第七章 二项分布与超几何分布的综合应用（含解析）-2024春高中数学选择性必修3（人教版）

习题课　二项分布与超几何分布的综合应用
1．某一档深受观众喜爱的电视节目采用组团比赛的方式进行，参赛选手需要全部参加完五场公开比赛，其中五场中有四场获胜，就能取得参加决赛的资格．若某参赛选手每场比赛获胜的概率是，则这名选手能参加决赛的概率是(　　)
A. B. C. D.
2．PM2.5是指环境空气中空气动力学当量直径小于等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2022年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如表所示．
PM2.5日均值(微克/立方米) (25，35] (35，45] (45，55] (55，65] (65，75] (75，85]
频数 3 1 1 1 1 3
从这10天的数据中任取3天数据，记X表示抽到PM2.5监测值超标的天数，则X的均值是(　　)
A. B. C. D.
3．某同学上学路上要经过3个红绿灯，在每个红绿灯处遇到红灯的概率都是，且在各红绿灯处是否遇到红灯是相互独立的，记X为遇到红灯的次数，若Y＝3X＋5，则Y的标准差为(　　)
A. B．3
C. D．2
4．(多选)在一个袋中装有大小一样的6个豆沙粽，4个咸肉粽，现从中任取4个粽子，设取出的4个粽子中咸肉粽的个数为X，则下列结论正确的是(　　)
A．P(X＝2)＝
B．E(X)＝
C．随机变量X服从超几何分布
D．P(15．从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)等于(　　)
A．2 B．1 C．3 D．4
6.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数的概率为(　　)
A. B. C. D.
7．某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图(如图所示)．已知成绩在[90,100]的学生人数为8，且有4个女生的成绩在[50,60)中，则n＝________，现从成绩在[50,60)的样本中随机抽取2名学生，记所抽取学生中女生的人数为ξ，则ξ的均值是________．
8．某公司有日生产件数为95的“生产能手”3人，有日生产件数为55的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的标准差为________．
9．某校计划举行知识竞赛，对前来报名者进行初试，初试合格者进入正赛．初试有备选题6道，从备选题中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者视为合格．已知甲、乙两人报名参加，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对相互独立．
(1)分别求甲、乙两人进入正赛的概率；
(2)记甲、乙两人中进入正赛的人数为ξ，求ξ的分布列及E(2ξ－1)．
10．从某市统考的数学试卷中随机抽查100份，分别统计出这些试卷的成绩，由总分得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求这100份数学试卷成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)在样本中，从数学成绩不低于125分的试卷中，随机抽取3份进行答卷情况分析，设X为抽取的试卷成绩不低于135分的试卷份数，求X的分布列及均值．
11．(多选)如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0,1,2,3，…，10，用X表示小球落入格子的号码，则(　　)
A．P(X＝1)＝P(X＝9)＝
B．P(X＝1)＝P(X＝9)＝
C．E(X)＝10
D．D(X)＝
12．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P(X≥－80)等于(　　)
A. B. C. D.
13．口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是(　　)
A．E(ξ)＜E(η)，D(ξ)＜D(η)
B．E(ξ)＞E(η)，D(ξ)＜D(η)
C．E(ξ)＜E(η)，D(ξ)＞D(η)
D．E(ξ)＞E(η)，D(ξ)＞D(η)
14．为了降低对大气污染和能源消耗，某品牌汽车制造商研发了两款电动汽车(车型A和车型B)，并在“十一黄金周”期间同时投放市场．为了了解这两款车型在“十一黄金周”的销售情况，制造商随机调查了5家汽车4S店的销量(单位：台)，得到如下数据：
4S店 车型 甲 乙 丙 丁 戊
车型A 6 6 13 8 11
车型B 12 9 13 6 4
现从这5家汽车4S店中任选3家举行促销活动，用X表示其中车型A销量超过车型B销量的4S店的个数，则D(X)＝________.
15．如果一个数含有正偶数个数字8，就称它为“优选数”(如188,38 888等)，否则就称它为“非优选数”，从由数字0,1,2，…，9共10个数字组成的四位数中任意抽取10个数，用随机变量X表示抽到的“优选数”的个数，则E(X)＝________.
16．幸福农场生产的某批次的20件产品中含有n件次品，从中一次任取10件，其中次品恰有X件．
(1)若n＝3，求取出的产品中次品不超过1件的概率；
(2)记f(n)＝P(X＝3)，则当n为何值时，f(n)取得最大值．
习题课　二项分布与超几何分布的综合应用
1．D　[由题意可知五场中获胜的场次X～B， 所以所求选手能参加决赛的概率P＝C×4×＋C×5×0＝.]
2．A　[由题意知，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，所以E(X)＝＝＝.]
3．A　[因为该同学经过每个红绿灯时是否遇到红灯互不影响，所以可看成3重伯努利试验，
即X～B，
则X的方差D(X)
＝3××＝，
所以Y的方差D(Y)＝32·D(X)＝9×＝6，
所以Y的标准差为＝.]
4．ACD　[由题意知，随机变量X服从参数为10,4,4的超几何分布，
则E(X)＝＝，所以B错误，C正确；
又P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以P(1＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝，
所以A，D正确．]
5．C　[ξ的可能取值为0,1,2.
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
于是E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，
故E(5ξ＋1)＝5E(ξ)＋1＝5×＋1＝3.]
6．C　[由题意可知，10个数中，1,3,5,7,9是阳数，2,4,6,8,10是阴数，
若任取3个数中有2个阳数，
则P＝＝＝，
若任取3个数中有3个阳数，
则P＝＝＝，
故这3个数中至少有2个阳数的概率P＝＋＝.]
7．50　
解析　依题意得0.016×10n＝8，
则n＝50.
成绩在[50,60)的人数为0.012×10×50＝6，
其中4个为女生，2个为男生．
ξ的可能取值为0,1,2.
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
故E(ξ)＝0×＋1×＋2×
＝.
8．24
解析　由题意，可得X的所有可能取值为190,150,110，且P(X＝190)＝＝，P(X＝150)＝＝，P(X＝110)＝＝，则E(X)＝190×＋150×＋110×＝158，标准差为＝＝24.
9．解　(1)设甲、乙两人答对的题目数分别为X，Y，则Y～B，
可得甲进入正赛的概率
P1＝＝，
乙进入正赛的概率P2＝P(Y＝3)＋P(Y＝4)＝C×3×＋C×4＝，
故甲、乙两人进入正赛的概率分别为，.
(2)由题意可得，ξ的可能取值为0,1,2，则有
P(ξ＝0)＝(1－P1)(1－P2)
＝×＝，
P(ξ＝1)＝P1(1－P2)＋(1－P1)P2＝×＋×＝，
P(ξ＝2)＝P1P2＝×＝，
则ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
则E(ξ)＝0×＋1×＋2×
＝，
故E(2ξ－1)＝2E(ξ)－1＝.
10．解　(1)这100份数学试卷成绩的平均数为
60×0.02＋70×0.08＋80×0.14＋90×0.15＋100×0.24＋110×0.15＋120×0.1＋130×0.08＋140×0.04＝100.
(2)抽查的100份试卷中，成绩位于区间[125,135)的有8份，
位于区间的有4份，共计12份试卷．
从中抽取3份试卷，这3份试卷中成绩在的试卷份数X的可能取值是0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
X的均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝1.
11．AD　[设A＝“向右下落”，＝“向左下落”，则P(A)＝P()＝，
因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次，
所以X～B，于是P(X＝1)＝C××9＝，
同理可得，P(X＝9)＝C×9×＝，A正确，B错误；由二项分布求均值及方差公式得，E(X)＝10×＝5，D(X)＝10××＝，C错误，D正确．]
12．B　[由题意得该产品能销售的概率为×＝，
易知X的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，
设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ～B，所以P(ξ＝k)＝C×k×4－k，k＝0,1,2,3,4.
所以P(X＝－80)＝P(ξ＝2)＝C×2×2＝，P(X＝40)＝P(ξ＝3)＝C×3×1＝，P(X＝160)＝P(ξ＝4)＝C×4×0＝，
故P(X≥－80)＝P(X＝－80)＋P(X＝40)＋P(X＝160)
＝＋＋＝.]
13．A　[当n＝3时，ξ的可能取值为1,2，3，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
∴E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2，
D(ξ)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝.
当n＝4时，η的可能取值为1,2,3,4，
P(η＝1)＝＝，
P(η＝2)＝＝，
P(η＝3)＝＝，
P(η＝4)＝＝，
∴E(η)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，
D(η)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.
∴E(ξ)14.
解析　由表可知，车型A销量超过车型B销量的4S店有2家，则X的所有可能取值为0,1,2，
且P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝，
D(X)＝2×＋2×＋2×＝.
15.
解析　当四位数中含有两个8时，若8不在首位，共有C×8×9＝216(个)，若8在首位，共有C×9×9＝243(个)；当四位数中含有四个8时，只有一种结果，所以从由数字0,1,2，…，9组成的四位数中，“优选数”共有460个，X的可能取值为0,1,2，…，9,10，已知随机变量X服从超几何分布，其中n＝10，M＝460，N＝9 000，故E(X)＝＝＝ .
16．解　(1)记“取出的产品中次品不超过1件”为事件A，
则P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝1)．
因为P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
所以P(A)＝＋＝.
则取出的产品中次品不超过1件的概率是.
(2)因为f(n)＝P(X＝3)＝，
则f(n＋1)＝.
由＝
＝>1，解得n<.
因为n∈N*，则n≤5，
故当3≤n≤5时，>1；
当6≤n≤13时，<1；
所以当n＝6时，f(n)取得最大值．