7.3.1 离散型随机变量的均值 课时练（含解析）-2024春高中数学选择性必修3（人教版）

§7.3　离散型随机变量的数字特征
7.3.1　离散型随机变量的均值
1．若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P
则X的均值E(X)等于(　　)
A．2 B．2或
C. D．1
2．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为(　　)
A．0 B. C．1 D．－1
3．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达数为ξ，则E(ξ)的值为(　　)
A．0.765 B．1.75
C．1.765 D．0.22
4．(多选)已知某一随机变量X的分布列如表所示，且E(X)＝6.3，则(　　)
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A.a＝7 B．b＝0.4
C．E(aX)＝44.1 D．E(bX＋a)＝2.62
5．“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同．比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为(　　)
A. B．1 C. D．2
6．某车站每天上午发出两班客车，每班客车的发车时刻和发车概率如下：
第一班车：在8：00,8：20,8：40发车的概率分别为，，；
第二班车：在9：00,9：20,9：40发车的概率分别为，，.
假设这两班客车在什么时刻发车是相互独立的，一位旅客8：10到达车站乘车，则该旅客候车的分钟数的均值为(　　)
A．30 B．35 C．40 D．25
7．已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝0.4，设ξ＝2X－3，那么E(ξ)＝________.
8．若随机抛掷一颗质地均匀的正方体骰子1次，则所得点数X的均值是________．
9．袋子中装有8张水果卡片，其中4张苹果卡片，4张梨子卡片，消费者从该袋子中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片都是同一种水果，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片是同一种水果，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励．
(1)求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片的概率；
(2)记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和均值；
(3)该商家规定，每位消费者若想再次参加该项抽奖活动，则需支付2元．若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由．
10．足球运动是备受学生喜爱的体育运动，某校开展足球技能测试，甲、乙、丙三人参加点球测试，每人有两次点球机会，若第一次点球成功，则测试合格，不再进行第二次点球；若第一次点球失败，则再点球一次，若第二次点球成功，则测试合格，若第二次点球失败，则测试不合格，已知甲、乙、丙三人点球成功的概率分别为，，，且三人每次点球的结果互不影响．
(1)求甲、乙、丙三人共点球4次的概率；
(2)设X表示甲、乙、丙三人中测试合格的人数，求X的分布列和均值．
11．已知实数a，b，c成等差数列，随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P a b c
当a增大时，则下列说法中正确的是(　　)
A．E(X)增大
B．E(X)减小
C．E(X)先增大后减小
D．E(X)先减小后增大
12．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为， 乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的均值为(　　)
A. B. C. D.
13．已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，则a的值为________．
14．甲、乙、丙三人参加某次招聘会，甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为(015．某电视台的一档栏目推出有奖猜歌名活动，规则如下：选手根据歌曲的主旋律制作的铃声来猜歌名，猜对当前歌曲的歌名方能猜下一首歌曲的歌名．现推送三首歌曲给某选手，已知该选手能否猜对每首歌曲的歌名相互独立，且猜对歌曲的歌名的概率以及获得相应的奖金金额如表所示：
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的奖金金额/元 1 000 2 000 3 000
下列猜歌名的顺序中，该选手获得的奖金总额的均值超过2 200元的是(　　)
A．B→C→A B．C→B→A
C．C→A→B D．A→B→C
16．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 10 15 10 10 5
乙公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 5 10 10 20 5
若将频率视为概率，回答下列两个问题：
(1)记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和均值；
(2)小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．
7.3.1　离散型随机变量的均值
1．C　[由分布列的性质知，＋＝1，解得a＝1或a＝－2(舍去)．
所以E(X)＝0×＋1×＝.]
2．A　[因为P(X＝1)＝，
P(X＝－1)＝，
所以由均值的定义得E(X)＝1×＋(－1)×＝0.]
3．B　[由题意可得，ξ的所有可能取值为0,1,2，
P(ξ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)
＝0.015；
P(ξ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋(1－0.9)×0.85＝0.22；
P(ξ＝2)＝0.9×0.85＝0.765.
所以E(ξ)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.]
4．ABC　[由题意和分布列的性质得，
0．5＋0.1＋b＝1，
∴b＝0.4，
又E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，
解得a＝7.
∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1，
E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52.]
5．B　[记抽到自己准备的书的学生数为X，
则X的所有可能取值为0,1,2,4，
P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝4)＝＝，
则E(X)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1.]
6．A　[设该旅客候车的分钟数为ξ，
则ξ的所有可能取值为10,30,50,70,90，
P(ξ＝10)＝，P(ξ＝30)＝，
P(ξ＝50)＝×＝，
P(ξ＝70)＝×＝，
P(ξ＝90)＝×＝，
所以ξ的分布列为
ξ 10 30 50 70 90
P
故E(ξ)＝10×＋30×＋50×＋70×＋90×＝30，
即该旅客候车的分钟数的均值为30.]
7．－2.2
解析　E(X)＝1×0.4＋0×(1－0.4)＝0.4，
E(ξ)＝2E(X)－3＝－2.2.
8．3.5
解析　由题意得，X的所有可能取值为1,2,3,4,5,6，且P(X＝i)＝，
i＝1,2,3,4,5,6，
所以E(X)＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3.5.
9．解　(1)记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片”为事件A，
则P(A)＝＝，所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片的概率为 .
(2)依题意得，随机变量X的所有可能取值为0,5,10，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
P(X＝10)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 5 10
P
所以E(X)＝10×＋5×＋0×＝.
(3)记随机变量Y为消费者在一次抽奖活动中的收益，
则Y＝X－2，所以E(Y)＝E(X－2)＝E(X)－2＝－2＝＞0，
所以愿意再次参加该项抽奖活动．
10．解　(1)设甲、乙、丙三人第i次点球成功分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2，
则P(Ai)＝，
P(Bi)＝，P(Ci)＝.
甲、乙、丙三人共点球4次，根据测试规则，有2人第一次点球成功，剩下的1人第一次点球失败，
则甲、乙、丙三人共点球4次的概率
P＝P(A1B11＋A11C1＋1B1C1)＝P(A1B11)＋P(A11C1)＋P(1B1C1)
＝P(A1)P(B1)P(1)＋P(A1)·P(1)P(C1)＋P(1)P(B1)P(C1)
＝××＋××＋××＝.
(2)甲测试合格的概率P1＝P(A1＋1A2)＝＋×＝，
乙测试合格的概率P2＝P(B1＋1B2)＝＋×＝，
丙测试合格的概率P3＝P(C1＋1C2)＝＋×＝.
易知X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
11．B　[因为实数a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b.又由分布列的性质可得a＋b＋c＝1，所以a＋c＝，b＝，所以0≤a≤，
所以E(X)＝0·a＋1×＋2c＝＋2×＝－2a＋，所以当a增大时，E(X)减小．]
12．B　[依题意知，ξ的所有可能取值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为2＋2＝.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝6)＝2＝，故E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝.]
13．－3
解析　E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
∵Y＝aX＋3，
∴E(Y)＝aE(X)＋3＝a＋3＝－2.
解得a＝－3.
14.
解析　依题意，得甲、乙、丙三人都应聘成功的概率是××＝，解得t＝2(负值舍去)，
所以乙应聘成功的概率为，则ξ的所有可能的取值为0,1,2，
可得P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝1)
＝×＋×＝，
P(ξ＝0)＝×＝，
所以E(ξ)＝2×＋1×＋0×＝.
15．D　[根据规则，记该选手获得的奖金总额为X元，若按B→C→A的顺序进行，
由题意知，X的所有可能取值为0，2 000，5 000,6 000，
则P(X＝0)＝1－0.6＝0.4，
P(X＝2 000)＝0.6×(1－0.4)＝0.36，
P(X＝5 000)＝0.6×0.4×(1－0.8)
＝0.048，
P(X＝6 000)＝0.6×0.4×0.8＝0.192，
所以E(X)＝0×0.4＋2 000×0.36＋5 000×0.048＋6 000×0.192＝2 112，故A错误；
同理，按C→B→A的顺序猜歌名获得的奖金总额的均值为1 872元，故B错误；
按C→A→B的顺序猜歌名获得的奖金总额的均值为1 904元，故C错误；
按A→B→C的顺序猜歌名获得的奖金总额的均值为2 336元，故D正确．]
16．解　(1)设乙公司送餐员送餐单数为a，
当a＝38时，X＝38×6＝228，
P＝＝；
当a＝39时，X＝39×6＝234，
P＝＝；
当a＝40时，X＝40×6＝240，
P＝＝；
当a＝41时，X＝40×6＋1×7＝247，P＝＝；
当a＝42时，X＝40×6＋2×7＝254，P＝＝，
故X的所有可能取值为228,234,240,247,254，
故X的分布列为
X 228 234 240 247 254
P
故E(X)＝228×＋234×＋240×＋247×＋254×＝241.8.
(2)甲公司送餐员日平均送餐单数为
38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7，
则甲公司送餐员日平均工资为80＋4×39.7＝238.8(元)，
因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元，
238．8<241.8，
所以推荐小王去乙公司应聘．