7.2 离散型随机变量及其分布列 课时练（含答案）-2024春高中数学选择性必修3（人教版）

§7.2　离散型随机变量及其分布列
1．(多选)下列变量中，不是离散型随机变量的是(　　)
A．一条河流每日最大流量
B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高
C．某人在车站等出租车的时间
D．某人投篮10次，可能投中的次数
2．袋中装有大小相同的6个黑球，5个白球，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为(　　)
A．1,2,3，…，6 B．1,2,3，…，7
C．0,1,2，…，5 D．1,2，…，5
3．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示(　　)
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
4．(多选)下列选项中的随机变量服从两点分布的是(　　)
A．抛掷一枚骰子，所得点数X
B．某射击手射击一次，击中目标的次数X
C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，设X＝
D．某医生做一次手术，手术成功的次数X
5．设随机变量X的分布列如表所示，则P(|X－1|≤1)等于(　　)
X －1 0 1 2
P m
A. B. C. D.
6．(多选)已知随机变量X的分布列如表所示，其中a，b，c成等差数列，则(　　)
X －1 0 1
P a b c
A.a＝ B．b＝
C．c＝ D．P(|X|＝1)＝
7．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________.
8．已知离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P 1－2q q
则P(∈Z)＝________.
9．某城市为了加快“两型社会”(资源节约型、环境友好型)的建设，本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙两人不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列．
10.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．
11．甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8,0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为(　　)
A.
X 0 1 2
P 0.08 0.14 0.78
B.
X 0 1 2
P 0.06 0.24 0.70
C.
X 0 1 2
P 0.06 0.56 0.38
D.
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
12.一个袋中装有4个红球、3个黑球，小明从袋中随机取球，记取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是(　　)
A. B. C. D.
13．(多选)一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过．现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论正确的是(　　)
A．X的所有可能取值是3,4,5
B．X最有可能的取值是5
C．X等于3的概率为
D．X等于4的概率为
14．已知随机变量X的分布列为P(X＝n)＝(n＝1,2,3，…，10)，则实数a＝________.
15．如图是某市10月份1日至14日的空气污染指数折线图，空气污染指数为0～50，空气质量级别为一级；空气污染指数为51～100，空气质量级别为二级；空气污染指数为101～150，空气质量级别为三级．某人随机选择10月份的1日至13日中的某一天到达该市，并停留2天．设X是此人停留期间空气质量级别不超过二级的天数，则P(X>1)等于(　　)
A. B. C. D.
16．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用X表示掷出的点数之和，试求X的分布列．
§7.2　离散型随机变量及其分布列
1．BC　[根据离散型随机变量的定义，即可以按照一定次序一一列出，可能取值为有限个或无限个，选项B，C中的变量为连续型随机变量，而选项A，D中的变量是离散型随机变量．]
2．B　[因为取到白球时停止，所以最少取球次数为1，即第一次就取到了白球；最多取球次数是7次，即把所有的黑球取完之后才取到白球．所以取球次数可以是1,2,3，…，7.]
3．D　[甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
所以{ξ＝3}有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．]
4．BCD　[由题意可知B，C，D中的随机事件只有两种结果，随机变量均服从两点分布，
而抛掷一枚骰子，所得点数X的可能取值为1,2,3,4,5,6，所以A中的随机变量不服从两点分布．]
5．C　[由分布列的性质可得＋m＋＋＝1，则m＝，
P(|X－1|≤1)＝P(0≤X≤2)
＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＋＝.]
6．BD　[∵a，b，c成等差数列，
∴2b＝a＋c.
由分布列的性质得a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝.
∴P(|X|＝1)
＝P(X＝1)＋P(X＝－1)
＝1－P(X＝0)＝1－＝.]
7．0.8
解析　由Y＝－2，且Y＝3X－2，
得X＝0，
∴P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8.
8．0.9
解析　由分布列的性质得1－2q≥0，q≥0，且＋1－2q＋q＝1，
解得q＝0.3，
∴P(∈Z)＝P(X＝0)＋P(X＝1)
＝＋1－2×0.3＝0.9.
9．解　(1)由题意得，甲、乙两人在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，，
租车费用相同，即两人都在同一时间段还车，
记“甲、乙两人所付的租车费用相同”为事件A，
则P(A)＝×＋×＋×＝，
所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.
(2)由题可知，X可能取的值有0,2,4,6,8，且
P(X＝0)＝×＝；
P(X＝2)＝×＋×＝；
P(X＝4)＝×＋×＋×＝；
P(X＝6)＝×＋×＝；
P(X＝8)＝×＝.
所以X的分布列为
X 0 2 4 6 8
P
10.解　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)＝×＝.
(2)由题意可知，随机变量X的可能取值为200,300,400.
则P(X＝200)＝＝，
P(X＝300)＝＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝.
故X的分布列为
X 200 300 400
P
11.D　[易知X的可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝0.2×0.3＝0.06，
P(X＝1)＝0.8×0.3＋0.2×0.7＝0.38，
P(X＝2)＝0.8×0.7＝0.56，
故X的分布列为
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
]
12.A　[记得分为X，则X的可能取值为5,6,7,8，
因为P(X＝7)＝＝，
P(X＝8)＝＝，
所以P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝.]
13．AC　[记未使用过的乒乓球为M，已使用过的乒乓球为N，
任取3个球的所有可能有1个M球和2个N球、2个M球和1个N球、3个M球．
M球使用后成为N球，故X的所有可能取值是3,4,5，故A正确；
又P(X＝3)＝＝，故C正确；
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
所以X最有可能的取值是4，故B，D错误．]
14.
解析　依题意，P(X＝n)
＝a，
由分布列的性质得＝a
＝＝1，
解得a＝.
15．C　[由题意知，X的取值范围为{0,1,2}，空气质量级别不超过二级的为10月份的1日、2日、3日、7日、12日、13日、14日，
P(X>1)＝P(X＝2)，
即要连续两天的空气质量级别不超过二级，所以此人应在10月份的1日、2日、12日、13日中的某一天到达该市，所以P(X>1)＝P(X＝2)＝.]
16．解　用(i，j)表示抛掷的结果，其中i表示第一次掷出的点数，j表示第二次掷出的点数．
于是，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，共有36种结果，结果如表：
　 第二次 第一次　　 1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
显然，这36种结果发生的概率是相同的，都是.
由上表，X的可能取值为2,3，…，12，
使X＝2有1种：(1,1)，
则P(X＝2)＝.
使X＝3有2种：(1,2)，(2,1)，
则P(X＝3)＝.
使X＝4有3种：(1,3)，(2,2)，(3,1)，
则P(X＝4)＝.
使X＝5有4种：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，
则P(X＝5)＝.
使X＝6有5种：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，则P(X＝6)＝.
使X＝7有6种：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，
则P(X＝7)＝.
使X＝8有5种：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，
则P(X＝8)＝.
使X＝9有4种：(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)，
则P(X＝9)＝.
使X＝10有3种：(4,6)，(5,5)，(6,4)，
则P(X＝10)＝.
使X＝11有2种：(5,6)，(6,5)，
则P(X＝11)＝.
使X＝12有1种：(6,6)，
则P(X＝12)＝.
故X的分布列为
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P