选择性必修 第三册 综合检测试卷（含解析） -2024春高中数学选择性必修3（人教版）

综合检测试卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为(　　)
A．－15x4 B．15x4
C．－20ix4 D．20ix4
2．有甲、乙两种钢材，从中各取等量样品检验它们的抗拉强度(分别用X甲，X乙表示)指标如下：
X甲 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
X乙 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.1 0.4 0.2
现要比较两种钢材哪一种抗拉强度较好，应考察哪项指标(　　)
A．均值与方差 B．正态分布
C．卡方χ2 D．概率
3．某机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：
记忆能力x 4 6 8 10
识图能力y 3 5 6 8
由表中数据，求得经验回归方程为＝0.8x＋，若某儿童记忆能力为12，则预测他的识图能力约为(　　)
A．9.5 B．9.8 C．9.2 D．10
4．用0,1,2,3,4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有(　　)
A．24个 B．30个
C．36个 D．42个
5．某中学制订了“光盘计划”，为了了解师生们对这一倡议的关注度和支持度，开展了一次问卷调查．据统计此次问卷调查的得分x(满分：100分)服从正态分布N(93,22)，若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)＝0.954 5，则P(91≤x≤97)等于(　　)
A．0.818 6 B．0.682 7
C．0.477 25 D．0.341 35
6．从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活．世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会．已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型y＝(其中e为自然对数的底数)拟合，设z＝ln y，其变换后得到一组数据：
x 20 23 25 27 30
z 2 2.4 3 3 4.6
由表可得经验回归方程＝0.2x＋，则当x＝40时，蝗虫的产卵量y的估计值为(　　)
A．e3 B．e6 C．3 D．6
7．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P(ξ＝12)等于(　　)
A．C×10×2 B．C×10×2
C．C×9×2 D．C×9×2
8．有2男2女共4名大学毕业生被分配到A，B，C三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且A工厂只接收女生，则不同的分配方案种数为(　　)
A．12 B．14 C．36 D．72
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．给出以下四个说法，其中正确的说法有(　　)
A．绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距
B．在刻画回归模型的拟合效果时，R2的值越大，说明拟合的效果越好
C．设随机变量X服从正态分布N(4,22)，则P(X＞4)＝
D．对分类变量X与Y，若计算出的χ2越小，则判断“X与Y有关系”的犯错误的概率越小
10．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
某项运动 性别 合计
男 女
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
合计 60 50 110
由χ2＝得，
χ2＝≈7.8.
附表：
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
参照附表，得到的正确结论是(　　)
A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“爱好该项运动与性别无关”
11．下列结论正确的是(　　)
A．若C＝C，则m＝3
B．若A－A＝12，则n＝6
C．在(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)11的展开式中，含x2的项的系数是220
D．在(x－1)8的展开式中，第4项和第5项的二项式系数最大
12．下列四个命题中为真命题的是(　　)
A．已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝0.15，则P(2≤ξ＜4)＝0.3
B．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(－2≤ξ≤2)＝0.4，则P(ξ＞2)＝0.3
C．二项式10的展开式中的常数项是45
D．已知X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p＝0.4
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．任意选择四个日期，设X表示取到的四个日期中星期天的个数，则E(X)＝______，D(X)＝______.
14．为调查某企业年利润y(单位：万元)和它的年研究费用x(单位：万元)的相关性，收集了5组成对样本数据(x，y)，如表所示：
x 1 2 3 4 5
y 50 60 70 80 100
由上表中数据求得y关于x的经验回归方程为＝12x＋，据此计算出样本点(4,80)处的残差(残差＝观测值－预测值)为 ________.
15.为美化校园环境，在学校统一组织下，安排了高二某班劳动课在如图所示的花坛中种花，现有4种不同颜色的花可供选择，要求相邻区域颜色不同，则有________种不同的方案．
16．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为________，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为________．
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(10分)在考察黄烟经过药物处理和发生青花病的关系时，得到如下数据：在试验的470株黄烟中，经过药物处理的黄烟有25株发生青花病，60株没有发生青花病；未经过药物处理的有185株发生青花病，200株没有发生青花病．试推断药物处理跟发生青花病是否有关系．
18．(12分)已知n的展开式中第7项和第6项的系数之比为7∶3.
(1)求展开式的第5项；
(2)求展开式的奇数项的系数之和．
19．(12分)两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．
(1)求任意取出的零件是合格品的概率；
(2)如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．
20．(12分)近年来，随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀升、机动车持有量急剧增加，某市空气中的PM2.5(直径小于等于2.5微米的颗粒物)的含量呈逐年上升的趋势，如图是根据该市环保部门提供的2018年至2022年该市PM2.5年均浓度值画成的散点图．(为便于计算，把2018年编号为1,2019年编号为2，…，2022年编号为5)
(1)以PM2.5年均浓度值y为响应变量，年份的编号x为解释变量，利用散点图提供的数据，用最小二乘法求出该市PM2.5年均浓度值与年份编号之间的经验回归方程＝x＋；
(2)按世界卫生组织(WHO)过渡期－1的标准，空气中的PM2.5的年均浓度限值为35微克/立方米，该市若不采取措施，试预测到哪一年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期－1设定的限值．
参考公式：＝，＝－.
21．(12分)在一次考试中某班级50名学生的成绩统计如表，规定75分以下为一般，大于等于75分且小于85分为良好，85分及以上为优秀．
分数 69 73 74 75 77 78 79 80
人数 2 4 4 2 3 4 6 3
分数 82 83 85 87 89 93 95 合计
人数 3 4 4 5 2 3 1 50
经计算样本的平均值μ≈81，标准差σ≈6.2.为评判该份试卷质量的好坏，从其中任取一人，记其成绩为X，并根据以下不等式进行评判．
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≥0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≥0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≥0.997 3.
评判规则：若同时满足上述三个不等式，则被评为优秀试卷；若仅满足其中两个不等式，则被评为合格试卷；其他情况，则被评为不合格试卷．
(1)试判断该份试卷被评为哪种等级；
(2)用比例分配的分层随机抽样方法从3个层次的学生中抽出10名学生，再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流，用随机变量ξ表示4人中成绩优秀的人数，求随机变量ξ的分布列和均值．
22．(12分)为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”，其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/千米计费；②行驶时间不超过40分钟时，按0.12元/分钟计费；超过40分钟时，超出部分按0.20元/分钟计费．已知王先生家离上班地点15千米，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间t(分钟)是一个随机变量，现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频率分布情况如表所示：
时间t/分钟 [20,30] (30,40] (40,50] (50,60]
频数 2 18 20 10
将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为[20,60]．
(1)写出王先生一次租车费用y(元)与用车时间t(分钟)的函数关系式；
(2)若王先生一次开车时间不超过40分钟为“路段畅通”，设ξ表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求ξ的分布列和均值．
练透答案精析
综合检测试卷
1．A　[由题意可知，含x4的项为Cx4i2＝－15x4.]
2．A　[检验钢材的抗拉强度，若平均抗拉强度相同，再比较波动情况．]
3．A　[∵＝×(4＋6＋8＋10)＝7，
＝×(3＋5＋6＋8)＝5.5，
代入经验回归方程得5.5＝0.8×7＋，
∴＝－0.1，
∴＝0.8x－0.1，
当x＝12时，＝0.8×12－0.1＝9.5.]
4．B　[计算偶数个数分为两类：
①若个位数字是0，十位和百位从另4个数字中选两个进行排列有A＝12(种)结果；
②若个位数字不是0，从2和4中选一个作个位，从除0外的另3个数字中选一个作百位，
再从余下3个数字中选一个作十位，共有AAA＝18(种)结果，
由分类加法计数原理得，偶数共有12＋18＝30(个)．]
5．A　[由已知可得μ＝93，σ＝2.
所以P(91≤x≤97)
＝P(μ－σ≤x≤μ＋2σ)
＝＋
＝＋＝0.818 6.]
6．B　[由表格数据知，＝×(20＋23＋25＋27＋30)＝25，
＝×(2＋2.4＋3＋3＋4.6)＝3，
代入＝0.2x＋，
得＝3－0.2×25＝－2，
∴＝0.2x－2，即ln y＝0.2x－2，
∴y＝e0.2x－2，
∴当x＝40时，y＝e6.]
7．B　[根据题意可知ξ＝12表示第12次为红球，则前11次中有9次为红球，从而P(ξ＝12)＝C×9×2×＝C×10×2.]
8．B　[由题意，可分为两种情况：
①若A工厂只接收1个女生，有C＝2(种)分配方案，
则B，C工厂分配人数可以为1,2或2,1，则有C＋C＝6(种)分配方案，
由分步乘法计数原理可得，共有2×6＝12(种)不同的分配方案；
②若A工厂接收2个女生，只有1种分配方案，
则B，C工厂分配人数为1,1，则有C＝2(种)分配方案，
此时共有1×2＝2(种)不同的分配方案，
综上，由分类加法计数原理可得，共有12＋2＝14(种)不同的分配方案．]
9．BC　[A中各小长方形的面积等于相应各组的频率；B正确，R2越大，拟合效果越好，R2越小，拟合效果越差；C中随机变量X服从正态分布N(4,22)，正态曲线对称轴为直线x＝4，所以P(X＞4)＝；D中对分类变量X与Y，χ2越小，则判断“X与Y有关系”的犯错误的概率越大．]
10．AC　[由χ2≈7.8>6.635＝x0.01，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“爱好该项运动与性别有关”，该判断犯错误的概率不超过0.01.]
11．BC　[若C＝C，则 m＝3m－2 或m＋3m－2＝10，解得m＝1 或m＝3，故A错误；若A－A＝12，则(n＋1)n－n(n－1)＝12，解得n＝6，故B正确；在(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)11的展开式中，含x2的项的系数是C＋C＋C＋…＋C＝220，故C正确；在(x－1)8的展开式中，第4项的二项式系数为 C，第5项的二项式系数为C，故只有第5项的二项式系数最大，故D错误．]
12．BCD　[已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，
若P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝0.15，
可得曲线的对称轴为x＝4，
则P(2≤ξ＜4)＝0.5－0.15＝0.35，A不正确；
已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(－2≤ξ≤2)＝0.4，
则P(ξ＞2)＝
＝＝0.3，
B正确；
二项式10的展开式中的通项公式为
Tk＋1＝C10－k(－x2)k
＝C(－1)kx，
由＝0，解得k＝2，
可得常数项是C×(－1)2＝45，
C正确；
因为E(X)＝16，所以40p＝16，解得p＝0.4，D正确．]
13.　
解析　由题意得，X～B，
所以E(X)＝4×＝，
D(X)＝4××＝.
14．－4
解析　由表格中的数据可知，
＝＝3，
＝＝72，
所以12×3＋＝72，
解得＝36，所以＝12x＋36，
当x＝4时，＝4×12＋36＝84，
所以残差＝观测值－预测值＝80－84＝－4.
15．72
解析　如图，假设5个区域分别为1,2,3,4,5，
分2种情况讨论：
①当选用3种颜色的花卉时，2,4同色且3,5同色，共有种植方案CA＝24(种)；
②当4种不同颜色的花卉全选时，即2,4或3,5用同一种颜色，共有种植方案CA＝48(种)，
则不同的种植方案共有24＋48＝72(种)．
16．0.052 5　
解析　记Ai为事件“零件为第i(i＝1,2,3)台车床加工”，B为事件“任取一个零件为次品”，则P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，
所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)，
即P(B)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.052 5；
所以P(A3|B)＝
＝＝.
17．解　由已知条件得2×2列联表如下：
青花病 药物处理 合计
经过药物处理 未经药物处理
有青花病 25 185 210
无青花病 60 200 260
合计 85 385 470
零假设为H0：经过药物处理跟发生青花病无关系．
根据列联表中的数据，可以求得
χ2＝
≈9.788＞7.879＝x0.005，
根据小概率值α＝0.005的独立性检验，推断H0不成立，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为药物处理跟发生青花病有关系．
18．解　(1)展开式的通项公式为Tk＋1＝C(x2)n－k·k＝2kCx2n－3k，k＝0,1,2，…，
由题意知＝，
解得n＝12，
所以T5＝24·Cx24－12＝7 920x12，
所以展开式的第5项为7 920x12.
(2)设展开式中第i项的系数为ai，i＝1,2,3，…，12,13，
则奇数项的系数之和为a1＋a3＋a5＋…＋a13，
令f(x)＝12＝a1x24＋a2x21＋…＋a12x－9＋a13x－12，
则f(1)＝312＝a1＋a2＋…＋a12＋a13＝(a1＋a3＋…＋a13)＋(a2＋a4＋…＋a12)，①
f(－1)＝(－1)12＝a1－a2＋…－a12＋a13＝(a1＋a3＋…＋a13)－(a2＋a4＋…＋a12)，②
所以①＋②得，312＋1＝2(a1＋a3＋…＋a13)，
所以a1＋a3＋…＋a13＝，即展开式的奇数项的系数之和为.
19．解　设事件Ai表示“零件是第i台车床加工的”，i＝1,2；事件B表示“取出的零件是废品”；事件C表示“取出的零件是合格品”．由题意，得P(A1)＝，P(B|A1)＝0.03，P(A2)＝，P(B|A2)＝0.02，
则P(C|A1)＝0.97，P(C|A2)＝0.98.
(1)P(C)＝P(A1C∪A2C)
＝P(A1C)＋P(A2C)
＝P(A1)P(C|A1)＋P(A2)P(C|A2)
＝×0.97＋×0.98＝.
(2)P(A2|B)＝
＝
＝＝0.25.
20．解　(1)由散点图可得，样本点分布在一条直线附近，平均浓度与年份编号具有线性相关关系，变量xi，yi组成的几组数据为(1,13)，(2,15)，(3,20)，(4,22)，(5,25)，
则＝3，＝19，
所以＝＝
＝3.1，
＝－＝19－3.1×3＝9.7.
所以所求经验回归方程为
＝3.1x＋9.7.
(2)由3.1x＋9.7＞35，得x＞8.16，
因为x∈N，所以xmin＝9.
故可预测到2026年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期－1设定的限值．
21．解　(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)
＝P(74.8≤X≤87.2)
＝＝0.68＜0.682 7，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)
＝P(68.6≤X≤93.4)
＝＝0.98＞0.954 5，
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)
＝P(62.4≤X≤99.6)
＝1＞0.997 3，
因为考生成绩满足两个不等式，
所以该份试卷应被评为合格试卷．
(2)75分以下的人数为10；大于等于75分且小于85分的人数为25；85分及以上的人数为15.
用比例分配的分层随机抽样方法从3个层次的学生中抽出10名学生，分别抽取人数为2,5,3.再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流，用随机变量ξ表示4人中成绩优秀的人数，则ξ的取值可能为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
22．解　(1)当20≤t≤40时，
y＝0.12t＋15；
当40所以y＝
(2)王先生租用一次新能源分时租赁汽车，“路段畅通”的概率
P＝＝，ξ可取0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝C×0×3＝，
P(ξ＝1)＝C×1×2＝，
P(ξ＝2)＝C×2×1＝，
P(ξ＝3)＝C×3×0＝，
ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.2，
或依题意ξ～B，
E(ξ)＝3×＝1.2.