7.4.2 超几何分布 课时练（含解析）-2024春高中数学选择性必修3（人教版）

7.4.2　超几何分布
1．(多选)关于超几何分布下列说法正确的是(　　)
A．超几何分布的模型是不放回抽样
B．超几何分布的总体里可以只有一类物品
C．超几何分布中的参数是N，M，n
D．超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成
2．(多选)某企业生产的12个产品中有10个一等品、2个二等品，现从这批产品中任意抽取4个，则其中恰好有1个二等品的概率为(　　)
A．1－ B.
C．1－ D.
3．(多选)在一个袋中装有大小相同的4个黑球、6个白球，现从中任取3个球，设取出的3个球中白球的个数为X，则下列结论正确的是(　　)
A．随机变量X服从超几何分布
B．随机变量X服从二项分布
C．P(X＝2)＝
D．E(X)＝
4．数学老师让同学从6道习题中随机抽3道进行解答，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能解答其中的4道题，则他能及格的概率是(　　)
A. B. C. D.
5．盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的．现从盒中随机抽取4个，则概率是的事件为(　　)
A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的
C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的
6．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本有(　　)
A．2本 B．3本 C．4本 D．5本
7．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝________.
8．莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟．某游客为了节省时间需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是________．
9．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；
(2)该同学能及格的概率．
10．新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想得高分比较困难．为了调动学生学习数学的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方法进行改革，经过一学期的教学实验，张老师所教的80名学生参加一次测试，数学学科成绩都在[50,100]内，按区间分组为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，绘制成如图所示的频率分布直方图，规定不低于80分(百分制)为优秀．
(1)求这80名学生的平均成绩(同一区间的数据用该区间中点值作代表)；
(2)按优秀与非优秀用比例分配的分层随机抽样方法随机抽取10名学生座谈，再在这10名学生中，选3名学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量X，求X的分布列和均值．
11．摇奖器内有10个小球，其中8个小球上标有数字2,2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金X(元)为这3个小球上所标数字之和，则获得12元奖金的概率是(　　)
A. B. C. D.
12．在某次学校的春游活动中，高二(2)班设计了这样一个游戏：一个纸箱里放了5个红球和5个白球，这些球除颜色外其余完全相同，若一次性从中摸出5个球，摸到4个或4个以上红球即中奖，则中奖的概率是(精确到0.001)(　　)
A．0.114 B．0.112
C．0.103 D．0.121
13．(多选)2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动．为了调查学生对冬奥会项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学，10所学校中了解冬奥会项目的人数如图所示．
若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬奥会项目的宣讲活动，记X为被选中的学校中了解冬奥会项目的人数在30以上的学校所数，则下列说法中正确的是(　　)
A．X的可能取值为0,1,2,3
B．P(X＝0)＝
C．E(X)＝1.2
D．D(X)＝
14．若一个随机变量的分布列为P(ξ＝r)＝，其中r＝0,1,2，…，l，l＝min(n，M)，则称ξ服从超几何分布，记为ξ～H(n，M，N)，并将P(ξ＝r)＝记为H(r；n，M，N)，则H(1；3,2,10)＝________.
15．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，则n至少为________．
16．某城市的垃圾分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类．生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗．某环保小组调查了该城市某垃圾处理厂2023年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量(单位：吨)的折线图如图所示．
(1)现从2023年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的概率；
(2)从2023年6月至12月中任意选取2个月，记X为选取的这2个月中废纸的回收量超过3.7吨的月份的个数．求X的分布列及均值．
7.4.2　超几何分布
1．ACD　[由超几何分布的定义，可知超几何模型为不放回抽样，故A正确；
超几何分布实质上就是有总数为N件的两类物品，其中一类有M(M≤N)件，从所有物品中任取n(n≤N)件，这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，
它取值为k时的概率为P(X＝k)＝(k≤r，r是n和M中较小的一个)，
所以B错误；C，D正确．]
2．AD　[从12个产品中任意抽取4个，样本点总数为C；
其中恰好有1个二等品的样本点有CC个，
∴恰好有1个二等品的概率
P＝；
也可由对立事件计算可得
P＝1－.]
3．ACD　[由题意知，随机变量X服从超几何分布，且N＝10，M＝6，n＝3，故A正确，B错误；
P(X＝2)＝＝，故C正确；
E(X)＝＝＝，故D正确．]
4．D　[由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是P(X≥2)
＝P(X＝2)＋P(X＝3)
＝＋＝.]
5．C　[对于A，事件的概率为＝；
对于B，事件的概率为＝；
对于C，事件的概率为＝；
对于D，事件的概率为
＝.]
6．C　[设语文课本有n(n≥2)本，则数学课本有(7－n)本，则2本都是语文课本的概率是＝.
所以n2－n－12＝0，
解得n＝4或n＝－3(舍去)，
所以n＝4.]
7.
解析　易知P(X＝1)＝＝.
8.
解析　　已知8个开放洞窟中有3个最值得参观，随机选择4个进行参观，至少包含2个最值得参观洞窟包括2个或3个两种情况．
则所求概率P＝＝.
9．解　(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，
X的可能取值为0,1,2,3，且服从超几何分布，
则P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)该同学能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)
＝＋＝.
10．解　(1)80名学生的平均成绩为(55×0.01＋65×0.03＋75×0.03＋85×0.025＋95×0.005)×10＝73.5.
(2)根据频率分布直方图知，优秀学员对应的频率为(0.025＋0.005)×10＝0.3，
则非优秀学员对应的频率为1－0.3＝0.7，
所以抽取的10名学生中，有优秀学生10×0.3＝3(人)，非优秀学生10×0.7＝7(人)．
则X所有可能的取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
11．A　[当摇出的3个小球中有1个标有数字2,2个标有数字5时，X＝12，故P(X＝12)＝＝.]
12．C　[设摸出的红球个数为X，则X服从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝5，于是中奖的概率为P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝＋≈0.103.]
13．ACD　[由题意可得X的可能取值为0,1,2,3，故A正确；
分析可得X服从超几何分布，
其分布列为P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)，则P(X＝0)＝＝，故B错误；
E(X)＝＝1.2，故C正确；
D(X)＝(0－1.2)2×＋(1－1.2)2×＋(2－1.2)2×＋(3－1.2)2×＝，故D正确．]
14.
解析　根据题意可知，r＝1，n＝3，
M＝2，N＝10，
所以H(1；3,2,10)
＝P(ξ＝1)＝＝.
15．15
解析　用X表示中奖票数，
P(X≥1)＝＋>0.5，
解得n≥15.
16．解　(1)记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件A，
由图知，只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨，
∴P(A)＝.
(2)6月至12月废纸的回收量超过3.7吨的月份有7月、8月、10月，
共3个月．
∴X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
∴均值E(X)＝0×＋1×＋2×＝.