第2课时 排列的综合问题
[学习目标]
1.掌握几种有限制条件的排列.
2.能应用排列数公式解决简单的实际问题．
一、特殊元素或特殊位置问题
例1 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题．
(1)甲不在首位的排法有多少种？
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？
反思感悟 解决排列问题，常用的思考方法有直接法和间接法．把特殊元素或特殊位置作为研究对象．
跟踪训练1 5名学生和1位老师站成一排照相，问老师不排在两端的排法有多少种？
二、“相邻”与“不相邻”问题
例2 3名男生，4名女生，这7个人站成一排，下列情况下，各有多少种不同的站法？
(1)男、女各站在一起；
(2)男生必须排在一起；
(3)男生不能排在一起；
(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻．
反思感悟 处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．
跟踪训练2 (1)小陈准备将新买的《尚书·礼记》《左传》《孟子》《论语》《诗经》五本书立起来放在书架上，若要求《论语》《诗经》两本书相邻，且《尚书·礼记》放在两端，则不同的摆放方法有( )
A．18种 B．24种
C．36种 D．48种
(2)永定土楼，位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩，并成功列入世界遗产名录．它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧．土楼具体有圆形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊脚楼等类型．现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究．要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻，则不同的排法共有( )
A．480种 B．240种
C．384种 D．1 440种
三、定序问题
例3 将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，则有多少种不同的排列方法？
反思感悟 在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)．解决这类问题的基本方法有两个：
(1)整体法，即若有(m＋n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m＋n)个元素排成一列，有A种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法；
(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中．
跟踪训练3 某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相．
(1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？
(2)3位老者与2位年轻人都要分别按从小到大的顺序出场，顺序有多少种？
1．知识清单：
(1)有限制条件的排列问题．
(2)“相邻”与“不相邻”、“在”与“不在”、定序问题．
2．方法归纳：捆绑法、插空法、定序问题除法处理、间接法．
3．常见误区：分类讨论时，出现重复或遗漏，各种方法使用不当．
1．五声音阶(汉族古代音律)是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫、商、角、徵、羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，则可排成不同的音序的种数为( )
A．12 B．48
C．72 D．120
2．(多选)若3男3女排成一排，则下列说法错误的是( )
A．共计有720种不同的排法
B．男生甲排在两端的排法种数为120
C．男生甲、乙相邻的排法种数为120
D．男、女生相间的排法种数为72
3．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有( )
A．66种 B．60种
C．36种 D．24种
4．某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晚会．晚会组委会计划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来5个节目的出场顺序不变，则有________种不同排法．(用数字作答)
第2课时 排列的综合问题
例1 解 (1)方法一 把元素作为研究对象．
第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名排在5个位置上，有A种排法；
第二类，含有甲，甲不在首位，先从除首位以外的其他4个位置中选出1个排甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在另外4个位置上，有A种排法．根据分步乘法计数原理，有4×A种排法．
由分类加法计数原理知，共有A＋4×A＝2 160(种)排法．
方法二 把位置作为研究对象．
第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A种排法；
第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有A种排法．
由分步乘法计数原理知，共有AA＝2 160(种)排法．
方法三 (间接法)先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉．
不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有A种，甲在首位的情况有A种，
所以符合要求的排法有A－A＝2 160(种)．
(2)把位置作为研究对象．
第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A种排法；
第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有A种排法．
根据分步乘法计数原理，共有AA＝1 800(种)排法．
(3)把位置作为研究对象．
第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A种排法；
第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A种排法．
根据分步乘法计数原理，共有AA＝1 200(种)排法．
(4)间接法．
总的可能情况有A种，减去甲在首位的A种排法，再减去乙在末位的A种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次A种排法，所以共有A－2A＋A＝1 860(种)排法．
跟踪训练1 解 方法一 (先满足特殊位置)由于排头和排尾两个位置有限制要求，因此先从5名学生中选出2名站在排头和排尾，有A种方法，余下的四人可任意站，有A种方法，
所以符合要求的排法有AA＝480(种)．
方法二 (先满足特殊元素)老师既然不能排在两端，于是可以从中间四个位置中任选一个，有A种方法.5名学生在余下的五个位置中任意排列，有A种排法．因此符合题意的排法有AA＝480(种)．
方法三 (间接法)由于六个人任意排有A种排法，但实际必须减去老师排在排头的A种方法和排在排尾的A种方法，
因而有A－2A＝480(种)排法．
例2 解 (1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A种排法，女生必须站一起，即把4名女生进行全排列，有A种排法，全体男生和全体女生各看作一个元素全排列有A种排法，由分步乘法计数原理知，共有A·A·A＝288(种)排法．
(2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，
故有A·A＝720(种)不同的排法．
(3)(不相邻问题插空法)先排女生有A种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有A种排法，故有A·A＝1 440(种)不同的排法．
(4)先排男生有A种排法，让女生插空，有A·A＝144(种)不同的排法．
跟踪训练2 (1)B [先将《论语》《诗经》两本书捆绑看作一个整体，则可以看作共4个位置．
先排《尚书·礼记》，排法种数为A；然后剩余3个位置全排列，排法种数为A；最后排好《论语》《诗经》，两本书的排法种数为A.所以不同的摆放方法有AAA＝2×6×2＝24(种)．]
(2)A [当圆形排在第一个时，因为方形、五角形相邻，所以捆在一起与其他图形全排列，且方形、五角形内部排列，有AA＝240(种)不同的排法，
同理当圆形排在最后一个时，有AA＝240(种)不同的排法．
综上，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻，则共有480种不同的排法．]
例3 解 5个不同元素中部分元素A，B，C的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法．
方法一 (整体法)5个元素无约束条件的全排列有A种，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有×2＝40(种)．
方法二 (插空法)若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入形成的4个空中，分两类：
第一类，若字母D，E相邻，则有A·A种排法；
第二类，若字母D，E不相邻，则有A种排法．
所以有A·A＋A＝20(种)不同的排列方法．
同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法．
因此满足条件的排列有20＋20＝40(种)．
跟踪训练3 解 (1)5位嘉宾无约束条件的全排列有A种，由于3位老者的排列顺序已定，因此满足3位老者按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有＝20(种)．
(2)设符合条件的排法共有x种，
用(1)的方法可得x·A·A＝A，
解得x＝＝10.
随堂演练
1．C [先排其他三个，然后在空档插入宫、羽两音节，方法数为AA＝72.]
2．BC [3男3女排成一排共计有A＝720(种)不同的排法；男生甲排在两端的排法种数为2A＝240；男生甲、乙相邻的排法种数为AA＝240；男、女生相间的排法种数为2AA＝72.]
3．B [五名学生进行全排列共有A种站法，而甲站在乙的左边，或乙的右边，故甲不排在乙的左边的情况共有＝60(种)．]
4．42
解析 ①当2个教师节目相邻时，利用插空法有6A＝12(种)不同的排法，②当2个教师节目不相邻时，有A＝30(种)不同的排法，所以共有12＋30＝42(种)不同的排法．6.2 排列与组合
6.2.1 排 列 6.2.2 排列数
第1课时 排列与排列数
[学习目标]
1.理解并掌握排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列.
2.掌握排列数公式并会应用．
一、排列概念的理解
问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
知识梳理
1．排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照________________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2．根据排列的定义，两个排列相同的充要条件：(1)两个排列的元素______________；(2)元素的排列________也相同．
例1 (多选)下列问题是排列问题的是( )
A．北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)
B．选2个小组分别去植树和种菜
C．选10人组成一个学习小组
D．选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员
反思感悟 判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑
(1)“取”，检验取出的m个元素是否重复；
(2)“排”，检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是，交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．
跟踪训练1 下列问题是排列问题的是( )
A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法
B．10个人互相通信一次，共写了多少封信
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线
D．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种
二、排列数公式
问题2 怎样推导从n个不同的元素中取出m(m，n∈N*，m≤n)个元素的排列数A？
知识梳理
1.
排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有____________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数
排列数表示法 A
排列数公式 乘积式 A＝________________
阶乘式 A＝________________
备注 n，m∈N*，m≤n
2.全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列．
正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用________表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成____________．
规定：0！＝1.
例2 计算：
(1)；
(2)解方程：A＝140A.
反思感悟 排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算．
跟踪训练2 (1)不等式A<6A的解集为( )
A．[2,8] B．[2,6] C．(7,12) D．{8}
(2)计算：＝________.
三、排列数公式的简单应用
例3 用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
反思感悟 对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树状图法．对于情况较多的情形，可以先进行分类讨论再计算．
跟踪训练3 已知有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1名售票员，则可能的分配方法有( )
A．A种 B．A种
C．AA种 D．2A种
1．知识清单：
(1)排列、排列数的定义．
(2)排列的简单应用．
(3)排列数公式的应用．
2．方法归纳：树状图法．
3．常见误区：忽视A中“m，n∈N*”这个条件．
1．(多选)下列问题中是排列问题的是( )
A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组
B．从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动
C．从a，b，c，d中选出3个字母
D．从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数
2．A－A的值是( )
A．480 B．520
C．600 D．1 320
3．3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法种数为( )
A．3 B．24
C．34 D．43
4．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)
6.2.1 排 列 6.2.2 排列数
第1课时 排列与排列数
问题1 如图所示，共有6种不同的选法．
知识梳理
1．一定的顺序
2．(1) 完全相同 (2)顺序
例1 BD [三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格，不存在顺序问题，所以A选项不是排列问题；植树和种菜是不同的，存在顺序问题，所以B选项是排列问题；C选项中不存在顺序问题，所以不是排列问题；每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，所以D选项是排列问题．]
跟踪训练1 B [对于A,8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误；
对于B,10个人互相通信，涉及到顺序问题，是排列问题，B正确；
对于C,5个点中任取2点，不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误；
对于D,4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序，不是排列问题，D错误．]
问题2 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N*)个元素的排列，看成从n个不同的球中取出m个球，放入排好的m个盒子中，每个盒子里放一个球，我们根据分步乘法计数原理排列这些球：
第1步，从全体n个球中任选一个放入第1个盒子，有n种方法；
第2步，从剩下的(n－1)个球中任选一个放入第2个盒子，有(n－1)种方法；
第3步，从剩下的(n－2)个球中任选一个放入第3个盒子，有(n－2)种方法；
…
第m步，从剩下的[n－(m－1)]个球中任选一个放入第m个盒子，有[n－(m－1)]种方法，如表所示．
盒子 1 2 3 … m
方法数 n n－1 n－2 … n－(m－1)
因此，根据分步乘法计数原理，从n个不同的球中取出m个球的排列，共有n(n－1)(n－2)…[n－(m－1)]种方法．
知识梳理
1．不同排列 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
2．n！ A＝n!
例2 解 (1)＝
＝＝＝.
(2)因为
所以x≥3，x∈N*.
由A＝140A得
(2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)
＝140x(x－1)(x－2)．
化简得4x2－35x＋69＝0，
解得x1＝3，x2＝(舍去)．
所以原方程的解为x＝3.
跟踪训练2 (1)D [由A<6A，得<6×，
化简得x2－19x＋84<0，
解得7又
所以2由①②及x∈N*，得x＝8.]
(2)－
解析 ＝＝＝－＝－.
例3 解 方法一 分两步完成：
(1)从1到9这九个数中任选一个占据百位，有A种方法．
(2)从余下的9个数(包括数字0)中任选2个占据十位，个位，有A种方法．
由分步乘法计数原理可得，所求的三位数的个数为AA＝9×9×8＝648.
方法二 符合条件的三位数可以分三类：
(1)每一位数字都不是0的三位数有A个；
(2)个位数字是0的三位数有A个；
(3)十位数字是0的三位数有A个．
由分类加法计数原理可得，所求的三位数的个数为A＋A＋A＝648.
方法三 不考虑任何限制条件求出所有的三位数的个数，再减去不符合条件的三位数的个数，
即A－A＝648.
跟踪训练3 C [司机、售票员各有A种分配方法，由分步乘法计数原理知，共有AA种不同的分配方法．]
随堂演练
1．AD [由排列的定义知AD是排列问题．]
2．C [A＝12×11×10＝1 320，
A＝10×9×8＝720，
故A－A＝1 320－720＝600.]
3．B [3个学生在4本不同的参考书中各挑选一本，相当于从4个不同元素中选3个的排列，其选法种数为4×3×2＝24.]
4．36
解析 文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A＝12(种)方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36(种)选法．
