7.5 正态分布 课时练（含解析）-2024春高中数学选择性必修3（人教版）

§7.5　正态分布
1．已知随机变量X～N(6,1)，且P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，则P(7A．0.135 8 B．0.271 6
C．0.135 9 D．0.271 8
2．某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是(　　)
A．σ越小，该物理量在一次测量中测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大
B．该物理量在一次测量中测量结果大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中测量结果小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中测量结果落在(9.9,10.2)内与落在(10,10.3)内的概率相等
3．已知随机变量X～B(6，p)，Y～N(μ，σ2)，且P(Y≥2)＝，E(X)＝E(Y)，则p等于(　　)
A. B. C. D.
4．某中学抽取了1 600名同学进行身高调查，已知样本的身高(单位：cm)服从正态分布N(170，σ2)．若身高在165 cm到175 cm的人数占样本总数的，则样本中不高于165 cm的人数约为(　　)
A．80 B．160 C．240 D．320
5．(多选)已知三个正态密度函数fi(x)＝(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．σ1＝σ2 B．μ1>μ3
C．μ2＝μ3 D．σ2<σ3
6．(多选)已知若ξ～N(μ，σ2)，则～N(0,1)．某次数学考试满分150分，甲、乙两校各有1 000人参加考试，其中甲校成绩X～N(90，302)，乙校成绩Y～N(95，202)，则(　　)
A．甲校成绩在80分及以下的人数多于乙校
B．乙校成绩在110分及以上的人数少于甲校
C．甲、乙两校成绩在90～95分的人数占比相同
D．甲校成绩在85～95分与乙校成绩在90～100分的人数占比相同
7．设随机变量ξ服从正态分布N(4,3)，若P(ξa＋1)，则实数a＝________.
8．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．
9．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1)；第二条路线较长不拥挤，X服从N(6,0.16)．若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？
10．某单位为了解职工对垃圾回收知识的重视情况，对本单位的200名职工进行考核，然后通过随机抽样抽取其中的50名，统计其考核成绩(单位：分)，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求这50名职工考核成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)及中位数t(精确到0.01)；
(2)若该单位职工的考核成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为50名职工考核成绩的平均数，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝27.68，利用该正态分布，估计该单位200名职工考核成绩高于90.06分的有多少名？(结果四舍五入保留整数)
参考数据：≈5.26，若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
11．已知某批零件的长度X(单位：毫米)服从正态分布N(60，σ2)，且P(X<62)＝0.8，从中随机取一个零件，其长度落在区间(58,60)内的概率为(　　)
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
12．已知某节假日期间，某高速公路收费站的四个高速收费口每天通过的小汽车数Xi(i＝1,2,3,4)(单位：辆)均服从正态分布N(600，σ2)，若P(500A. B. C. D.
13．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且一元二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，则μ＝______.
14．某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布N(100，σ2)．质量指标大于等于99且小于等于101的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得σ至多为________．(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|≤2σ)≈0.954 5)
15．某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，以单次最大续航里程500公里为标准进行测试，且每辆汽车是否达到标准相互独立，设每辆新能源汽车达到标准的概率为p(0A．0.2 B．0.3 C．0.6 D．0.8
16．已知某军区新兵50 m步枪射击个人平均成绩X(单位：环)服从正态分布N(μ，σ2)，从中随机抽取100名新兵的个人平均成绩，得到如下的频数分布表：
X 4 5 6 7 8 9
频数 1 2 26 40 29 2
(1)求μ和σ2的值(用样本的均值和方差代替总体的均值和方差)；
(2)从这个军区随机抽取1名新兵，求此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在区间(7.9,8.8]的概率．
参考数据：≈0.9.
§7.5　正态分布
1．C　[由题设可得P(5≤X≤7)≈0.682 7，
P(4≤X≤8)≈0.954 5，
则P(72．D　[因为某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，
所以测量结果的分布关于直线x＝10对称，且方差σ2越小，分布越集中．
对于A，σ越小，测量结果的分布越集中在10左右，则该物理量在一次测量中测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故选项A正确；
对于B，不管σ取何值，测量结果大于10的概率均为0.5，故选项B正确；
对于C，由于测量结果的分布关于直线x＝10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故选项C正确；
对于D，由于测量结果的分布是集中在10附近的，(9.9,10.2)分布在10附近的区域大于(10，10.3)分布在10附近的区域，故测量结果落在(9.9,10.2)内的概率大于落在(10,10.3)内的概率，故选项D错误．]
3．B　[因为随机变量X～B(6，p)，
所以E(X)＝6p，
因为Y～N(μ，σ2)，P(Y≥2)＝，
所以μ＝2，即E(Y)＝2，
又E(X)＝E(Y)，
所以6p＝2，即p＝.]
4．B　[P(X≤165)＝×＝，则样本中不高于165 cm的人数约为1 600×＝160.]
5．ACD　[根据正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大，图象越靠近右边，所以μ1<μ2＝μ3，故B错误，C正确；
又σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，所以σ1＝σ2<σ3，故A，D正确．]
6．AB　[当X≤80时，≤－，当Y≤80时，≤－，由标准正态分布可知P(X≤80)>P(Y≤80)，故A正确；
当X≥110时，≥，当Y≥110时，≥，
所以P(X≥110)>P(Y≥110)，故B正确；
由于甲、乙学校成绩在90～95分转化为标准正态分布对应的概率分别为
P，P，
由正态分布的对称性知，
P>P，甲、乙两校成绩在90～95分的人数占比不同，故C错误；
由于甲校方差大于乙校，所以在均值附近左右两侧取相同宽度的取值区间时，转化为标准正态分布，甲校对应概率小于乙校对应概率，故D错误．]
7．6
解析　由题意，随机变量ξ服从正态分布N(4,3)，可得μ＝4，σ2＝3，
又P(ξa＋1)，
所以a－5＋a＋1＝8，解得a＝6.
8．0.8
解析　因为随机变量ξ的均值为1，所以P(1<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＝0.4，
所以P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)＝0.8.
9．解　还有7分钟时：
若选第一条路线，即X～N(5,1)，能及时到达的概率P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5＝＋P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)．
若选第二条路线，即X～N(6,0.16)，能及时到达的概率
P2＝P(X≤7)
＝P(X≤6)＋P(6＝＋P(μ－2.5σ≤X≤μ＋2.5σ)．
因为P1同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线．
10．解　(1)依题意，这50名职工考核成绩的平均数＝74×0.04＋78×0.12＋82×0.28＋86×0.36＋90×0.10＋94×0.06＋98×0.04＝84.80(分)，
由频率分布直方图得t∈[84,88]，
∴0.01×4＋0.03×4＋0.07×4＋0.09×(t－84)＝0.5，
∴中位数t≈84.67分．
(2)由题意得X～N(84.80,27.68)，
μ＋σ＝84.80＋≈90.06，
∴P(X>μ＋σ)
≈－≈0.158 7，
∴200×0.158 7≈32(名)，
∴估计该单位200名职工考核成绩高于90.06分的有32名．
11．A　[由题意知X～N(60，σ2)，
所以μ＝60，
所以P(X<62)＝0.8＝
P(X≤60)＋P(60又P(X≤60)＝0.5，
所以P(60由正态曲线的对称性可得
P(5812．D　[根据正态曲线的对称性可知，每个收费口有不低于700辆小汽车通过的概率P(Xi≥700)
＝×[1－P(500＝×
＝(i＝1,2,3,4)，
所以这四个收费口每天至少有一个不低于700辆小汽车通过的概率
P＝1－4＝.]
13．4
解析　因为方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，由Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4，即P(ξ>4)＝＝1－P(ξ≤4)，故P(ξ≤4)＝，所以μ＝4.
14.
解析　依题可知，μ＝100，再根据题意以及正态曲线的特征可知，|X－100|≤2σ的解集A [99,101]，
由|X－100|≤2σ可得，
100－2σ≤X≤100＋2σ，
所以
解得σ≤，故σ至多为.
15．A　[设100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率为f(p)，
则f(p)＝Cp80(1－p)20(0则f′(p)＝Cp79(1－p)19(80－100p)．
当p∈(0,0.8)时，f′(p)>0，
所以f(p)在(0,0.8)上单调递增；
当p∈(0.8,1)时，f′(p)<0，
所以f(p)在(0.8,1)上单调递减．
所以f(p)在p＝0.8处取得最大值．
所以P(X≥600)＝P(X≤500)＝1－P(X≥500)＝1－0.8＝0.2.]
16．解　(1)由题意，得随机抽取的100名新兵的个人平均成绩的分布列为(用频率估计概率)：
X 4 5 6 7 8 9
P 0.01 0.02 0.26 0.40 0.29 0.02
均值E(X)＝4×0.01＋5×0.02＋6×0.26＋7×0.40＋8×0.29＋9×0.02＝7，
方差D(X)＝(4－7)2×0.01＋(5－7)2×0.02＋(6－7)2×0.26＋(7－7)2×0.40＋(8－7)2×0.29＋(9－7)2×0.02＝0.8.
用样本的均值和方差代替总体的均值和方差，得μ＝7，σ2＝0.8.
(2)由(1)知X～N(7,0.8)，因为≈0.9，所以σ≈0.9，
因为P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，
所以P(7.9[P(5.2≤X≤8.8)－P(6.1≤X≤7.9]
≈×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9，
即从这个军区随机抽取1名新兵，此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在区间(7.9,8.8]的概率约为0.135 9.