第七章 随机变量及其分布 章末检测试卷二（含解析）-2024春高中数学选择性必修3（人教版）
文档属性
| 名称 | 第七章 随机变量及其分布 章末检测试卷二（含解析）-2024春高中数学选择性必修3（人教版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 73.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-12 13:11:14 | ||
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文档简介
第七章 随机变量及其分布 章末检测试卷二
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X<1)＝0.1，则P(3≤X≤5)等于( )
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
2．从一副不含大小王的52张扑克牌(即A，2，3，…，10，J，Q，K不同花色的各4张)中任意抽出5张，恰有3张A的概率是( )
A. B.
C. D.
3．已知随机变量ξ～N(3,22)，若ξ＝2η＋3，则D(η)等于( )
A．0 B．1 C．2 D．4
4．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是( )
A. B. C. D.
5．设随机变量X的分布列如表所示，则P(|X－3|＝1)等于( )
X 1 2 3 4
P m
A. B. C. D.
6．一名刚入伍的士兵带着一把步枪到练习场地打靶，已知此步枪每次只装3发子弹，若命中目标或子弹打完，则停止练习．新兵第一枪命中靶标的概率为0.7，第二枪命中靶标的概率为0.4，第三枪命中靶标的概率为0.3，则在已知靶标被击中的条件下，士兵开第二枪命中的概率为( )
A. B. C. D.
7．盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从中任取3个球，则第二次取出的球都是新球的概率为( )
A. B. C. D.
8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a－b|的取值”，则ξ的均值E(ξ)为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 4 5
P q 0.3 0.2 0.2 0.1
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有( )
A．E(X)＝2 B．E(Y)＝4
C．D(X)＝2.8 D．D(Y)＝14
10．已知一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论中正确的有( )
A．从中任取3个球，恰有1个白球的概率是
B．从中有放回地取球6次，每次任取1个球，则取到红球次数的方差为
C．现从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为
D．从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则取到两次红球的概率为
11．某计算机程序每运行一次都会随机出现一个五位二进制数A＝(例如10100)，其中A的各位上的数字ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a2＋a3＋a4＋a5，则当程序运行一次时( )
A．X服从二项分布
B．P(X＝2)＝
C．E(X)＝
D．D(X)＝
12．已知X～N(μ，σ2)，f(x)＝，x∈R，则( )
A．曲线y＝f(x)与x轴之间的区域的面积小于1
B．函数f(x)图象关于直线x＝μ对称
C．P(X>μ－σ)＝2P(μD．函数F(x)＝P(X>x)是增函数
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．随着互联网的发展，网购早已融入人们的日常生活．网购的苹果在运输过程中容易出现碰伤，假设在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为0.7，每箱苹果在运输中互不影响，则网购2箱苹果恰有1箱在运输中出现碰伤的概率为________．
14．从4种不同的颜色中选出一些颜色给如图所示的3个格子涂色，每个格子涂一种颜色，记事件A为“相邻的2个格子颜色不同”，事件B为“3个格子的颜色均不相同”，则P(B|A)＝________.
15．针对“中学生追星问题”，某校团委做了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的.现随机选择一名学生，则这名学生追星的概率是________．
16．一日之计在于晨，一年之计在于春，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的n(n∈N*)个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．则当n＝________时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为________．
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(10分)某种疾病能导致心肌受损害，若第一次患该病，则心肌受损害的概率为0.3，第一次患病心肌未受损害而第二次再患该病时，心肌受损害的概率为0.6，试求某人患病两次心肌未受损害的概率．
18．(12分)一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z(单位：mm)服从正态分布N(240，σ2)，且P(z≤248)＝0.95.
(1)求z<232或z>248的概率；
(2)若从该条生产线上随机选取3个零件，设X表示零件尺寸小于232 mm或大于248 mm的零件个数，求X＝2的概率．
19．(12分)某市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类．生活垃圾中有30%～40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源．如：回收利用1 t废纸可再造出0.8 t好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240 kg，降低造纸的污染排放75%，节省造纸能源消耗40%～50%.现调查了该市5个小区6月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表：
A小区 B小区 C小区 D小区 E小区
废纸投放量/t 5 5.1 5.2 4.8 4.9
塑料品投放量/t 3.5 3.6 3.7 3.4 3.3
(1)从A，B，C，D，E这5个小区中任选1个小区，求该小区6月份的可回收物中，废纸投放量超过5 t且塑料品投放量超过3.5 t的概率；
(2)从A，B，C，D，E这5个小区中任选2个小区，记X为6月份投放的废纸可再造好纸超过4 t的小区个数，求X的分布列．
20.(12分)某省食品药品监管局对15个大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估，满分为10分，大部分大学食堂的评分在7～10分之间，以下表格记录了它们的评分情况：
分数段 [0,7) [7,8) [8,9) [9,10]
食堂个数 1 3 8 3
(1)现从15个大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率；
(2)以这15个大学食堂的评分数据评估全国的大学食堂的评分情况，若从全国的大学食堂中任选3个，记X表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求X的分布列及均值．
21．(12分)人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能地摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为(先验概率)．
(1)求首次试验结束的概率；
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整．
①求选到的袋子为甲袋的概率；
②将首次试验摸出的白球放回原来的袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来的袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．
22．(12分)追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向．为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数(AQI)的检测数据，结果统计如下：
AQI [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300]
空气 质量 优 良 轻度 污染 中度 污染 重度 污染 严重 污染
天数 6 14 18 27 25 10
(1)从空气质量指数在[0,50]，(50,100]内的20天中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；
(2)已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y(单位：元)与空气质量指数x的关系式为
y＝
假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别是，，，，，，9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替．
①记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；
②试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的均值是否会超过2.88万元？说明你的理由．
章末检测试卷二(第七章)
1．D [因为随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝3对称，
又P(X<1)＝0.1，
所以P(X>5)＝0.1，
则P(3≤X≤5)
＝＝
＝0.4.]
2．C [从一副不含大小王的52张扑克牌(即A,2,3，…，10，J，Q，K不同花色的各4张)中任意抽出5张， 样本点总数n＝C，其中有3张A包含的样本点个数m＝CC，所以有3张A的概率P＝＝.]
3．B [∵ξ＝2η＋3，∴D(ξ)＝4D(η)，
又D(ξ)＝4，∴D(η)＝1.]
4．D [∵事件“至少出现一次6点向上”的对立事件是“出现0次6点向上”，
∴至少出现一次6点向上的概率P＝1－3＝1－＝.]
5．D [m＝1－－－＝，
P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)
＝＋＝.]
6．A [记事件A为“士兵第一次击中靶标”，B为“士兵第二次击中靶标”，C为“士兵第三次击中靶标”，D为“靶标被击中”，则P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.7＋0.3×0.4＋0.3×0.6×0.3＝0.874，P(B)＝0.3×0.4＝0.12，
所以P(B|D)＝＝＝＝.]
7．A [令Ai表示“第一次任取3个球使用时，取出i个新球(i＝0,1,2,3)”，B表示“第二次任取的3个球都是新球”，则有P(A0)＝＝，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，根据全概率公式，第二次取到的球都是新球的概率为
P(B)＝P(A0)P(B|A0)
＋P(A1)P(B|A1)
＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝×＋×＋×＋×＝.]
8．A [由于对称轴在y轴左侧，故－<0，故a，b同号，样本点总数为3×3×7×2＝126.
ξ的可能取值为0,1,2，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
故E(ξ)＝0×＋1×＋2×
＝.]
9．AC [由离散型随机变量X的分布列的性质，
得q＝1－0.3－0.2－0.2－0.1＝0.2，
则E(X)＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.2＋4×0.2＋5×0.1＝2，
D(X)＝(0－2)2×0.2＋(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＋(5－2)2×0.1＝2.8，
所以A，C正确；
因为离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝4＋1＝5，D(Y)＝22D(X)＝4×2.8＝11.2，所以B，D错误．]
10．ABD [恰有1个白球的概率P＝＝，故A正确；每次任取1个球，取到红球次数X～B，其方差为6××＝，故B正确；设A＝“第一次取到红球”，B＝“第二次取到红球”，则P(A)＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝，故C错误；每次取到红球的概率P＝，所以有放回地取球3次，每次任取1个球，取到两次红球的概率为C×2×1＝，故D正确．]
11．AC [由二进制数A的特点，知后4位上的数字的填法有5类：
①后4位上的数字均为0，
则X＝0，P(X＝0)＝4＝；
②后4位上的数字中只出现1个1，则X＝1，P(X＝1)
＝C×1×3＝；
③后4位上的数字中出现2个1，则X＝2，
P(X＝2)＝C×2×2＝；
④后4位上的数字中出现3个1，
则X＝3，P(X＝3)＝C×3×1＝；
⑤后4位上的数字均为1，
则X＝4，P(X＝4)＝4＝.
由上述可知X～B，故A正确；易知B错误；E(X)＝4×＝，故C正确；D(X)＝4××＝，故D错误．]
12．BC [选项A，曲线y＝f(x)与x轴之间的区域的面积等于1，所以A不正确；
选项B，f(x＋μ)＝，
f(μ－x)＝
所以f(x＋μ)＝f(μ－x)，
所以函数f(x)图象关于直线x＝μ对称，所以B正确；
选项C，因为P(μ－σ所以P(X>μ－σ)＝P(μ－σ所以C正确；
选项D，由正态曲线可知，当x越大时，P(X>x)越小．即函数F(x)＝P(X>x)随x的增大而减小，是减函数，所以D不正确．]
13．0.42
解析 题目可转化为独立重复试验，即重复做2次试验，每次事件发生的概率为0.7，则恰有1次发生的概率为C×0.7×(1－0.7)＝0.42.
14.
解析 用4种不同的颜色对3个格子涂色，方法种数为43＝64，
若相邻2个格子颜色不同，先在中间的格子中任选1种颜色涂色，两边的格子所涂的颜色只需和中间格子所涂的颜色不同即可，
所以“相邻的2个格子颜色不同”的涂色方法种数为4×32＝36，
则P(A)＝＝.
事件AB为“3个格子的颜色均不相同”，则P(AB)＝＝，
由条件概率公式可得
P(B|A)＝＝×＝.
15.
解析 记A1表示“女生”，A2表示“男生”，B表示“追星”．设女生人数为x，则男生人数为2x，总人数为x＋2x＝3x，所以P(A1)＝＝，
P(A2)＝＝，
P(B|A1)＝，
P(B|A2)＝，
所以这名学生追星的概率
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋
P(A2)P(B|A2)
＝×＋×＝.
16．5或6
解析 对一个坑而言，要补播种的概率为
P＝C3＋C3＝，
所以补播种坑的数量服从B，
则3个坑要补播种的概率为
C3·n－3＝Cn.
要使Cn最大，
只需
解得5≤n≤7，故n＝5,6,7，
因为C5＝C6
＝>C7＝.
所以当n＝5或n＝6时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为.
17．解 设A1为“第一次患病心肌受损害”，
A2为“第二次患病心肌受损害”，
则所求概率为P(12)．
由题意可知，P(A1)＝0.3，
P(A2|1)＝0.6，
又P(1)＝1－P(A1)＝0.7，
P(2|1)＝1－P(A2|1)＝0.4，
所以P(12)＝P(1)P(2|1)＝0.7×0.4＝0.28.
18．解 (1)因为零件尺寸z服从正态分布N(240，σ2)，
所以P(z>248)
＝1－P(z≤248)＝0.05，
因为＝240，所以P(z<232)＝P(z>248)＝0.05.
故z<232或z>248的概率为0.05＋0.05＝0.1.
(2)依题意可得X～B(3,0.1)，
所以P(X＝2)＝C×0.12×(1－0.1)＝0.027.
19．解 (1)记“该小区6月份的可回收物中废纸投放量超过5 t且塑料品投放量超过3.5 t”为事件A.
由题表，知B，C两个小区6月份的可回收物中废纸投放量超过5 t且塑料品投放量超过3.5 t，
所以P(A)＝.
(2)因为回收利用1 t废纸可再造出0.8 t好纸，所以6月份投放的废纸可再造好纸超过4 t的小区是B，C，共2个，故X的可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝；
P(X＝1)＝＝＝；
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
20.解 (1)设“至多有1个大学食堂的评分不低于9分”为事件A，
则P(A)＝＝.
所以至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率为.
(2)任意一个大学食堂，其评分不低于9分的概率为＝，
故X～B，
X的可能取值为0,1,2,3，
所以P(X＝0)＝C×3＝，
P(X＝1)＝C×2×＝，
P(X＝2)＝C××2＝，
P(X＝3)＝C×3＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故E(X)＝3×＝.
21．解 (1)设试验一次，“取到甲袋”为事件A1，“取到乙袋”为事件A2，“试验结果为红球”为事件B1，“试验结果为白球”为事件B2.
(1)P(B1)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B1|A2)＝×＋×＝.
所以试验一次结果为红球的概率为，
即首次试验结束的概率为.
(2)①因为B1，B2是对立事件，
所以P(B2)＝1－P(B1)＝，
所以P(A1|B2)＝
＝＝＝，
所以选到的袋子为甲袋的概率为.
②由①得P(A2|B2)＝1－P(A1|B2)＝1－＝，
所以方案一中取到红球的概率为
P1＝P(A1|B2)P(B1|A1)＋
P(A2|B2)P(B1|A2)
＝×＋×＝，
方案二中取到红球的概率为
P2＝P(A2|B2)P(B1|A1)＋
P(A1|B2)P(B1|A2)
＝×＋×＝，
因为>，所以方案二中取到红球的概率更大，
即选择方案二第二次试验结束的概率更大．
22．解 (1)设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，
则P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)
＝＋＝.
(2)①X的所有可能取值为0,220，1 480，
P(X＝0)＝P(0≤x≤100)
＝＝，
P(X＝220)＝P(100＝＝，
P(X＝1 480)＝P(250＝＝.
则X的分布列为
X 0 220 1 480
P
②由①知E(X)＝0×＋220×＋1 480×＝302(元)，
故该企业9月因空气质量造成的经济损失的均值为30E(X)＝9 060(元)．
设该企业7月与8月每天因空气质量造成的经济损失为Y元，Y的所有可能取值为0,220,1 480，
则P(Y＝0)＝＋＝，
P(Y＝220)＝＋＋＝，
P(Y＝1 480)＝.
所以E(Y)＝0×＋220×＋1 480×＝320(元)．
所以该企业7月与8月因空气质量造成的经济损失总额的均值为320×(31＋31)＝19 840(元)．
因为19 840＋9 060
＝28 900>28 800，
所以该企业这三个月因空气质量造成的经济损失总额的均值会超过2.88万元．
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X<1)＝0.1，则P(3≤X≤5)等于( )
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
2．从一副不含大小王的52张扑克牌(即A，2，3，…，10，J，Q，K不同花色的各4张)中任意抽出5张，恰有3张A的概率是( )
A. B.
C. D.
3．已知随机变量ξ～N(3,22)，若ξ＝2η＋3，则D(η)等于( )
A．0 B．1 C．2 D．4
4．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是( )
A. B. C. D.
5．设随机变量X的分布列如表所示，则P(|X－3|＝1)等于( )
X 1 2 3 4
P m
A. B. C. D.
6．一名刚入伍的士兵带着一把步枪到练习场地打靶，已知此步枪每次只装3发子弹，若命中目标或子弹打完，则停止练习．新兵第一枪命中靶标的概率为0.7，第二枪命中靶标的概率为0.4，第三枪命中靶标的概率为0.3，则在已知靶标被击中的条件下，士兵开第二枪命中的概率为( )
A. B. C. D.
7．盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从中任取3个球，则第二次取出的球都是新球的概率为( )
A. B. C. D.
8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a－b|的取值”，则ξ的均值E(ξ)为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 4 5
P q 0.3 0.2 0.2 0.1
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有( )
A．E(X)＝2 B．E(Y)＝4
C．D(X)＝2.8 D．D(Y)＝14
10．已知一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论中正确的有( )
A．从中任取3个球，恰有1个白球的概率是
B．从中有放回地取球6次，每次任取1个球，则取到红球次数的方差为
C．现从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为
D．从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则取到两次红球的概率为
11．某计算机程序每运行一次都会随机出现一个五位二进制数A＝(例如10100)，其中A的各位上的数字ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a2＋a3＋a4＋a5，则当程序运行一次时( )
A．X服从二项分布
B．P(X＝2)＝
C．E(X)＝
D．D(X)＝
12．已知X～N(μ，σ2)，f(x)＝，x∈R，则( )
A．曲线y＝f(x)与x轴之间的区域的面积小于1
B．函数f(x)图象关于直线x＝μ对称
C．P(X>μ－σ)＝2P(μ
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．随着互联网的发展，网购早已融入人们的日常生活．网购的苹果在运输过程中容易出现碰伤，假设在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为0.7，每箱苹果在运输中互不影响，则网购2箱苹果恰有1箱在运输中出现碰伤的概率为________．
14．从4种不同的颜色中选出一些颜色给如图所示的3个格子涂色，每个格子涂一种颜色，记事件A为“相邻的2个格子颜色不同”，事件B为“3个格子的颜色均不相同”，则P(B|A)＝________.
15．针对“中学生追星问题”，某校团委做了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的.现随机选择一名学生，则这名学生追星的概率是________．
16．一日之计在于晨，一年之计在于春，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的n(n∈N*)个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．则当n＝________时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为________．
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(10分)某种疾病能导致心肌受损害，若第一次患该病，则心肌受损害的概率为0.3，第一次患病心肌未受损害而第二次再患该病时，心肌受损害的概率为0.6，试求某人患病两次心肌未受损害的概率．
18．(12分)一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z(单位：mm)服从正态分布N(240，σ2)，且P(z≤248)＝0.95.
(1)求z<232或z>248的概率；
(2)若从该条生产线上随机选取3个零件，设X表示零件尺寸小于232 mm或大于248 mm的零件个数，求X＝2的概率．
19．(12分)某市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类．生活垃圾中有30%～40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源．如：回收利用1 t废纸可再造出0.8 t好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240 kg，降低造纸的污染排放75%，节省造纸能源消耗40%～50%.现调查了该市5个小区6月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表：
A小区 B小区 C小区 D小区 E小区
废纸投放量/t 5 5.1 5.2 4.8 4.9
塑料品投放量/t 3.5 3.6 3.7 3.4 3.3
(1)从A，B，C，D，E这5个小区中任选1个小区，求该小区6月份的可回收物中，废纸投放量超过5 t且塑料品投放量超过3.5 t的概率；
(2)从A，B，C，D，E这5个小区中任选2个小区，记X为6月份投放的废纸可再造好纸超过4 t的小区个数，求X的分布列．
20.(12分)某省食品药品监管局对15个大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估，满分为10分，大部分大学食堂的评分在7～10分之间，以下表格记录了它们的评分情况：
分数段 [0,7) [7,8) [8,9) [9,10]
食堂个数 1 3 8 3
(1)现从15个大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率；
(2)以这15个大学食堂的评分数据评估全国的大学食堂的评分情况，若从全国的大学食堂中任选3个，记X表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求X的分布列及均值．
21．(12分)人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能地摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为(先验概率)．
(1)求首次试验结束的概率；
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整．
①求选到的袋子为甲袋的概率；
②将首次试验摸出的白球放回原来的袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来的袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．
22．(12分)追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向．为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数(AQI)的检测数据，结果统计如下：
AQI [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300]
空气 质量 优 良 轻度 污染 中度 污染 重度 污染 严重 污染
天数 6 14 18 27 25 10
(1)从空气质量指数在[0,50]，(50,100]内的20天中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；
(2)已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y(单位：元)与空气质量指数x的关系式为
y＝
假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别是，，，，，，9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替．
①记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；
②试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的均值是否会超过2.88万元？说明你的理由．
章末检测试卷二(第七章)
1．D [因为随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝3对称，
又P(X<1)＝0.1，
所以P(X>5)＝0.1，
则P(3≤X≤5)
＝＝
＝0.4.]
2．C [从一副不含大小王的52张扑克牌(即A,2,3，…，10，J，Q，K不同花色的各4张)中任意抽出5张， 样本点总数n＝C，其中有3张A包含的样本点个数m＝CC，所以有3张A的概率P＝＝.]
3．B [∵ξ＝2η＋3，∴D(ξ)＝4D(η)，
又D(ξ)＝4，∴D(η)＝1.]
4．D [∵事件“至少出现一次6点向上”的对立事件是“出现0次6点向上”，
∴至少出现一次6点向上的概率P＝1－3＝1－＝.]
5．D [m＝1－－－＝，
P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)
＝＋＝.]
6．A [记事件A为“士兵第一次击中靶标”，B为“士兵第二次击中靶标”，C为“士兵第三次击中靶标”，D为“靶标被击中”，则P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.7＋0.3×0.4＋0.3×0.6×0.3＝0.874，P(B)＝0.3×0.4＝0.12，
所以P(B|D)＝＝＝＝.]
7．A [令Ai表示“第一次任取3个球使用时，取出i个新球(i＝0,1,2,3)”，B表示“第二次任取的3个球都是新球”，则有P(A0)＝＝，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，根据全概率公式，第二次取到的球都是新球的概率为
P(B)＝P(A0)P(B|A0)
＋P(A1)P(B|A1)
＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝×＋×＋×＋×＝.]
8．A [由于对称轴在y轴左侧，故－<0，故a，b同号，样本点总数为3×3×7×2＝126.
ξ的可能取值为0,1,2，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
故E(ξ)＝0×＋1×＋2×
＝.]
9．AC [由离散型随机变量X的分布列的性质，
得q＝1－0.3－0.2－0.2－0.1＝0.2，
则E(X)＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.2＋4×0.2＋5×0.1＝2，
D(X)＝(0－2)2×0.2＋(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＋(5－2)2×0.1＝2.8，
所以A，C正确；
因为离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝4＋1＝5，D(Y)＝22D(X)＝4×2.8＝11.2，所以B，D错误．]
10．ABD [恰有1个白球的概率P＝＝，故A正确；每次任取1个球，取到红球次数X～B，其方差为6××＝，故B正确；设A＝“第一次取到红球”，B＝“第二次取到红球”，则P(A)＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝，故C错误；每次取到红球的概率P＝，所以有放回地取球3次，每次任取1个球，取到两次红球的概率为C×2×1＝，故D正确．]
11．AC [由二进制数A的特点，知后4位上的数字的填法有5类：
①后4位上的数字均为0，
则X＝0，P(X＝0)＝4＝；
②后4位上的数字中只出现1个1，则X＝1，P(X＝1)
＝C×1×3＝；
③后4位上的数字中出现2个1，则X＝2，
P(X＝2)＝C×2×2＝；
④后4位上的数字中出现3个1，
则X＝3，P(X＝3)＝C×3×1＝；
⑤后4位上的数字均为1，
则X＝4，P(X＝4)＝4＝.
由上述可知X～B，故A正确；易知B错误；E(X)＝4×＝，故C正确；D(X)＝4××＝，故D错误．]
12．BC [选项A，曲线y＝f(x)与x轴之间的区域的面积等于1，所以A不正确；
选项B，f(x＋μ)＝，
f(μ－x)＝
所以f(x＋μ)＝f(μ－x)，
所以函数f(x)图象关于直线x＝μ对称，所以B正确；
选项C，因为P(μ－σ
选项D，由正态曲线可知，当x越大时，P(X>x)越小．即函数F(x)＝P(X>x)随x的增大而减小，是减函数，所以D不正确．]
13．0.42
解析 题目可转化为独立重复试验，即重复做2次试验，每次事件发生的概率为0.7，则恰有1次发生的概率为C×0.7×(1－0.7)＝0.42.
14.
解析 用4种不同的颜色对3个格子涂色，方法种数为43＝64，
若相邻2个格子颜色不同，先在中间的格子中任选1种颜色涂色，两边的格子所涂的颜色只需和中间格子所涂的颜色不同即可，
所以“相邻的2个格子颜色不同”的涂色方法种数为4×32＝36，
则P(A)＝＝.
事件AB为“3个格子的颜色均不相同”，则P(AB)＝＝，
由条件概率公式可得
P(B|A)＝＝×＝.
15.
解析 记A1表示“女生”，A2表示“男生”，B表示“追星”．设女生人数为x，则男生人数为2x，总人数为x＋2x＝3x，所以P(A1)＝＝，
P(A2)＝＝，
P(B|A1)＝，
P(B|A2)＝，
所以这名学生追星的概率
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋
P(A2)P(B|A2)
＝×＋×＝.
16．5或6
解析 对一个坑而言，要补播种的概率为
P＝C3＋C3＝，
所以补播种坑的数量服从B，
则3个坑要补播种的概率为
C3·n－3＝Cn.
要使Cn最大，
只需
解得5≤n≤7，故n＝5,6,7，
因为C5＝C6
＝>C7＝.
所以当n＝5或n＝6时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为.
17．解 设A1为“第一次患病心肌受损害”，
A2为“第二次患病心肌受损害”，
则所求概率为P(12)．
由题意可知，P(A1)＝0.3，
P(A2|1)＝0.6，
又P(1)＝1－P(A1)＝0.7，
P(2|1)＝1－P(A2|1)＝0.4，
所以P(12)＝P(1)P(2|1)＝0.7×0.4＝0.28.
18．解 (1)因为零件尺寸z服从正态分布N(240，σ2)，
所以P(z>248)
＝1－P(z≤248)＝0.05，
因为＝240，所以P(z<232)＝P(z>248)＝0.05.
故z<232或z>248的概率为0.05＋0.05＝0.1.
(2)依题意可得X～B(3,0.1)，
所以P(X＝2)＝C×0.12×(1－0.1)＝0.027.
19．解 (1)记“该小区6月份的可回收物中废纸投放量超过5 t且塑料品投放量超过3.5 t”为事件A.
由题表，知B，C两个小区6月份的可回收物中废纸投放量超过5 t且塑料品投放量超过3.5 t，
所以P(A)＝.
(2)因为回收利用1 t废纸可再造出0.8 t好纸，所以6月份投放的废纸可再造好纸超过4 t的小区是B，C，共2个，故X的可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝；
P(X＝1)＝＝＝；
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
20.解 (1)设“至多有1个大学食堂的评分不低于9分”为事件A，
则P(A)＝＝.
所以至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率为.
(2)任意一个大学食堂，其评分不低于9分的概率为＝，
故X～B，
X的可能取值为0,1,2,3，
所以P(X＝0)＝C×3＝，
P(X＝1)＝C×2×＝，
P(X＝2)＝C××2＝，
P(X＝3)＝C×3＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故E(X)＝3×＝.
21．解 (1)设试验一次，“取到甲袋”为事件A1，“取到乙袋”为事件A2，“试验结果为红球”为事件B1，“试验结果为白球”为事件B2.
(1)P(B1)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B1|A2)＝×＋×＝.
所以试验一次结果为红球的概率为，
即首次试验结束的概率为.
(2)①因为B1，B2是对立事件，
所以P(B2)＝1－P(B1)＝，
所以P(A1|B2)＝
＝＝＝，
所以选到的袋子为甲袋的概率为.
②由①得P(A2|B2)＝1－P(A1|B2)＝1－＝，
所以方案一中取到红球的概率为
P1＝P(A1|B2)P(B1|A1)＋
P(A2|B2)P(B1|A2)
＝×＋×＝，
方案二中取到红球的概率为
P2＝P(A2|B2)P(B1|A1)＋
P(A1|B2)P(B1|A2)
＝×＋×＝，
因为>，所以方案二中取到红球的概率更大，
即选择方案二第二次试验结束的概率更大．
22．解 (1)设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，
则P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)
＝＋＝.
(2)①X的所有可能取值为0,220，1 480，
P(X＝0)＝P(0≤x≤100)
＝＝，
P(X＝220)＝P(100
P(X＝1 480)＝P(250
则X的分布列为
X 0 220 1 480
P
②由①知E(X)＝0×＋220×＋1 480×＝302(元)，
故该企业9月因空气质量造成的经济损失的均值为30E(X)＝9 060(元)．
设该企业7月与8月每天因空气质量造成的经济损失为Y元，Y的所有可能取值为0,220,1 480，
则P(Y＝0)＝＋＝，
P(Y＝220)＝＋＋＝，
P(Y＝1 480)＝.
所以E(Y)＝0×＋220×＋1 480×＝320(元)．
所以该企业7月与8月因空气质量造成的经济损失总额的均值为320×(31＋31)＝19 840(元)．
因为19 840＋9 060
＝28 900>28 800，
所以该企业这三个月因空气质量造成的经济损失总额的均值会超过2.88万元．