2015年沪科版数学九年级上册单元梯度检测精品卷：（六）第22章相似形单元梯度检测C卷

（六）第22章相似形单元梯度检测C卷
（满分：150分 时间：120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1.已知：在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且a︰b︰c＝3︰4︰5，BC、AC、AB边上的高分别为ha、hb、hc，则ha︰hb︰hc＝…………………………………………【 】
A. 3︰4︰5 B. 5︰4︰3 C. 20︰15︰12 D. 25︰16︰9
2.如图，AE∥CF∥DG，AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，若EG＝12，则BF的长为………【 】
A.3 B.4 C.3.5 D.4.5
3.如图，是一束平行的光线从窗户射入教室的平面示意图，光线与地面所成的角（即∠ABE）为30°，窗户在教室地面的影长BD为2m，若窗户的上檐到教室地面的距离AE为3m，则窗户的下檐到教室地面的距离CE的长为………………………【 】
A.1m B. 1.1m C. 1.2m D. 1.3m

4.如图，在△ABC中，CA＝6，CB＝9，点D在AC上，AD＝4，点E在CB上，连接DE，若△CDE与△ABC相似，则CE的长为…………………………………………【 】
A.3 B.3或 C. D.或
5.如图，在□ABCD中，E是CD的延长线上一点，连接BE，交AD于点F，则下列结论不正确的是…………………………………………………………………………【 】
A.∠ABF＝∠DEF B. ＝
C.＝ D.＝
6.如图，△ABC为正三角形，其边长为3，点D、E分别在边AC、BC上（不与△ABC的顶点重合），∠EAD＋∠EDA＝120°，设BE＝x，AD＝y，则当y取最小值时△ADE的面积为………………………………………………………………………………【 】
A. B. C. D.
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，E为AB延长线上一点，连接CE，F为CE的中点，连接DF，若四边形BEFD的面积为4，则△CBE的面积为………………………………………………………………………………………【 】
A. B.5 C.6 D.

8.如图，矩形ABCD的边AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上，矩形A′B′C′D′是矩形ABCD以AC的中点O′为位似中心的位似图形，已知C点坐标为（6，3），C′点坐标为（4，2），则矩形A′B′C′D′与矩形ABCD的位似比为…………【 】
A. B. C. D.
9.如图，在△ABC中，D为AB上不与B点重合的一点，过点D作DE⊥AB，交BC于点E，点E不与点C重合，AC＝3，BC＝4，AB＝5，设DE＝x，四边形ADEC的周长为y，则y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是………………………………【 】
A. y＝﹣3x＋10（0＜x＜3） B. y＝﹣x＋2（0＜x＜4）
C. y＝﹣4x＋（0＜x＜） D. y＝﹣2x＋12（0＜x＜）
10.如图，四边形CDEF是Rt△ABC的内接正方形，连接BD交EF于点G，若AC＝8，BC＝12，则EG的长为…………………………………………………………………【 】
A.3.14 B.1.92 C. 3 D.2.18

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.已知1，,三个数，请你再添一个数，使得这四个数构成一个比例式，则所添的数应是_____________________.21cnjy.com
12.如图，是我班可可同学设计的利用手电筒来测量学校操场上国旗杆高度的示意图，在地面上（直线l）点M处放置一个平面镜，一束光线从点A出发经平面镜反射后恰好照射到国旗杆的顶端E点处，已知AB⊥直线l于点B，EF⊥直线l于点F，测得AB＝1.5m，BM＝2.5m，MF＝15m，则国旗杆的高度为______________.
13.如图，AB＝3AC，BD＝3AE，BD∥AC，点B、A、E在同一条直线上，若AC＝BD，AD＝2BD，设BD＝m，则BC的长为_______________（用含m的式子表示）.
14.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC︰CB＝3︰4，D为BC上一点，CD＝6，过点D的一条直线截△ABC所得的小三角形与△ABC相似，则该直线在△ABC的内部部分即线段DE的长为______________________. 21教育名师原创作品

三、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）
15．已知A、B两地相距140km，在两地之间的笔直高速公路上有C、D两个收费站，且AC︰CB＝2︰5，AD︰DB＝11︰3，一辆小轿车从收费站C匀速行驶到收费站D用了h，则这辆小轿车以此速度从A地匀速行驶到B地需要多少时间？
16.如图，正方形ABCD的边长为1，E为AB的中点，连接CE，延长AB至F点，使EF＝EC，以BF为边作正方形BFGH,且点H在BC上，试找出图中的黄金分割点并加以证明.
四、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）
17.如图，AE是△ABC的外角∠DAC的平分线，AE交BC的延长线于点E，求证：＝.
18.如图，在△ABC中，AB＝5cm，AC＝12cm，点M从点B开始沿边BA向点A以1cm/s的速度移动，点N同时从点A开始沿边AC向点C以2cm/s的速度移动，设移动时间为ts.21教育网
（1）当t为多少时，△AMN与△ABC相似？
（2）若BC＝13cm，设△AMN的面积为Scm2，试写出S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，△AMN的面积S有最大值？最大值为多少？21·世纪*教育网
五、（本大题共两小题，每小题10分，满分20分）
19.如图，在△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CDE，连接AE、BD交于点P，BD与CE交于点Q.【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证： AE＝BD；
（2）若DB平分∠CDE，则线段PE、PQ、PD三者之间具有怎样的关系？请说明理由.
20.如图，是由位似的正△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3，…，△AnBnCn组成的一组相似图形，其中△A1B1C1的边长为1，点O是B1C1的中点，A2是OA1的中点，A3是OA2的中点，…，An是OAn－1的中点，顶点B2，B3，…，Bn，C2，C3，…，Cn都在边B1C1上.2·1·c·n·j·y
（1）试求△A2015B2015C2015与△A2000B2000C2000的相似比；
（2）请你求出△AnBnCn的周长和面积.
六、（本题满分12分）
21.如图，学习了相似形的内容之后，在一个星期一的晚上，天天同学想利用灯光下的影子长来测量校园内一路灯F的高度（FG），当他把一根竹竿竖直放在AB位置时，测得影子长BC为2m，当他把这根竹竿平移到DE位置时，测得影子长BE为m，且测得∠DBE＝60°，请你求出这根竹竿的长度和路灯的高度（结果保留根号）.www-2-1-cnjy-com
七、（本题满分12分）
22.如图，△ABC、△ADE均为等腰直角三角形，连接BD、BE、CE，延长CE交AB于点F，交BD于点G，.　　21*cnjy*com
（1）求证：AF·BF＝CF·GF；
（2）当△BDE为等腰直角三角形时，请你求出AB︰BE的值.
八、（本题满分14分）
23.如图，在四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，DE与AF相交于点P.
（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥AF于点P，求证：＝；
（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，则当∠B与∠EPF满足怎样的关系时，（1）中的结论仍成立？请说明理由；21世纪教育网版权所有
（3）如图3，若AD＝AB＝3，CD＝CB＝4，∠ADC＝90°，DE⊥AF于点P，试求的值.
参考答案
1.C 解析：∵a︰b︰c＝3︰4︰5，∴设a＝3k，a＝4k，a＝5k，∵S△ABC＝×a×ha＝×b×hb＝×c×hc，∴3k×ha＝4k×hb＝5k×hc，∴ha＝hb，hc＝hb，∴ha︰hb︰hc＝hb︰hb︰hb＝︰1︰＝20︰15︰12，,∴C对.
2.B 解析：∵AE∥CF∥DG，∴EB︰BF︰FG＝AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，∴BF＝×12＝4，∴B对. 21·cn·jy·com
3.A 解析：∵AB∥CD，∴∠CDE＝∠B＝30°，设CE＝x，则CD＝2x，DE＝x，∵＝，∴＝，解得x＝1，即CE＝1，∴A对.
4.B 解析：∵CA＝6，AD＝4，∴CD＝6－4＝2，若△CDE∽△CAB，如下图①，则＝，∴＝，解得CE＝3，若△CDE∽△CBA，如下图②，则＝，∴＝，解得CE＝，∴CE＝3或，∴B对. www.21-cn-jy.com
5.C 解析：∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠DEF，∴①正确；∵FD∥BC，∴＝，∴②正确；∵ED∥BA，∴△EDF∽△BAF，∴＝，但BF≠CB，∴③错误；∵FD∥BC，∴△EDF∽△ECB，∴＝，又CB≠DA，∴＝，∴④正确.∴C对. 2-1-c-n-j-y
6.D 解析：∵AC＝BC＝3，AD＝y，BE＝x，∴CE＝3－x，BD＝3－y，∵∠EAD＋∠EDA＝120°，∴∠AED＝60°，∴∠CEA＋∠BED＝120°，∵∠C＝∠A＝60°，∴∠CEA＋∠CAE＝120°，∴∠CAE＝∠BED，∴△CAE∽△BED，∴＝，∴＝，∴y＝x2－x＋3＝（x－）2＋，当x＝时，y最小＝，∴AE＝CE＝，∵AC＝AB，∴AE⊥BC，∴ED⊥AB，在Rt△EDB中，∠B＝60°，则DB＝BE＝，∴ED＝＝，∴S△CBE＝×AD×ED＝××＝，∴D对. 【来源：21cnj*y.co*m】
7.A 解析：∵AC＝AB，AD平分∠CAB，∴D为BC中点，∵F为CE中点，∴DF∥BF，∴△CDF∽△CBE，∴＝（）2＝，∴＝，∴S△CBE＝,∴A对. 【出处：21教育名师】
8.C 解析：∵延长C′B′，交x轴于点E，∵C（6，3），C′（4，2），∴AE＝4，AB＝6，∴＝＝，∵C′E∥BC，∴＝＝，又由矩形的性质得AO′＝CO′，∴＝，解得＝，连接BD，则点D、D′、O′、B′、B在同一条直线上，∵C′B′∥CB，∴△O′C′B′∽△O′CB，∴＝＝，即矩形A′B′C′D′与矩形ABCD的位似比为，∴C对. 【版权所有：21教育】
9.D 解析：∵AB＝5，BC＝4，AC＝3而32＋42＝52，∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，∵DE⊥AB，∴∠EDB＝∠C＝90°，又∵∠DBE＝∠CBA，∴△BDE∽△BCA，∴＝＝，∴＝＝，∴BD＝ ，BE＝，∴AD＝5－，CE＝4－，∴y＝5－＋x＋4－＋3＝﹣2x＋12，当E与C重合时，如下图，由△BDC∽△BCA得，＝，∴＝，解得x＝，自变量x的取值范围是0＜x＜，∴D对.
10.B 解析：∵EF∥AC，∴∠A＝∠FEB，又∵∠ADE＝∠EFB＝90°，∴△ADE∽△EFB，∴＝，设正方形边长为x，则＝，解得x＝4.8，∴AD＝3.2，BF＝7.2，由EG∥AD得△BEG∽△BAD，∴＝,由EF∥AC得＝，∴＝，∴＝，∴EG＝1.92，∴B对.
11.或或 解析：设添加的数为x，由x在比例式中的位置分如下四种情况：①x︰1＝ ︰，解得x＝；②1︰x＝ ︰，解得x＝；③1︰＝x︰，解得x＝；④1︰＝︰x，解得x＝.∴综上，所添加的数应为或或.
12.9m 解析：由光的反射定律可推得∠AMB＝∠EMF，又∵AB⊥l，EF⊥l，∴∠ABM＝∠EFM，∴△ABM∽△EFM，∴＝,∴＝，解得EF＝9，∴国旗杆的高度为9m.
13.2m 解析：∵BD∥AC，点B、A、E在同一条直线上，∴∠DBA＝∠EAC，又AB＝3AC，BD＝3AE，∴＝＝3，∴△ABD∽△CAE，∴∠E＝∠D，∵AB＝3AC＝3BD，AD＝2BD，∴AD2＋BD2＝8BD2＋BD2＝9BD2＝AB2,∴∠D＝90°，∴∠E＝90°，由相似三角形的性质可得AE＝BD，EC＝AD＝BD，AB＝3BD，∴在Rt△BCE中，BC2＝（AB＋AE）2＋EC2＝（3BD＋BD）2＋（BD）2＝12BD2＝12m2，∴BC＝2m.
14.或或 解析：∵AC︰CB＝3︰4，设AC＝3x，BC＝4x，由勾股定理得（3x）2＋（4x）2＝102，解得x＝2，∴AC＝6，BC＝8，如下图，当DE∥AC时，△BDE∽△BCA，∴＝,∴＝,∴DE＝；当DE∥AB时，△CDE∽△CBA，∴＝,∴＝,∴DE＝；过点D作DE⊥AB于点E，则∠BED＝∠C＝90°，又∠B＝∠B，∴△BED∽△BCA，∴＝,∴＝,∴DE＝.∴综上，DE＝或或.
15.解：∵AB＝140，AC︰CB＝2︰5，AD︰DB＝11︰3，∴AC＝140×＝40，AD＝140×＝110，∴CD＝AD－AC＝110－40＝70，∴小轿车的速度为＝105(km/h)，∴小轿车从A地匀速行驶到B地需要：＝（h）.答：小轿车以此速度从A地匀速行驶到B地需要 h.
16.解：点H为BC的黄金分割点，点B为AF的黄金分割点；证明：∵正方形ABCD的边长为1，∴AB＝BC＝1，∵E为AB的中点，∴AE＝EB＝，在Rt△EBC中，由勾股定理得EC＝＝＝，∵EF＝EC，∴EF＝，∴BF＝EF－EB＝－＝，∵四边形BFGH为正方形，∴BH＝BF＝，∴＝＝，∴点H为BC的黄金分割点，∵AF＝AB＋BF＝1＋＝，∴＝＝，∴点B为AF的黄金分割点.
17.证明：如下图，过点C作CF∥AB，交AE于点F，则△ABE∽△FCE，∴＝，∵CF∥AB，∠DAF＝∠CFA，又∵AE平分∠DAC,∴∠DAF＝∠CAF，∴∠CFA＝∠CAF，∴AC＝FC，∴＝.
18.解：（1）当＝时，△AMN∽△ABC，∴＝，解得t＝；当 ＝时，△AMN∽△ACB，∴＝，解得t＝.∴综上，当t＝或时，△AMN与△ABC相似；
（2）∵AB＝5，AC＝12，BC＝13，52＋122＝132，∴△ABC为直角三角形，且∠A＝90°，∴S＝×AM×AN＝×(5－t)×2t＝﹣t2＋5t＝﹣（t－）2＋，∵﹣1＜0，∴当t＝时，S最大＝，∴S与t的函数关系式为S＝﹣t2＋5t（0＜t＜5），当t为s时，△AMN的面积S有最大值，最大值为 cm2.
19. 解：（1）证明：∵CA＝CB，CD＝CE，∴∠CAB＝∠CBA，∠CED＝∠CDE，又∵∠CAB＝∠CDE，∴由三角形内角和定理可得∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD.
（2）线段PE、PQ、PD三者之间的关系是PE2＝PQ·PD，理由如下：由（1）得△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CDB＝∠CEA，∵DB平分∠CDE，∴∠CDB＝∠EDP，∴∠QEP＝∠EDP，又∵∠QPE＝∠EPD，∴△QPE∽△EPD，∴＝，∴PE2＝PQ·PD.
20.解：（1）∵A2是OA1的中点，A1B1∥△A2B2，∴B2是OB1的中点，∴A2B2是△A1B1O的中位线，∴A2B2＝A1B1，∵A1B1＝1＝，∴A2B2＝，同理，A3B3＝＝，A4B4＝＝，…，AnBn＝，∴A2015B2015＝，A2000B2000＝，∴＝＝＝＝，∴△A2015B2015C2015与△A2000B2000C2000的相似比为.
21.解：在Rt△DBE中，∠DBE＝60°，∠DEB＝90°，∴∠BDE＝30°，∴DB＝2BE，∵BE＝，∴DB＝2，∴由勾股定理得DE＝＝＝，即这根竹竿的长度为m；∵AB∥FG，∴△ABC∽△FGC，∴＝,∵DE∥FG，∴△DEB∽△FGC，∴＝,∴＝,设BG＝x，∵BC＝2，BE＝，∴＝,解得x＝2＋2，在Rt△FBG中，∠FBG＝60°，∠FGB＝90°，∴∠BFG＝30°，∴BF＝2BG，∵BG＝2＋2，∴BF＝4＋4，∴由勾股定理得FG＝＝＝（2＋2）＝2＋2，即路灯的高度为（2＋2）m.答：这根竹竿的长度为m，路灯的高度为（2＋2）m.
22.解：（1）证明：∵△ABC、△ADE均为等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，又∠BAC＝∠EAC＋∠EAB，∠DAE＝∠DAB＋∠EAB，∴∠DAB＝∠EAC，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴∠GBF（∠DBA）＝∠ACE，又∠GFB＝∠AFC，∴△GFB∽△AFC，∴＝，∴AF·BF＝CF·GF；21*cnjy*com
（2）∵△GFB∽△AFC，∴∠BGE＝∠CAF＝90°，∴∠DBE（∠GBE）＜45°，∴当∠DEB＝90°时，如下图①，设AD＝AE＝x，在Rt△ADE中，由勾股定理得DE＝x＝BE，在Rt△DEB中，由勾股定理得DB＝2x，∵∠BDA＝∠EDA＋∠EDB＝45°＋45°＝90°，∴在Rt△DAB中，由勾股定理得AB＝＝＝x，∴AB︰BE＝x︰x＝︰；当∠EDB＝90°时，如下图②，点G与点D重合，设AD＝AE＝x，在Rt△ADE中，由勾股定理得DE＝x＝BD，在Rt△DEB中，由勾股定理得BE＝2x，∵∠BEA＝∠DEA＋∠DEB＝45°＋45°＝90°，∴在Rt△EAB中，由勾股定理得AB＝＝＝x，∴AB︰BE＝x︰2x＝︰2.∴综上，AB︰BE的值为︰或︰2.
23.解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABF＝∠DAE＝90°，∴∠DAP＋∠EAP＝90°，又∵DE⊥AF于点P，∴∠ADP＋∠DAP＝90°，∴∠BAF（∠ADP）＝∠ADE（∠ADP），∴△ABF∽△DAE，∴＝；
（2）∠B＋∠EPF＝180°，理由如下：如下图①，延长BA至点G，连接DG，使DG＝DE，则∠G＝∠DEG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠B＝∠DAG，∵∠B＋∠EPF＝180°，而∠B＋∠EPF＋∠PEB＋∠PFB＝360°，∴∠PEB＋∠PFB＝180°，又∠PEB＋∠PEA＝180°，∴∠PEA＝∠AFB，∴∠G＝∠AFB，∴△AFB∽△DGA，∴＝,∴＝，∴当∠B＋∠EPF＝180°时，（1）中的结论仍成立；
（3）如下图②，连接AC，∵AD＝AB，CD＝CB，AC＝AC，∴△ADC≌△ABC(SSS)，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，过点D作DM⊥AB，交BA的延长线于点M，过点D作DN⊥BC于点N，则四边形DMBN为矩形，∴∠MDN＝∠ADC＝90°，∴∠MDA＝∠NDC，又∠DMA＝∠DNC＝90°，∴△DMA∽△DNC，∴＝,设DM＝x，在Rt△DMA中，由勾股定理得MA＝＝，又DA＝3，DC＝CB＝4，NC＝BC－BN＝4－x，∴＝,两边平方后解得x＝＝DM，∵DE⊥AF于点P，∠ABC＝90°，∴由四边形内角和可得∠PEB＋∠PFB＝180°，又∠PEB＋∠PEA＝180°，∴∠DEM＝∠AFB，又∠DME＝∠B＝90°，∴△ABF∽△DME，∴＝,∴＝＝.