则是的( )．
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【变式3】已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定经过的 ．(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）
【变式4】（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则
B．在中，若O点满足，则O点是的重心
C．若，把右平移2个单位，得到的向量的坐标为
D．在中，若，则P点的轨迹经过的内心
【例2】已知点O是△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则 ．
【变式1】已知中，，，，为的外心，若，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式2】已知O是△ABC的外心，AB=6，AC=10，若，且，则△ABC的面积为______.
【变式3】已知点O是△ABC的外心，若，则cos∠BAC=__________.
题型五、三角形的内心
【例1】已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【变式1】已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【变式2】（多选题）点O在所在的平面内，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则点O为的垂心
B．若，则点O为 的外心
C．若，则1
D．若且，则点O是的内心
【例2】已知点O是的内心，，，则（ ）
A． B． C．2 D．
【变式1】设为的内心，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知在中，，，设是的内心，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知为的内心，且满足，若内切圆半径为2，则其外接圆半径的大小为（ ）
A． B．3 C． D．4
【变式4】设I为的内心，若，，，则
【例3】在△ABC中，，若O为内心，且满足，则x+y的最大值为 ．
题型六、三角形的垂心
【例1】若是内一点，且，则为的（ ）
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
【变式1】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的( )．
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【变式2】若为所在平面内一点，且
则点是的( )
A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心
【例2】已知的垂心为点，面积为15，且，则 ；若，则 .
【变式1】若为的垂心，，则＝ ， ．
【变式2】已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则 .
【变式3】已知H为的垂心，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式4】在中，AB＝5，AC＝6，D是BC的中点，H是的垂心，则 .
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