7.4.1 二项分布 课时练（含解析）-2024春高中数学选择性必修3（人教版）

§7.4　二项分布与超几何分布
7.4.1　二项分布
1．若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是，则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是(　　)
A. B. C. D.
2．(多选)已知随机变量X＋ξ＝7，若X～B(10,0.6)，则E(ξ)，D(ξ)分别为(　　)
A．E(ξ)＝1 B．E(ξ)＝2
C．D(ξ)＝2.4 D．D(ξ)＝5.6
3．“锦里开芳宴，兰缸艳早年．”元宵节是中国非常重要的传统节日，某班级准备进行“元宵福气到”抽奖活动．福袋中装有标号分别为1, 2, 3, 4, 5的五个相同的小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，则获奖．若有5名同学参与此次活动，则恰好3人获奖的概率是(　　)
A. B. C. D.
4．唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知某沿海地区在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为(　　)
A. B. C. D.
5．为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每家店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工休假的概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家店铺无人休假，则从无人休假的店铺调剂1人到员工全部休假的店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业．则两家店铺在该节假日都能正常营业的概率为(　　)
A. B. C. D.
6．(多选)抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4，则下列结论中正确的是(　　)
A．P1＝P2＝P3＝P4
B．P3＝2P1
C．P1＋P2＋P3＋P4＝1
D．P4＝3P2
7．某学生将参加创新知识大赛，答题环节有6道题目，每答对1道题得2分，答错一道题减1分，已知该生每道题目答对的概率是，且各题目答对正确与否相互之间没有影响，X表示该生得分，则E(X)＝________，D(X)＝________.
8．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则D(Y)＝________.
9．某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[30,40)，[40,50)，…，[90,100]，整理得到频率分布直方图如图所示．
(1)若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；
(2)若规定分数在[80,90)为“良好”，[90,100]为“优秀”．用频率估计概率，从该校高三年级学生中随机抽取三人，记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X，求X的分布列和均值．
10．2023年亚运会在中国杭州举办，开幕式门票与其他赛事门票在网上开始预定，亚奥理事会规定：开幕式门票分为A，B两档，当预定A档未成功时，系统自动进入B档预定，已知获得A档门票的概率是，若未成功，仍有的概率获得B档门票；而成功获得其他赛事门票的概率均为，且获得每张门票之间互不影响．甲预定了一张A档开幕式门票，一张赛事门票；乙预定了两张赛事门票．
(1)求甲、乙两人都没有获得任何门票的概率；
(2)求乙获得的门票数比甲多的概率．
11．已知随机变量X服从二项分布B(12，p)，若E(2X－3)＝5，则D(3X)等于(　　)
A. B．8 C．12 D．24
12.王先生家住A小区，他工作在B科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线(如图)，L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.若分别走L1，L2路线，则王先生遇到红灯的次数的均值分别为(　　)
A.， B.，
C.， D.，
13．排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球比赛中乙队获胜的概率为________．
14．随着现代科技的不断发展，手机交易应用越来越广泛，其中某群体的每位成员使用微信支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用微信支付的人数，已知方差D(X)＝2.4，且P(X＝4)>P(X＝6)，则均值E(X)＝________.
15．规定投掷飞镖3次为一轮，3次中至少2次投中8环以上的为优秀．现采用随机模拟试验的方法估计某人投掷飞镖的情况：先由计算器产生随机数0或1，用0表示该次投镖未在8环以上，用1表示该次投镖在8环以上；再以每三个随机数作为一组，代表一轮的结果．例如：“101”代表第一次投镖在8环以上，第二次投镖未在8环以上，第三次投镖在8环以上，该结果代表这一轮投镖为优秀；“100”代表第一次投镖在8环以上，第二次和第三次投镖均未在8环以上，该结果代表这一轮投镖为不优秀．经随机模拟试验产生了如下10组随机数，据此估计，该选手投掷飞镖两轮，至少有一轮可以拿到优秀的概率是(　　)
101 111 011 101 010 100 100 011 111 001
A. B. C. D.
16．为了比较传统粮食α与新型粮食β的产量是否有差别，研究人员在若干亩土地上分别种植了传统粮食α与新型粮食β，并收集统计了β的亩产量，所得数据如图所示．已知传统粮食α的产量约为760公斤/亩．
(1)通过计算比较传统粮食α与新型粮食β的平均亩产量的大小关系；
(2)以频率估计概率，若在4块不同的1亩的土地上播种新型粮食β，记亩产量不低于785公斤的土地块数为X，求X的分布列．
7.4.1　二项分布
1．A　[P＝C×2×3＝.]
2．AC　[因为X～B(10,0.6)，
所以E(X)＝10×0.6＝6，
D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.
因为X＋ξ＝7，所以ξ＝7－X，由均值和方差的性质可得，E(ξ)＝E(7－X)＝7－E(X)＝1，D(ξ)＝D(7－X)＝D(X)＝2.4.]
3．C　[每次抽奖中，样本点总数为C＝10，获奖的共有(1,2,3)，(1,3,5)，(2,3,4)，(3,4,5)这4种，所以p＝，设5人中获奖人数为X，
则X～B，
所以P(X＝3)＝C×3×2＝.]
4．A　[该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天出现大潮和三天出现大潮，
有两天出现大潮的概率为C×2×＝，
有三天出现大潮的概率为C×3＝，
所以至少有两天出现大潮的概率为＋＝.]
5．D　[设两家店铺不能都正常营业为事件A，由题意可知有4人休假的概率为4＝，有3人休假的概率为C×3×1＝，
所以两家店铺不能都正常营业的概率P(A)＝＋＝，
所以两家店铺在该节假日都能正常营业的概率为1－P(A)＝.]
6．CD　[由题意知，P1＝3＝，P2＝3＝，
P3＝C×2×＝，
P4＝C××2＝，
P1＝P2P3＝3P1，故B错误；
P1＋P2＋P3＋P4＝1，故C正确；
P4＝3P2，故D正确．]
7．6　12
解析　依题意，设Y表示该生答对问题的个数，则Y～B，
所以E(Y)＝6×＝4，
D(Y)＝6××＝，
又因为X＝2Y－(6－Y)＝3Y－6，
所以E(X)＝3E(Y)－6＝3×4－6＝6，D(X)＝32D(Y)＝9×＝12.
8.
解析　由随机变量X～B(2，p)，
且P(X≥1)＝，
得P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C×(1－p)2＝，解得p＝.
由Y～B，得随机变量Y的方差D(Y)＝4××＝.
9．解　(1)设“不及格”为事件A，则“及格”为事件，
∴P(A)＝1－P()＝1－(0.2＋0.4＋0.2＋0.1)＝0.1，
故该学生不及格的概率为0.1.
(2)设“样本中测试分数为‘良好’或‘优秀’”为事件B，
则P(B)＝0.2＋0.1＝0.3，
依题意可知X～B(3,0.3)，
P(X＝0)＝0.73＝0.343，P(X＝1)＝C×0.31×0.72＝0.441，
P(X＝2)＝C×0.32×0.71＝0.189，P(X＝3)＝0.33＝0.027，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.343 0.441 0.189 0.027
E(X)＝3×0.3＝0.9.
10．解　由题意可得，预定一张开幕式门票不成功的概率
P1＝×＝，
成功的概率P2＝＋×＝，
设甲获得的门票数为X，则X的可能取值为0,1,2，
故P(X＝0)＝×＝，
P(X＝1)＝×＋×＝，
P(X＝2)＝×＝，
故X的分布列为
X 0 1 2
P
设乙获得的门票数为Y，
则Y～B，
故P(Y＝0)＝C×2＝，
P(Y＝1)＝C××＝，
P(Y＝2)＝C×2＝，
故Y的分布列为
Y 0 1 2
P
(1)甲、乙两人都没有获得任何门票的概率P＝P(X＝0)P(Y＝0)＝×＝.
(2)乙获得的门票数比甲多的概率P＝P(X＝0)P(Y＝1)＋P(X＝0)P(Y＝2)＋P(X＝1)P(Y＝2)＝×＋×＋×＝.
故乙获得的门票数比甲多的概率为.
11．D　[由随机变量X服从二项分布B(12，p)，可得E(X)＝12p，
因为E(2X－3)＝2E(X)－3＝24p－3＝5，所以p＝.
因为D(X)＝12××＝，
所以D(3X)＝9D(X)＝24.]
12．D　[若走L1路线，设王先生遇到红灯的次数为随机变量X，则X的取值可能为0,1,2,3，
且X～B，
所以E(X)＝3×＝.
若走L2路线，设王先生遇到红灯的次数为随机变量Y，则Y的取值可能为0,1,2，
则由题意知P(Y＝0)＝×＝，
P(Y＝1)＝×＋×＝，
P(Y＝2)＝×＝，
所以E(Y)＝0×＋1×＋2×＝.]
13.
解析　乙队获胜可分为乙队以3∶0或3∶1或3∶2的比分获胜．
乙队以3∶0获胜，即乙队三场全胜，概率为C×3＝；
乙队以3∶1获胜，即乙队前三场两胜一负，第四场获胜，概率为C×2××＝；
乙队以3∶2获胜，即乙队前四场两胜两负，第五场获胜，概率为C×2×2×＝.
所以在这场“五局三胜制”的排球比赛中乙队获胜的概率为＋＋
＝.
14．4
解析　依题意，知X～B(10，p)，
且D(X)＝10p(1－p)＝2.4，
即p2－p＋0.24＝0，
解得p＝0.6或p＝0.4.
又P(X＝4)>P(X＝6)，所以Cp4·(1－p)10－4>Cp6(1－p)10－6，
所以(1－p)2>p2，解得0所以p＝0.4，
所以E(X)＝10p＝10×0.4＝4.
15．B　[模拟试验中，总共进行了10轮，10轮中至少两次投中8环以上的有6轮，用频率估计概率可得该选手拿到优秀的概率为P＝＝，因此，该选手投掷飞镖两轮，这是一个2重伯努利试验，那么至少有一轮可以拿到优秀的概率P＝1－C×0×2＝.]
16．解　(1)依题意，所求新型粮食β的平均亩产量为750×0.05＋760×0.1＋770×0.2＋780×0.25＋790×0.2＋800×0.1＋810×0.05＋820×0.05＝782(公斤)，
因为782>760，故传统粮食α的平均亩产量低于新型粮食β的平均亩产量．
(2)任取1块土地，新型粮食β的亩产量不低于785公斤的概率为，故X～B，故
P(X＝0)＝4＝，
P(X＝1)＝C×1×3＝，
P(X＝2)＝C×2×2＝，
P(X＝3)＝C×3×1＝，
P(X＝4)＝4＝，
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P