第2课时 条件概率的性质及应用
1．设A，B为两个事件，已知P(B)＝0.4，P(A)＝0.5，P(B|A)＝0.3，则P(A|B)等于( )
A．0.24 B．0.375 C．0.4 D．0.5
2．下列式子成立的是( )
A．P(A|B)＝P(B|A)
B．0
C．P(AB)＝P(A)P(B|A)
D．P(A∩B|A)＝P(B)
3．设P(A|B)＝P(B|A)＝，P()＝，则P(B)等于( )
A. B. C. D.
4．经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为( )
A．0.24 B．0.36
C．0.48 D．0.75
5．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是( )
A．0.665 B．0.564 C．0.245 D．0.285
6．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山这4个著名的旅游景点中随机选择1个景点游玩，记事件A＝“甲和乙至少有一人选择庐山”，事件B＝“甲和乙选择的景点不同”，则P(|A)等于( )
A. B. C. D.
7．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(A∪B)＝________，P(A|B)＝________.
8．已知事件A和B是互斥事件，P(C)＝，P(BC)＝，P(A∪B|C)＝，则P(A|C)＝________.
9．在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有20张奖券，其中共有3张写有“中奖”字样．假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，求：
(1)甲中奖并且乙也中奖的概率；
(2)甲没中奖但是乙中奖的概率．
10．微信支付密码由6位数字组成．某人在用微信付款时，忘记了密码的最后1位数字，求：
(1)若任意按最后1位数字，则不超过3次就按对的概率；
(2)如果记得密码的最后1位是偶数，则不超过3次就按对的概率．
11．已知事件A，B，且P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，则P(B)等于( )
A. B. C. D.
12．(多选)一次“智力测试”活动，在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，测试时从备选的10道题中随机抽出3题由甲、乙分别作答，至少答对2题者评为“智答能手”．设甲评为“智答能手”为事件A，乙评为“智答能手”为事件B，若P(B|A)＝P(B)，则下列结论正确的是( )
A．P(A|B)＝P(A)
B．P(|A)＝
C．甲、乙至多有一人评为“智答能手”的概率为
D．甲、乙至少有一人评为“智答能手”的概率为
13．(多选)将3颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个1点”，则下列说法中正确的是( )
A．“至少出现一个1点”所包含的样本点数为6×6×6－5×5×5＝91
B．“三个点数都不相同”所包含的样本点数为A＝120
C．P(A|B)＝
D．P(B|A)＝
14．已知某种病毒在培养的过程中，3个小时内发生变异的概率为，4个小时内发生变异的概率为.若已经观测到该病毒在3个小时内未发生变异，则接下来的一小时内发生变异的概率为________．
15．近年来，我国外卖行业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线．他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单，某外卖小哥每天来往于r个外卖店(外卖店的编号分别为1,2，…，r，其中r≥3)，约定：每天他首先从1号外卖店取单，称为第1次取单，之后，他等可能的前往其余r－1个外卖店中的任何一个店取单，称为第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的r－1个外卖店取单．设事件Ak表示“第k次取单恰好是从1号店取单(k∈N*)”，P(Ak)是事件Ak发生的概率，显然P(A1)＝1，P(A2)＝0，则P(A3)＝________，P(Ak＋1)与P(Ak)的关系式为________________．
16．在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
第2课时 条件概率的性质及应用
1．B [由P(A)＝0.5，P(B|A)＝0.3，
得P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.15，
所以P(A|B)＝＝＝0.375.]
2．C [由P(B|A)＝得P(AB)＝P(A)·P(B|A)．]
3．C [由P()＝，
可得P(A)＝1－P()＝，
所以P(AB)＝P(A)P(B|A)
＝×＝，
所以P(B)＝＝＝.]
4．C [设某射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”为事件B，则由题意得P(A)＝0.6，
P(B|A)＝0.8，所以她两次均击中9环的概率为P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.6×0.8＝0.48.]
5．A [记事件A为“甲厂产品”，
事件B为“合格产品”，
则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，
∴P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.]
6．D [由题意知，
因为n(A)＝C·C＋1＝7，
n(AB)＝6，
所以P(|A)＝1－P(B|A)
＝1－
＝1－＝.]
7．0.65 0.3
解析 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)
＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65；
因为A，B相互独立，
所以P(A|B)＝P(A)＝0.3.
8.
解析 由题意知，
P(A∪B|C)＝P(A|C)＋P(B|C)＝，
P(B|C)＝＝＝，
则P(A|C)＝P(A∪B|C)－P(B|C)＝－＝.
9．解 (1)设事件A表示甲中奖，事件B表示乙中奖，
则P(A)＝，
因为抽完的奖券不放回，
所以甲中奖后乙抽奖时，还有19张奖券，其中有2张写有“中奖”字样，
所以乙中奖的概率为P(B|A)＝，
所以甲中奖并且乙也中奖的概率为
P(AB)＝P(A)P(B|A)
＝×＝.
(2)P()＝1－P(A)＝，
因为抽完的奖券不放回，
所以甲没中奖后乙抽奖时，还有19张奖券，其中有3张写有“中奖”字样，
所以乙中奖的概率为P(B|)＝，
所以甲没中奖但是乙中奖的概率为
P(B)＝P()P(B|)
＝×＝.
10．解 (1)设Ai(i＝1,2,3)表示第i次按对密码，A表示不超过3次就按对，
则有A＝A1∪1A2∪12A3，
因为事件A1，1A2，12A3两两互斥，
所以P(A)＝P(A1∪1A2∪12A3)＝P(A1)＋P(1A2)＋P(12A3)，
＝P(A1)＋P(1)P(A2|1)＋P(12)P(A3|12)
＝P(A1)＋P(1)P(A2|1)＋P(1)P(2|1)P(A3|12)
＝＋×＋××＝.
(2)记事件B表示最后1位是偶数，
则P(A|B)＝P[(A1∪1A2∪12A3)|B]
＝P(A1|B)＋P(1A2|B)＋P(12A3|B)
＝＋＋＝.
11．B [∵P(A)＝，P(B|A)＝，
∴P(AB)＝P(A)P(B|A)
＝×＝，
∵P(B|)＝，
∴P(B)＝P()P(B|)，
∴P(B)－P(AB)＝[1－P(A)]P(B|)，
即P(B)－＝×，
解得P(B)＝.]
12．ABD [由题意，可得P(A)＝＝＝，
P(B)＝＝＝，
由P(B|A)＝＝P(B)，
得P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A，B相互独立，所以P(A|B)＝＝＝P(A)，故A正确；
P(B|A)＝P(B)＝，由条件概率的性质得P(|A)＝1－P(B|A)＝1－＝，故B正确；
因为事件A，B相互独立，所以A与，与B，与也都相互独立．甲、乙都评为“智答能手”的概率P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝，
所以甲、乙至多有一人评为“智答能手”的概率为1－P(AB)＝1－＝，故C错误；
甲、乙都没有被评为“智答能手”的概率P( )＝P()P()
＝×＝×＝，
所以甲、乙至少有一人评为“智答能手”的概率为1－P( )＝1－＝，故D正确．]
13．ABC [根据条件概率的含义，P(A|B)的含义为在B发生的条件下，A发生的概率，即在“至少出现一个1点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个1点”的样本点数为6×6×6－5×5×5＝91，“三个点数都不相同”即只有一个1点，包含的样本点总数为C×5×4＝60，
所以P(A|B)＝，故A，C正确；
P(B|A)的含义为在A发生的条件下，B发生的概率，即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个1点”的概率，“三个点数都不相同”的样本点数为A＝120，所以P(B|A)＝＝，故B正确，D错误．]
14.
解析 设3个小时内发生变异为事件A,4个小时内发生变异为事件B，易知A B，
则P(B|)＝
＝＝.
15. P(Ak＋1)＝[1－P(Ak)]
解析 根据题意，事件A3表示“第3次取单恰好是从1号店取单”，
因此P(A3)＝P(2A3)
＝P(2)P(A3|2)＝[1－P(A2)]
＝；
同理P(Ak＋1)＝P(kAk＋1)
＝P(k)P(Ak＋1|k)
＝[1－P(Ak)]·P(Ak＋1|k)
＝[1－P(Ak)].
16．解 记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，有一道题答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，有2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，
可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝，
P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，
P(E|D)＝P(A|D)＋P(B|D)
＝＋
＝＋＝.
故获得优秀成绩的概率为.§7.1 条件概率与全概率公式
7.1.1 条件概率
第1课时 条件概率
1．已知A与B是两个事件，P(B)＝，P(AB)＝，则P(A|B)等于( )
A. B. C. D.
2．某校开展了课后延时服务，要求张老师在每个星期的周一至周五选两天参加课后延时服务，则张老师在周二参加课后延时服务的条件下，周三也参加课后延时服务的概率为( )
A. B. C. D.
3．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)和P(B|A)分别等于( )
A.， B.，
C.， D.，
4．在不透明的盒子中放有大小、形状完全相同的6张卡片，上面分别标有编号1,2,3,4,5,6，现从中不放回地抽取两次卡片，每次抽取一张，只要抽到的卡片编号大于4就可以中奖，已知第一次抽到卡片中奖，则第二次抽到卡片中奖的概率为( )
A. B. C. D.
5．某高中的小明同学每天坚持骑自行车上学，他在骑自行车上学途中必须经过2个路口，经过一段时间在2个路口是否遇到红灯的统计分析发现如下规律：经过2个路口时在第1个路口遇到红灯的概率是，连续2个路口遇到红灯的概率是，则小明同学在骑自行车上学途中第1个路口遇到红灯的条件下，第2个路口也遇到红灯的概率为( )
A. B. C. D.
6．从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为( )
A. B. C. D.
7．已知某地区内猫的寿命超过10岁的概率为0.9，超过12岁的概率为0.6，那么该地区内，一只寿命超过10岁的猫的寿命超过12岁的概率为________．
8．在10张百元纸币中混有3张假币，从中任意抽取2张，将其中1张在验钞机上检验发现是假币，则这2张都是假币的概率是________．
9．某超市为了调查顾客单次购物金额与年龄的关系，从年龄(岁)在[20,70]内的顾客中随机抽取了100人，调查结果如表：
年龄段(岁) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70]
单次购物金额满188元的人数 8 15 23 15 9
单次购物金额不满188元的人数 2 3 5 9 11
(1)为了回馈顾客，超市准备开展对单次购物金额满188元的每位顾客赠送1个环保购物袋的活动．若活动当日该超市预计有5 000人购物，由频率估计概率，预计活动当日该超市应准备多少个环保购物袋？
(2)在上面抽取的100人中，随机依次抽取2人，在第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元的条件下，求第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率．
10．某校从学校文艺部7名成员(4名男生和3名女生)中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动．
(1)求男生甲被选中的概率；
(2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；
(3)在要求被选中的两人中必须是一名男生和一名女生的条件下，求女生乙被选中的概率．
11．已知桌上放有3本语文书和3本数学书．小明现从这6本书中任意抽取3本书，事件A表示“至少抽到1本数学书”，事件B表示“抽到语文书和数学书”，则P(B|A)等于( )
A. B. C. D.
12．从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的数是3的整数倍”，则P(B|A)等于( )
A. B. C. D.
13．甲、乙、丙三人报考A，B，C三所大学，每人限报一所，设事件A为“三人报考的大学均不相同”，事件B为“甲报考的大学与其他两人均不相同”，则P(A|B)等于( )
A. B. C. D.
14.如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次是，，，已知在系统正常工作的前提下，求只有K和A1正常工作的概率是________．
15．春季是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里患鼻炎的概率是，患感冒的概率是，鼻炎和感冒均未患的概率是，则此人在患鼻炎的条件下患感冒的概率为( )
A. B. C. D.
16．盒子里放着三张卡片，一张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是黑色，剩下的一张卡片一面是红色一面是黑色．现在随机抽出一张卡片，并展示它的一面的颜色．假设是红色，那么剩下的一面也是红色的概率是多少？
考察下面的解法：
从三张卡片中任意抽出一张，抽到任何一张都是等概率的．如果抽出的这张展示的一面是红色，那么这张卡片有可能是两面全是红色的那张，也可能是一面红一面黑的那张，因此抽到的是两面全红的那张卡片的概率是.
好像很简单，但请再换个问题研究一下：如果展示出来的那一面是黑色，由上面的思路可得抽到两面全是黑色的卡片的概率也是.所以，不管我们看到的是什么颜色，抽到两面同色的卡片的概率都是.这意味着虽然三张卡片中只有两张是同色的卡片，但随机抽到其中任何一张的概率都是.
肯定什么地方出错了．
请问：上述解法中，哪里出现错误呢？
7.1.1 条件概率
第1课时 条件概率
1．D [由条件概率的计算公式，可得
P(A|B)＝＝＝.]
2．B [张老师在周二参加课后延时服务的条件下，周一至周五还剩余4天，张老师周三也参加课后延时服务的概率P＝.]
3．C [P(A|B)＝＝＝，
P(B|A)＝＝＝.]
4．B [设事件A为第一次抽到卡片中奖，事件B为第二次抽到卡片中奖，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，故P(B|A)＝＝.]
5．C [设“小明同学在第1个路口遇到红灯”为事件A，“小明同学在第2个路口遇到红灯”为事件B，则由题意可得P(A)＝，P(AB)＝，则小明同学在骑自行车上学途中第1个路口遇到红灯的条件下，第2个路口也遇到红灯的概率为P(B|A)＝＝＝.]
6．D [从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数可得样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共含10个样本点，
若这三个数之积为偶数有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共9个样本点，
它们之和大于8有(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共5个样本点，
所以从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为P＝.]
7.
解析 设事件A为“猫的寿命超过10岁”，事件B为“猫的寿命超过12岁”．
依题意有P(A)＝0.9，
P(B)＝P(AB)＝0.6，
则一只寿命超过10岁的猫的寿命超过12岁的概率为P(B|A)＝＝＝＝.
8.
解析 设事件A表示“抽到的2张中至少有1张是假币”，事件B表示“抽到的2张都是假币”，
故所求概率为P(B|A)，
又P(AB)＝P(B)＝＝，
P(A)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
9．解 (1)由表可知，单次购物金额满188元的有8＋15＋23＋15＋9＝70(人)，
所以单次购物金额满188元的频率为＝，
所以5 000人中，单次购物金额满188元的大约有5 000×＝3 500(人)，
故预计需准备3 500个环保购物袋．
(2)记事件A表示“第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元”，
事件B表示“第2次抽到的顾客单次购物金额满188元”，
所以P(A)＝＝，
P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝，
故所求概率为.
10．解 (1)从7名成员中挑选2名成员，共有C＝21(种)情况，
记“男生甲被选中”为事件A，事件A所包含的样本点数为C＝6，
故P(A)＝＝.
(2)记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，
则P(AB)＝，
由(1)知P(A)＝，
故P(B|A)＝＝＝.
(3)记“被选中的两人为一名男生和一名女生”为事件C，事件C所包含的样本点数为C×C＝12，
则P(C)＝＝，
“女生乙被选中”为事件B，
则P(BC)＝＝，
故P(B|C)＝＝＝.
11．D [由题意得n(A)＝C－C
＝20－1＝19，
n(AB)＝CC＋CC＝18，
由条件概率的公式得P(B|A)＝＝.]
12．B [由题意得P(A)＝，
事件AB为“第一次取到的是奇数且第二次取到的数是3的整数倍”，
若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；
若第一次取到的为1,5,7，第二次有3种情况，
故共有2×2＋3×3＝13(个)样本点，
则P(AB)＝＝，
由条件概率的定义，
得P(B|A)＝＝.]
13．D [每人报考大学有3种选择，故总的报考方法共有33＝27(种)，三人报考的大学均不相同的报考方法有A＝6(种)，故P(AB)＝＝，
甲报考的大学与其他两人均不相同的报考方法有CCC＝12(种)，
故P(B)＝＝，
所以P(A|B)＝＝＝.]
14.
解析 设事件A为系统正常工作，事件B为只有K和A1正常工作，因为并联元件A1或A2能正常工作的概率为1－×＝，所以P(A)＝×＝，
又因为P(AB)＝P(B)＝××＝，
所以P(B|A)＝＝.
15．B [设“此人在春季里患鼻炎”为事件A，“此人在春季里患感冒”为事件B，
则P(A)＝，P(B)＝，
P(A∪B)＝1－＝，
由P(A∪B)
＝P(A)＋P(B)－P(AB)，
可得P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)
＝＋－＝，
则此人在患鼻炎的条件下患感冒的概率为P(B|A)＝＝＝.]
16．解 没有考虑到已经抽出并展示出抽出的这张的一面为红色或黑色，即题目属于条件概率，我们以抽出的这张展示的一面是红色为例，正确的方法是：设抽出的这张展示的一面是红色为事件A，抽出的卡片两面全是红色为事件B，如果展示的一面是红色，且这张卡片是两面全是红色的那张为事件AB，因为P(A)＝，P(AB)＝，由条件概率可得P(B|A)＝＝，当然抽出的这张展示的一面是黑色也是如此，概率为.