7.3.2 离散型随机变量的方差 课时练（含解析）-2024春高中数学选择性必修3（人教版）

7.3.2　离散型随机变量的方差
1．(多选)对于离散型随机变量X，有关它的均值E(X)和方差D(X)，下列说法正确的是(　　)
A．E(X)是反映随机变量的平均取值
B．D(X)越小，说明X越集中于E(X)
C．E(aX＋b)＝aE(X)＋b
D．D(aX＋b)＝a2D(X)＋b
2．设X，Y为随机变量，且E(X)＝2，E(X2)＝6，Y＝2X－1，则D(Y)等于(　　)
A．9 B．8 C．5 D．4
3．设a>0，已知随机变量ξ的分布列为
ξ －1 0 2
P a 2a 3a
则下列方差值中最大的是(　　)
A．D(ξ) B．D(|ξ|)
C．D(2ξ－1) D．D(2|ξ|＋1)
4．已知口袋中装有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为X，则D(X)等于(　　)
A. B. C. D.
5．甲、乙两台自动机床各生产同种标准产品1 000件，X表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X，Y的分布列分别如表一、表二所示．据此判断(　　)
表一
X 0 1 2 3
P 0.7 0 0.2 0.1
表二
Y 0 1 2 3
P 0.6 0.2 0.1 0.1
A.甲比乙质量好
B．乙比甲质量好
C．甲与乙质量相同
D．无法判定
6．编号为1,2,3的3位同学随意入座编号为1,2,3的3个座位，每位同学坐一个座位，设与座位编号相同的学生个数是X，则X的方差为(　　)
A. B. C. D．1
7．若p为非负实数，随机变量X的分布列如表所示，则D(X)的最大值为________．
X 0 1 2
P －p p
8．若抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数为随机变量X，则随机变量X的方差D(X)＝________.
9．有甲、乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进行检验，结果分别如表一、表二所示：
表一
X甲 28 29 30 31 32
P 0.1 0.15 0.5 0.15 0.1
表二
X乙 28 29 30 31 32
P 0.13 0.17 0.4 0.17 0.13
其中X表示纤维长度(单位：mm)，根据纤维长度的均值和方差比较甲、乙两种棉花的质量．
10．开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两套方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如表所示(用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立)．
男 女
支持方案一 24 16
支持方案二 25 35
(1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设X为两人中抽出女生的人数，求X的分布列与均值；
(2)在(1)中，设Y表示两人中抽出男生的人数，试判断方差D(X)与D(Y)的大小．
11．(多选)已知随机变量ξ满足P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝x，P(ξ＝2)＝－x，若0A．E(ξ)有最大值 B．E(ξ)无最小值
C．D(ξ)有最大值 D．D(ξ)无最小值
12．(多选)已知A＝B＝{1,2,3}，分别从集合A，B中各随机取一个数a，b，得到平面上一个点P(a，b)，事件“点P(a，b)恰好落在直线x＋y＝n上”对应的随机变量为X，P(X＝n)＝Pn，X的均值和方差分别为E(X)，D(X)，则下列结论中正确的是(　　)
A．P4＝2P2 B．P(3≤X≤5)＝
C．E(X)＝4 D．D(X)＝
13．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x114．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试机会的概率为，得到乙、丙两个公司面试机会的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．设X为该毕业生得到面试机会的公司个数．若P(X＝0)＝，则D(X)＝________.
15．(多选)已知随机变量ξ的分布列(如表所示)，则下列说法错误的是(　　)
ξ x y
P y x
A.存在x，y∈(0,1)，E(ξ)>
B．对任意x，y∈(0,1)，E(ξ)≤
C．对任意x，y∈(0,1)，D(ξ)D．存在x，y∈(0,1)，D(ξ)>
16．某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能的)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的小时数．
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的均值和方差．
7.3.2　离散型随机变量的方差
1．ABC　[离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值，即A，B正确；
由均值和方差的性质可得，E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)，即C正确，D错误．]
2．B　[由题意，D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝6－4＝2，
故D(Y)＝D(2X－1)＝22D(X)＝8.]
3．C　[由题意得，a＋2a＋3a＝1，解得a＝，则E(ξ)＝－1×＋0×＋2×＝，
E(|ξ|)＝1×＋0×＋2×＝，
所以D(ξ)＝×2＋×2＋×2＝，
D(|ξ|)＝×2＋×2＋×2＝.
所以D(2ξ－1)＝4×＝，
D(2|ξ|＋1)＝4×＝.
所以D(2ξ－1)>D(2|ξ|＋1)>D(ξ)>D(|ξ|)．]
4．A　[由题意，得X可能取值为2,3，
X＝2表示取出的两个球为1,2，
所以P(X＝2)＝＝，
X＝3表示取出的两个球为1,3或2,3，
所以P(X＝3)＝＝，
所以E(X)＝2×＋3×＝，
D(X)＝22×＋32×－2＝.]
5．B　[由分布列可求甲的次品数的均值为E(X)＝0×0.7＋1×0＋2×0.2＋3×0.1＝0.7，乙的次品数的均值为E(Y)＝0×0.6＋1×0.2＋2×0.1＋3×0.1＝0.7，
D(X)＝(0－0.7)2×0.7＋(1－0.7)2×0＋(2－0.7)2×0.2＋(3－0.7)2×0.1＝1.21，
D(Y)＝(0－0.7)2×0.6＋(1－0.7)2×0.2＋(2－0.7)2×0.1＋(3－0.7)2×0.1＝1.01，
E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以乙比甲质量好．]
6．D　[X的所有可能取值为0,1,3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
E(X)＝0×＋1×＋3×＝1，D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(3－1)2×＝1.]
7．1
解析　∵
∴p∈，
∴E(X)＝p＋1≤，E(X2)＝p＋2，
∴D(X)＝E(X2)－(E(X))2
＝－p2－p＋1＝－2＋，
∴当p＝0时，D(X)max＝1.
8.
解析　依题意得X的可能取值为1,2,3,4,5,6，
且P(X＝1)＝P(X＝2)＝P(X＝3)＝P(X＝4)＝P(X＝5)＝P(X＝6)＝，
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝，
则D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＋2×＋2×＝.
9．解　由表中的数据得，E(X甲)＝28×0.1＋29×0.15＋30×0.5＋31×0.15＋32×0.1＝30，
E(X乙)＝28×0.13＋29×0.17＋30×0.4＋31×0.17＋32×0.13＝30.
D(X甲)＝(28－30)2×0.1＋(29－30)2×0.15＋(30－30)2×0.5＋(31－30)2×0.15＋(32－30)2×0.1＝1.1，
D(X乙)＝(28－30)2×0.13＋(29－30)2×0.17＋(30－30)2×0.4＋(31－30)2×0.17＋(32－30)2×0.13＝1.38.
由上面的计算知，尽管甲、乙两种棉花的纤维长度的均值相等，但D(X甲)＝1.110．解　(1)记“从方案一中抽取到女生”为事件A，“从方案二中抽取到女生”为事件B，
则P(A)＝＝，P(B)＝＝，则X的可能取值为0,1,2，所以P
＝×＝，
P＝×＋×＝，
P＝×＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(2)依题意可得Y＝2－X，
所以D(Y)＝D＝2D(X)
＝D(X)，即D(Y)＝D(X)．
11．BD　[由题意可得，E(ξ)＝0×＋1×x＋2×＝－x，
因为f(x)＝－x在上单调递减，
所以当0D(ξ)＝2·＋2·x＋2·＝－x2－x＋，
因为f(x)＝－x2－x＋
＝－2＋在上单调递减，
所以当012．BCD　[因为A＝B＝{1,2,3}，点P(a，b)恰好落在直线x＋y＝n上，所以X的所有可能取值为2,3,4,5,6.从A，B中分别任取1个数，共有9种情况，所以P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝，P(X＝6)＝.对于A，P4＝3P2，故A不正确；对于B，P(3≤X≤5)＝＋＋＝，故B正确；对于C，E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝4，故C正确；对于D，D(X)＝(2－4)2×＋(3－4)2×＋(4－4)2×＋(5－4)2×＋(6－4)2×＝，故D正确．]
13．3
解析　由已知得
即
解得或
又x1所以所以x1＋x2＝3.
14.
解析　由P(X＝0)＝知，
×(1－p)2＝，
得p＝，
由题意知X为该毕业生得到面试机会的公司个数，则X的所有可能取值是0,1,2,3，
P(X＝1)＝×2＋××＋××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝×2＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，
所以D(X)＝×2＋×2＋×2＋×2＝.
15．ABD　[依题意可得，E(ξ)＝2xy，
因为x＋y＝1，
所以2xy≤＝，当且仅当x＝y＝时等号成立，即E(ξ)≤，故A，B错误；
D(ξ)＝(x2y＋y2x)－(2xy)2
＝xy(x＋y－4xy)＝xy(1－4xy)，
D(ξ)－E(ξ)＝xy(1－4xy－2)
＝－xy(1＋4xy)，
由于xy>0，所以D(ξ)－E(ξ)<0，故C正确；
令t＝xy，t∈，
则D(ξ)＝t(1－4t)＝－42＋，
则D(ξ)≤，故D错误．]
16．解　(1)ξ的所有可能取值为1,3,4,6，
当ξ＝1时，直接从1号通道走出，则P(ξ＝1)＝；
当ξ＝3时，先走2号通道，再走1号通道，
则P(ξ＝3)＝×＝；
当ξ＝4时，先走3号通道，再走1号通道，
则P(ξ＝4)＝×＝；
当ξ＝6时，先走2号通道，再走3号通道，最后再走1号通道，或者先走3号通道，再走2号通道，最后再走1号通道，
则P(ξ＝6)＝2××1＝.
所以ξ的分布列为
ξ 1 3 4 6
P
(2)E(ξ)＝1×＋3×＋4×＋6×＝，
D(ξ)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.