第2课时 计数原理的综合应用
1．某城市的电话号码由七位升为八位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是( )
A．9×8×7×6×5×4×3×2
B．8×97
C．9×107
D．8.1×107
2．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定左数第2个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这10个数字中选择(数字可以重复)．若某车主左数第1个号码只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他可选的车牌号码的所有可能情况有( )
A．180种 B．360种
C．720种 D．960种
3．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A．144 B．120 C．72 D．24
4.一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有( )
A．6种 B．8种
C．36种 D．48种
5.有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有( )
A．4 320种 B．2 880种
C．1 440种 D．720种
6．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有( )
A．360种 B．50种
C．60种 D．90种
7.现有五种不同的颜色，要对图形中的四个部分进行着色，要求相邻两块不能用同一种颜色，不同的涂色方法有________种．
8．用数字1,2组成一个四位数，则数字1,2都出现的四位偶数有________个．
9．将三个分别标有A，B，C的球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中．
求：(1)1号盒中无球的不同放法种数；
(2)1号盒中有球的不同放法种数．
10.在如图所示的4块试验田中，有4种不同的作物可供选择种植，每块种植一种作物，相邻的试验田(有公共边)不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？
11.将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图是一种填法，则不同的填写方法共有( )
A．6种 B．12种
C．24种 D．48种
12．某公司新招聘进8名员工，平均分给甲、乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一个部门，另外3名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是( )
A．18 B．24 C．36 D．72
13．(多选)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的三位自然数，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301,423等都是“凹数”，则下列结论中正确的是( )
A．组成的三位数的个数为60
B．在组成的三位数中，偶数的个数为30
C．在组成的三位数中，“凹数”的个数为20
D．在组成的三位数中，“凹数”的个数为30
14.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．
15．现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则不同的选取种数为________，m，n都取到奇数的概率为________．
16．一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N*)等份，种植红、黄、蓝三种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．
(1)如图①，圆环分成3等份，分别为a1，a2，a3，则有多少种不同的种植方法？
(2)如图②，圆环分成4等份，分别为a1，a2，a3，a4，则有多少种不同的种植方法？
第2课时 计数原理的综合应用
1．D [当电话号码是七位数字时，该城市可安装电话9×106部，同理升为八位时为9×107部，所以可增加的电话部数是9×107－9×106＝8.1×107.]
2．D [按照车主的要求，左数第1个号码有5种选法，第2个号码有3种选法，其余3个号码各有4种选法，因此共有5×3×4×4×4＝960(种)情况．]
3．D [先将3把空椅子隔开摆放，此时3把空椅子中间和两边共有4个空隙供3人(不妨记为甲、乙、丙)选择就座，因此可分三步：甲从4个空隙中任选一个空隙，有4种不同的选择；乙从余下的3个空隙中任选一个空隙，有3种不同的选择；丙从余下的2个空隙中任选一个空隙，有2种不同的选择．根据分步乘法计数原理，得任何两人不相邻的坐法种数为4×3×2＝24.]
4．D [选择参观路线分步完成：第一步选择三个“环形”路线中的一个，有3种方法，再按逆时针或顺时针方向参观有2种方法；第二步选择余下两个“环形”路线中的一个，有2种方法，也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法；最后一个“环形”路线，也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×2×2×2×2＝48(种)参观路线．]
5．A [第1个区域有6种不同的涂色方法，第2个区域有5种不同的涂色方法，第3个区域有4种不同的涂色方法，第4个区域有3种不同的涂色方法，第5个区域有4种不同的涂色方法，第6个区域有3种不同的涂色方法，根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×3×4×3＝4 320(种)不同的涂色方法．]
6．B [①甲同学选择牛，乙有2种选法，丙有10种选法，选法有1×2×10＝20(种)，②甲同学选择马，乙有3种选法，丙有10种选法，选法有1×3×10＝30(种)，所以共有20＋30＝50(种)选法．]
7．180
解析 依次给区域Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ涂色分别有5,4,3,3种方法，根据分步乘法计数原理，不同的涂色方法有5×4×3×3＝180(种)．
8．7
解析 由四位数是偶数知，最后一位是2.在四位数中，当出现1个1时，有1 222,2 122,2 212，共3个；当出现2个1时，有1 122,1 212,2 112，共3个；当出现3个1时，只有1 112这1个四位偶数．故数字1,2都出现的四位偶数有3＋3＋1＝7(个)．
9．解 (1)1号盒中无球即A，B，C三个球只能放入2,3,4号盒子中，有33＝27(种)放法．
(2)1号盒中有球可分三类：第一类是1号盒中有一个球，共有3×32＝27(种)放法，第二类是1号盒中有两个球，共有3×3＝9(种)放法，第三类是1号盒中有三个球，有1种放法．
共有27＋9＋1＝37(种)放法．
10．解 方法一 第一步，种植A试验田，有4种方法；
第二步，种植B试验田，有3种方法；
第三步，若C试验田种植的作物与B试验田相同，
则D试验田有3种方法，
此时有1×3＝3(种)种植方法．
若C试验田种植的作物与B试验田不同，
则C试验田有2种种植方法，D试验田也有2种种植方法，此时有2×2＝4(种)种植方法．
由分类加法计数原理知，有3＋4＝7(种)种植方法．
第四步，由分步乘法计数原理得，
共有N＝4×3×7＝84(种)不同的种植方法．
方法二 (1)若A，D种植同种作物，
则A，D有4种不同的种法，B有3种种植方法，C也有3种种植方法，由分步乘法计数原理得，
共有4×3×3＝36(种)种植方法．
(2)若A，D种植不同作物，则A有4种种植方法，D有3种种植方法，B有2种种植方法，C有2种种植方法，由分步乘法计数原理得，共有4×3×2×2＝48(种)种植方法．
综上所述，由分类加法计数原理得，共有N＝36＋48＝84(种)种植方法．
11．B [假设第一行为1,2,3，则第二行第一列可为2或3，此时其他剩余的空格都只有一种填法，又第一行有3×2×1＝6(种)填法．故不同的填写方法共有6×2＝12(种)．]
12．C [由题意可得，分两类：①甲部门要2名电脑编程人员，则有3种方法；翻译人员的分配有2种方法；再从剩下的3个人中选1人，有3种方法，共3×2×3＝18(种)分配方案．②甲部门要1名电脑编程人员，则有3种方法；翻译人员的分配有2种方法；再从剩下的3个人中选2人，有3种方法，共3×2×3＝18(种)分配方案．由分类加法计数原理，可得不同的分配方案共有18＋18＝36(种)．]
13．BC [对于A，因为百位数上的数字不能为零，所以组成的三位数的个数为4×4×3＝48，故A错误；
对于B，将组成的三位数的偶数分为两类，①个位为0，则有4×3＝12(个)，②个位为2或4，则有2×3×3＝18(个)，所以在组成的三位数中，偶数的个数为12＋18＝30，故B正确；
对于C，D，将这些“凹数”分为三类，①十位为0，则有4×3＝12(个)，②十位为1，则有3×2＝6(个)，③十位为2，则有2×1＝2(个)，所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为12＋6＋2＝20，故C正确，D错误．]
14．40
解析 满足条件的有两类：
第一类，与正八边形有两条公共边的三角形有8个；
第二类，与正八边形有一条公共边的三角形有
8×4＝32(个)．
所以满足条件的三角形共有8＋32＝40(个)．
15．63
解析 因为正整数m，n满足m≤7，n≤9，所以(m，n)所有可能的取值有7×9＝63(种)，其中m，n都取到奇数的情况有4×5＝20(种)，因此所求概率为.
16．解 (1)先种植a1部分，有3种不同的种植方法，再种植a2，a3部分．
因为a2，a3与a1的颜色不同，a2，a3的颜色也不同，所以由分步乘法计数原理得，
不同的种植方法有3×2×1＝6(种)．
(2)当a1，a3不同色时，
有3×2×1×1＝6(种)种植方法，当a1，a3同色时，
有3×2×1×2＝12(种)种植方法，
由分类加法计数原理得，共有6＋12＝18(种)种植方法．§6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第1课时 计数原理及其简单应用
1．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选1本阅读，则不同的选法共有( )
A．24种 B．9种
C．3种 D．26种
2．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个不同的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有( )
A．30个 B．42个
C．36个 D．35个
3.如图所示，在A，B间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，那么电路不通时焊接点脱落的不同情况有( )
A．9种 B．11种
C．13种 D．15种
4．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有( )
A．24种 B．16种
C．12种 D．10种
5．某同学有4件不同颜色的衬衣、3件不同花样的半裙，另有2套不同样式的连衣裙．参加学校活动需选择一套服装参加歌舞演出，则该同学不同的穿衣服的方式有( )
A．24种 B．14种
C．10种 D．9种
6．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )
A．6种 B．12种
C．24种 D．30种
7．若在图1所示的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有________种不同的方法；在图2所示的电路中，合上两个开关可以接通电路，有________种不同的方法．
8．用1,2,3这3个数字组成的没有重复数字的整数有________个．
9．有一项活动，需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加．
(1)若只需1人参加，则有多少种不同的选法？
(2)若需教师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？
10．用0,1,2,3,4,5这6个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”，求上述四位数中“渐降数”的个数．
11．小张与其3位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有( )
A．27种 B．36种 C．54种 D．81种
12．从标号分别为1,2,3,4的四个红球和标号分别为1,2,3的三个黑球及标号分别为1,2的两个白球中取出不同颜色的两个小球，不同的取法共有( )
A．24种 B．9种
C．10种 D．26种
13．计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有( )
A．24种 B．36种
C．42种 D．60种
14．用数字3,6,9组成四位数，各数位上的数字允许重复，且数字3至多出现一次，则可以组成的四位数的个数为( )
A．81 B．48 C．36 D．24
15．如图所示，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径的条数为( )
A．24 B．18 C．12 D．9
16．用1,2,3,4四个数字(可重复)排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}．
(1)写出这个数列的前11项；
(2)这个数列共有多少项？
(3)若an＝341，求n.
§6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第1课时 计数原理及其简单应用
1．B [不同的杂志本数为4＋3＋2＝9，从其中任选1本阅读，共有9种选法．]
2．C [要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)，有6种方法，第二步确定a，有6种方法，故由分步乘法计数原理知，共有6×6＝36(个)虚数．]
3．C [按照可能脱落的个数分类讨论．
若脱落1个，则有(1)，(4)，共2种情况；
若脱落2个，则有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种情况；
若脱落3个，则有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4种情况；
若脱落4个，则有(1,2,3,4)，共1种情况；
综上，共有2＋6＋4＋1＝13(种)情况．]
4．C [完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；
同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12(种)不同的行车路线．]
5．B [其穿衣方式分两类，
第一类，不选连衣裙有4×3＝12(种)方式，
第二类，选连衣裙有2种方式，
由分类加法计数原理知，共有12＋2＝14(种)不同的穿衣服的方式．]
6．C [可分三步完成：
第一步，甲、乙选相同的1门共有4种选法；
第二步，甲再选1门有3种选法；
第三步，乙再选1门有2种选法，
由分步乘法计数原理知，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有4×3×2＝24(种)．]
7．5 6
解析 对于图1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2＋3＝5(种)不同的方法．对于图2，按要求接通电路必须分两步进行：第一步，合上A中的一个开关；第二步，合上B中的一个开关，故有2×3＝6(种)不同的方法．
8．15
解析 分三类：
第一类为一位整数，有3个；
第二类为两位整数，有12,13,21,23,31,32，共6个；
第三类为三位整数，有123,132,213,231,312,321，
共6个．
∴组成的没有重复数字的整数有3＋6＋6＝15(个)．
9．解 (1)选1人，可分3类：
第1类，从教师中选1人，有3种不同的选法；
第2类，从男同学中选1人，有8种不同的选法；
第3类，从女同学中选1人，有5种不同的选法．
共有3＋8＋5＝16(种)不同的选法．
(2)选教师、男同学、女同学各1人，分3步进行：
第1步，选教师，有3种不同的选法；
第2步，选男同学，有8种不同的选法；
第3步，选女同学，有5种不同的选法．
共有3×8×5＝120(种)不同的选法．
10．解 分三类：
第一类，千位数字为3时，“渐降数”只有3 210，共1个；
第二类，千位数字为4时，“渐降数”有4 321,4 320，4 310，4 210，共4个；
第三类，千位数字为5时，“渐降数”有5 432,5 431，5 430，5 421,5 420，5 410，5 321,5 320,5 310,5 210，
共10个．
由分类加法计数原理，共有1＋4＋10＝15(个)“渐降数”．
11．C [小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，根据分步乘法计数原理，共有2×3×3×3＝54(种)不同的报名方法．]
12．D [从三种不同颜色的球中取出不同颜色的两个小球，共有三类情况：
第一类，红球＋黑球，
共有4×3＝12(种)；
第二类，红球＋白球，
共有4×2＝8(种)；
第三类，黑球＋白球，共有3×2＝6(种)，故取出不同颜色的两个小球共有12＋8＋6＝26(种)不同的取法．]
13．D [把3个项目分配到4个体育馆，所有方案共有4×4×4＝64(种)，其中，3个项目被分配到同一体育馆进行有4种方法，故满足条件的分配方案有64－4＝60(种)．]
14．B [根据题意，数字3至多出现一次，分2种情况讨论：①数字3不出现，此时四位数的每个数位都可以为6或9，都有2种情况，则此时四位数有2×2×2×2＝16(个)；②数字3出现1次，则数字3出现的情况有4种，剩下的三个数位，可以为6或9，都有2种情况，此时四位数有4×2×2×2＝32(个)，故共有16＋32＝48(个)四位数．]
15．B [由题意知，E→F有6条最短路径，F→G有3条最短路径，
由分步乘法计数原理知，共有6×3＝18(条)最短路径．]
16．解 (1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133.
(2)这个数列的项数就是用1,2,3,4排成的三位数的个数，每个数位上都有4种排法，则共有4×4×4＝64(项)．
(3)比an＝341小的数有两类：
①
1 × ×
2 × ×
②
3 1 ×
3 2 ×
3 3 ×
共有2×4×4＋1×3×4＝44(项)．
所以n＝44＋1＝45.
