6.2.3 组 合 6.2.4 组合数
第1课时 组合与组合数
[学习目标]
1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.
2.掌握组合数公式及性质的应用，会用组合知识解决一些简单的组合问题．
一、组合概念的理解
知识梳理
组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素____________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
例1 (多选)下列四个问题中，属于组合问题的是( )
A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D．将3本相同的书分给10人中的3人，每人1本
反思感悟 判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．
跟踪训练1 判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？
(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；
(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生．
二、利用组合数公式化简、求值与证明
知识梳理
(1)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的______________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示．
(2)组合数公式：
C＝＝____________________或C＝________________(n，m∈N*，且m≤n)．
(3)规定：C＝1.
(4)性质1：C＝____________，
性质2：C＝C＋C.
例2 (1)C＋C等于( )
A．25 B．30 C．35 D．40
(2)(多选)对于m∈N*，n∈N*，m≤n，下列关于排列组合数的结论正确的是( )
A．C＝C＋C
B．C＝C
C．A＝CA
D．A＝(m＋1)A
反思感悟 (1)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件n≥m.求出方程或不等式的解后，要进行检验．
(2)合理选用组合数的两个性质C＝C，C＝C－C能起到简化运算的作用，需熟练掌握．
跟踪训练2 (1)(多选)下列等式正确的是( )
A．若C＝C，则n＝8
B．C＝C＋C
C．C＋C＋C＝7
D．7C－4C＝0
(2)计算：C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＝________.
三、组合数的简单应用
例3 从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛．
(1)如果4人中男生、女生各选2人，那么有多少种选法？
(2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？
(3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？
(4)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？
反思感悟 解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题．与两个基本原理的应用有关的问题，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．
跟踪训练3 一个口袋内装有7个白球和1个黑球．
(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
1．知识清单：
(1)组合与组合数的定义．
(2)组合数的计算与证明．
(3)组合数的简单应用．
2．方法归纳：公式法、间接法．
3．常见误区：分不清“排列”还是“组合”．
1．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( )
A．A种 B．C种
C．CA种 D．30种
2．若C＝36，则n的值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
3．学生可从本年级开设的6门选修课中任意选择3门，并从5种课外活动小组中选择2种，则不同的选法有( )
A．200种 B．400种
C．100种 D．300种
4．从10名大学毕业生中选3人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的选法种数为( )
A．28 B．49
C．56 D．85
6.2.3 组 合 6.2.4 组合数
第1课时 组合与组合数
知识梳理
作为一组
例1 CD [A，B与顺序有关，是排列问题，而C，D与顺序无关，是组合问题．]
跟踪训练1 解 (1)因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题．
(2)由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题．
(3)从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．
知识梳理
(1)所有不同组合的个数 C
(2) (4)C
例2 (1)B [C＋C＝＋＝10＋20＝30.]
(2)BC [对于A，C＋C＝＋＝＋ ＝＝C，A错误；
对于B，由组合数的性质知，C＝C成立，B正确；
对于C，因为C＝，因此A＝CA成立，C正确；
对于D，因为A＝(n＋1)n(n－1)·…(n－m＋1)，A＝m！，所以A≠(m＋1)A，D错误．]
跟踪训练2 (1)BCD [对于A，由C＝C，得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18，解得n＝2或n＝8(舍去)，A不正确；
对于B，由组合数的性质知B正确；
对于C，C＋C＋C＝1＋3＋3＝7，C正确；
对于D,7C－4C＝7×－4×＝140－140＝0，D正确．]
(2)490
解析 C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋C＋C＋C－5＝C－5
＝C－5＝－5＝490.
例3 解 (1)4人中男生和女生各选2人，共有C×C＝10×6＝60(种)选法．
(2)除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择，则男生中的甲和女生中的乙必须在内共有C＝21(种)选法．
(3)方法一 (直接法)男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，包含两种情况，第一种情况：甲和乙都在内，有C＝21(种)选法，第二种情况：甲、乙只有1人在内，有CC＝70(种)选法，则男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内共有21＋70＝91(种)选法．
方法二 (间接法)男生中的甲和女生中的乙不在内的情况，共有C＝35(种)选法，则可得男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内共有C－C＝126－35＝91(种)选法．
(4)方法一 (直接法)如果4人中必须既有男生又有女生，可以按含有女生的人数分成三类：1男3女；2男2女；3男1女．则4人中必须既有男生又有女生共有CC＋CC＋CC＝20＋60＋40＝120(种)选法．
方法二 (间接法)如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，再去掉只有男生和只有女生的情况，故共有C－C－C＝120(种)选法．
跟踪训练3 解 (1)从口袋内的8个球中取出3个球，
取法种数是C＝＝＝56.
(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C＝＝＝21.
(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C＝＝＝35.
随堂演练
1．B [三张票没区别，从10人中选3人即可，即C.]
2．C [∵C＝36，∴＝36，
即n2－n－72＝0，
∴(n－9)(n＋8)＝0.
∵n∈N*，∴n＝9.]
3．A [从6门选修课中任意选择3门有C种方法，从5种课外活动小组中选择2种有C种方法，由分步乘法计数原理得CC＝20×10＝200(种)，所以不同的选法有200种．]
4．B [依题意，满足条件的选法种数为CC＋CC＝49.]第2课时 排列、组合的综合应用
[学习目标]
1.掌握具有限制条件的排列、组合问题的解决方法.
2.理解排列、组合中的多面手问题、分组分配等问题．
一、有限制条件的排列、组合问题
例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选．
反思感悟 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类
(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．
(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
跟踪训练1 (1)某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：①任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；②任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天午餐不同的搭配方法共有( )
A．210种 B．420种
C．56种 D．22种
(2)甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法有( )
A．27种 B．18种
C．36种 D．48种
二、多面手问题
例2 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？
反思感悟 解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理．
跟踪训练2 某车间有11名工人，其中5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则共有多少种不同的选法？
三、分组、分配问题
角度1 不同元素分组、分配问题
例3 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每组2本(平均分组)；
(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；
(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)．
反思感悟 “分组”与“分配”问题的解法
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
角度2 相同元素分配问题
例4 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数．
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子．
反思感悟 相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此方法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法．可描述为(n－1)个空中插入(m－1)块隔板．
跟踪训练3 (1)某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传肾脏日的主题：“尽快行动，尽快预防”，则不同的分配方案有________种．(用数字作答)
(2)将12枝相同颜色的鲜花放入编号为1,2,3,4的花瓶中，要求每个花瓶中的鲜花的数量不小于其编号数，则不同的放法种数为________．
1．知识清单：
(1)有限制条件的排列、组合问题．
(2)多面手问题．
(3)分组、分配问题．
2．方法归纳：分类讨论、插空法、隔板法、均分法．
3．常见误区：分类不当；平均分组理解不到位．
1．登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是( )
A．30 B．60
C．120 D．240
2．空间中有10个点，无三点共线，其中有5个点在同一个平面内，其余点无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( )
A．205 B．110
C．204 D．200
3．某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在一层乘坐电梯上楼，其中恰有2人乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有________种．(用数字作答)
4．某校从8名教师中选派4名去某个偏远地区支教，其中甲和乙不能都去，则不同的选派方案共有________种．(用数字作答)
第2课时 排列、组合的综合应用
例1 解 (1)C－C＝825(种)．
(2)至多有2名女生当选含有三类：
有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选，
所以共有CC＋CC＋C＝966(种)选法．
(3)分两类：
第一类：女队长当选，有C＝495(种)选法；
第二类：女队长没当选，有CC＋CC＋CC＋C＝295(种)选法，
所以共有495＋295＝790(种)选法．
跟踪训练1 (1)A [由分类加法计数原理知，两类午餐的搭配方法之和即为所求，所以每天午餐的不同搭配方法共有CC＋CC＝210(种)．]
(2)A [当甲选生物，乙不选生物时，甲、乙的选法有CC＝9(种)；
当甲不选生物，乙随便选时，甲、乙的选法有CC＝18(种)，
则甲、乙总的选法共有9＋18＝27(种)．]
例2 解 由题意知，有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．
方法一 分两类．
第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法．此时共有6×3＝18(种)选法．
第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法．
所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)不同的选法．
方法二 设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语．
第一类：甲入选．
(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×2＝2(种)选法；
(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×6＝6(种)选法．
故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种)．
第二类：甲不入选，可分两步：
第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法．由分步乘法计数原理知，有6×2＝12(种)不同的选法．
综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法．
跟踪训练2 解 分三类：第一类，选出的4名钳工中无“多面手”，
此时选法有CC＝75(种)；
第二类，选出的4名钳工中有1名“多面手”，
此时选法为CCC＝100(种)；
第三类，选出的4名钳工中有2名“多面手”，
此时选法为CCC＝10(种)．
由分类加法计数原理得，共有75＋100＋10＝185(种)不同的选法．
例3 解 (1)每组2本，均分为3组的分组种数为＝＝15.
(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为CCC＝20×3＝60.
(3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为＝＝15.
例4 解 (1)先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有C＝10(种)放法．
(2)恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有C种选法，第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，由分步乘法计数原理得，共有C·C＝40(种)放法．
跟踪训练3 (1)90
解析 ·A＝90(种)．
(2)10
解析 先给每个花瓶放入数量与其编号数相同的鲜花，则还剩2枝鲜花．这2枝鲜花可以放在1个或2个花瓶中，
所以不同的放法共有C＋C＝10(种)．
随堂演练
1．B [先将4个熟悉道路的人平均分成两组，有种，再将余下的6人平均分成两组，有种，然后这四个组自由搭配还有A种，故最终分配方法有＝60(种)．]
2．A [方法一 可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则可构成四面体的个数为CC＋CC＋CC＋CC＝205.
方法二 从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C－C＝205.]
3．36
解析 由题意得，不同的乘坐方式有CCA＝36(种)．
4．55
解析 由于“甲和乙不能都去”，故要分三类完成：
第一类，甲去乙不去，有C种选派方案；
第二类，乙去甲不去，有C种选派方案；
第三类，甲、乙都不去，有C种选派方案．
故共有C＋C＋C＝55(种)不同的选派方案．
