第2课时 计数原理的综合应用
[学习目标]
1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别.
2.会正确应用这两个计数原理计数．
一、组数问题
例1 用0,1,2,3,4五个数字．
(1)可以排出多少个不同的三位数字的密码？
(2)可以排成多少个不同的三位数？
(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
延伸探究 由本例中的五个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数？
反思感悟 常见的组数问题及解题原则
(1)常见的组数问题：奇数、偶数、整除数、各数位上的和或数字间满足某种特殊关系等．
(2)常用的解题原则：首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及其以上的数首位数字不能是0、被3整除的数各数位上的数字之和能被3整除等；最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数．
跟踪训练1 (1)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )
A．24 B．18 C．12 D．6
(2)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A．243 B．252
C．261 D．279
二、抽取与分配问题
例2 (1)高三年级的四个班到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )
A．360种 B．420种
C．369种 D．396种
(2)甲、乙、丙三人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数为________．
反思感悟 抽取与分配问题的常见类型及其解法
(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．
(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：
①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行．
②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．
跟踪训练2 (1)有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是( )
A．11 B．10 C．9 D．8
(2)从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙2名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有( )
A．280种 B．240种
C．180种 D．96种
三、涂色与种植问题
例3 (1)如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有( )
A．24种 B．48种
C．72种 D．96种
(2)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在三块不同土质的土地上，其中黄瓜必须种植，则有______种不同的种植方法．
反思感悟 涂色与种植问题的四个解答策略
(1)按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算．
(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算．
(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题．
(4)对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准．
跟踪训练3 (1)如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为________．
(2)如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种(以数字作答)．
1．知识清单：
(1)两个计数原理的区别与联系．
(2)两个计数原理的应用：组数问题、抽取与分配问题、涂色与种植问题．
2．方法归纳：分类讨论、正难则反．
3．常见误区：分类标准不明确，会出现重复或遗漏问题．
1．某乒乓球队里有6名男队员，5名女队员，从中选取男、女队员各1名组成混合双打队，则不同的组队方法的种数为( )
A．11 B．30 C．56 D．65
2．由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为( )
A．15 B．12 C．10 D．5
3．甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有( )
A．4种 B．5种
C．6种 D．12种
4.如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种．
第2课时 计数原理的综合应用
例1 解 (1)三位数字的密码，首位可以是0，数字也可以重复，
每个位置都有5种排法，故共可排成
5×5×5＝125(个)不同的三位数字的密码．
(2)三位数的百位不能为0，但可以有重复数字，
首先考虑百位的排法，除0外共有4种排法，十位、个位都可以排0，有5种排法，
因此，共可排成4×5×5＝100(个)不同的三位数．
(3)能被2整除的数即偶数，个位数字可取0,2,4，
因此，可以分两类，一类是个位数字为0，则有4×3＝12(种)排法；
一类是个位数字不为0，则个位有2种排法，即2或4，再排百位，因0不能在百位，故有
3种排法，十位有3种排法，
则有2×3×3＝18(种)排法．
故共有12＋18＝30(种)排法，
即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．
延伸探究 解 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1,3中任取一个，有2种取法；第二步定首位，把1,2,3,4中除去用过的一个数，在剩下的3个数中任取一个，有3种取法；第三步、第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位，有3种排法，再排十位，有2种排法．由分步乘法计数原理知，共能组成2×3×3×2＝36(个)无重复数字的四位奇数．
跟踪训练1 (1)B [由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种“奇偶奇”的情况，个位有3种情况，十位有2种情况，百位有2种情况，共12种；如果是第二种“偶奇奇”的情况，个位有3种情况，十位有2种情况，百位不能是0，只有一种情况，共6种，因此总共有12＋6＝18(个)奇数．]
(2)B [0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，
∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．]
例2 (1)C [方法一 (直接法)
以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为四类：
第一类，四个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；
第二类，有三个班级去甲工厂，剩下的一个班级去另外四个工厂，其分配方案共有4×4＝16(种)；
第三类，有两个班级去甲工厂，另外两个班级去其他四个工厂，其分配方案共有6×4×4＝96(种)；
第四类，有一个班级去甲工厂，其他三个班级去另外四个工厂，其分配方案有4×4×4×4＝256(种)．
综上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(种)．
方法二 (间接法)
先计算四个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即5×5×5×5－4×4×4×4＝369(种)方案．]
(2)2
解析 不妨由甲先来取，共2种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，余下来的人，都只有了一种选择，所以不同取法共有
2×1×1＝2(种)．
跟踪训练2 (1)C [方法一 设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，由分类加法计数原理知共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．
方法二 让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的
3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，根据分步乘法计数原理知，共有3×3×1×1＝9(种)不同的安排方法．]
(2)B [由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4种选法．后面三项工作的选法有5×4×3种，因此共有4×5×4×3＝240(种)选派方案．]
例3 (1)B [按A→B→C→D的涂色顺序分四步：涂A部分时，有4种涂法；涂B部分时，有3种涂法；涂C部分时，有2种涂法；涂D部分时，有2种涂法．
由分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有4×3×2×2＝48(种)．]
(2)18
解析 方法一 (直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6(种)不同的种植方法．
同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2＝6(种)不同的种植方法．
故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．
方法二 (间接法)从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，共有4×3×2＝24(种)不同的种植方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)不同的种植方法，故共有24－6＝18(种)不同的种植方法．
跟踪训练3 (1)420
解析 按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类：
第一类，A，C同色，则有5×4×3×1×3＝180(种)不同的染色方法；
第二类，A，C不同色，则有5×4×3×2×2＝240(种)不同的染色方法．
根据分类加法计数原理，共有180＋240＝420(种)不同的染色方法．
(2)72
解析 ①当使用4种颜色时，先着色区域1，有4种方法，剩下3种颜色涂其他4个区域，即有1种颜色涂相对的2块区域，有3×2×2＝12(种)，由分步乘法计数原理得，有4×12＝48(种)不同的着色方法．
②当使用3种颜色时，从4种颜色中选取3种，有4种方法，先着色区域1，有3种方法，剩下2种颜色涂4个区域，只能是一种颜色涂第2,4区域，另一种颜色涂第3,5区域，有2种着色方法．由分步乘法计数原理得有4×3×2＝24(种)不同的着色方法．
综上，共有48＋24＝72(种)不同的着色方法．
随堂演练
1．B [先选1名男队员，有6种方法，再选1名女队员，有5种方法，故共有6×5＝30(种)不同的组队方法．]
2．D [分三类，第一类组成一位整数，偶数有1个；第二类组成两位整数，其中偶数有
2个；第三类组成三位整数，其中偶数有2个．由分类加法计数原理知共有偶数5个．]
3．C [若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有3＋3＝6(种)不同的传法．]
4．72
解析 先涂A的话，有4种选择，若选择了一种，则B有3种，而为了让C与AB都不一样，则C有2种，再涂D的话，只要与C涂不一样的就可以，也就是D有3种，所以一共有4×3×2×3＝72(种)．6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第1课时 计数原理及其简单应用
[学习目标]
1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.
2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．
一、分类加法计数原理
问题1 某全国人大代表明天要从济南前往北京参加会议，他有两类快捷途径可供选择：一是乘飞机，二是乘高铁，假如这天飞机有3个航班可乘，高铁有4个班次可乘．那么该代表从济南到北京共有多少种快捷途径可选呢？
知识梳理
分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有____________种不同的方法．
例1 (1)设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有( )
A．6个 B．8个
C．12个 D．16个
(2)某校高三共有三个班，各班人数如表．
男生人数 女生人数 总人数
高三(1)班 30 20 50
高三(2)班 30 30 60
高三(3)班 35 20 55
①从三个班中选1名学生担任学生会主席，不同的选法有________种；
②从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，不同的选法有________种．
延伸探究 本例(1)条件不变，结论变为“则方程－＝1表示焦点位于x轴上的双曲线”有( )
A．6个 B．8个 C．12个 D．16个
反思感悟 (1)分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类，要做到分类“不重不漏”．
(2)利用分类加法计数原理计数时的解题流程．
跟踪训练1 (1)算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘(如图1)，共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1(如图2中算盘表示整数51)．如果拨动图1算盘中的两枚算珠，可以表示不同整数的个数为( )
A．8 B．10 C．15 D．16
(2)如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y<7，则满足条件的不同的有序自然数对有( )
A．4个 B．5个
C．12个 D．15个
二、分步乘法计数原理
问题2 用前6个大写英文字母和1～9这9个阿拉伯数字，以A1，A2，…，A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
知识梳理
分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有______________种不同的方法．
例2 某大学食堂备有6种素菜、5种荤菜、3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为( )
A．30 B．14 C．33 D．90
反思感悟 利用分步乘法计数原理解题的注意点及解题思路
(1)应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．
(2)利用分步乘法计数原理解题的一般思路
①分步：将完成这件事的过程分成若干步；
②计数：求出每一步中的方法数；
③结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．
跟踪训练2 (1)4名同学报名参加跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，则不同的报名方法有( )
A．43种 B．34种
C．7种 D．12种
(2)从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成的不同的二次函数共______个，其中不同的偶函数共______个．(用数字作答)
三、两个原理的简单应用
例3 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．
(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
反思感悟 (1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么．选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏．
(2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．
跟踪训练3 集合A＝{1,2，－3}，B＝{－1，－2，3,4}，从A，B中各取1个元素，作为点P(x，y)的坐标．
(1)可以得到多少个不同的点？
(2)这些点中，位于第一象限的有几个？
1．知识清单：
(1)分类加法计数原理．
(2)分步乘法计数原理．
2．方法归纳：分类讨论．
3．常见误区：“分类”与“分步”不清，导致计数错误．
1．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为( )
A．3 B．9
C．24 D．以上都不对
2．现有3名老师、6名男同学和4名女同学共13人．若需1名老师和1名学生参加评选会议，则不同的选法种数为( )
A．30 B．18
C．12 D．13
3．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中1本，则购买方式共有( )
A．3种 B．6种
C．7种 D．9种
4．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的1个讲座，不同选法的种数是( )
A．56 B．65
C．30 D．11
第1课时 计数原理及其简单应用
问题1 该代表共有3＋4＝7(种)快捷途径可选．
知识梳理
N＝m＋n
例1 (1)A [因为椭圆的焦点位于x轴上，所以m>n.
当m＝4时，n＝1,2,3；当m＝3时，n＝1,2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个)．]
(2)①165 ②80
解析 ①从三个班中选1名学生担任学生会主席，共有3类不同的方案：
第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；
第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；
第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生担任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法．
②从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：
第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法．
延伸探究 D [因为双曲线的焦点在x轴上，所以m＞0，n＞0，当m＝1时，n＝1,2,3,4；当m＝2时，n＝1,2,3,4；当m＝3时，n＝1,2,3,4；当m＝4时，n＝1,2,3,4，即所求的双曲线共有4＋4＋4＋4＝16(个)．]
跟踪训练1 (1)A [拨动图1算盘中的两枚算珠，有两类方法，
由于拨动一枚算珠有梁上、梁下之分，则只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法，在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法，
由分类加法计数原理得共有8种方法，
所以表示不同整数的个数为8.]
(2)D [当x＝1时，y＝0,1,2,3,4,5，共有6种可能；当x＝2时，y＝0,1,2,3,4，共有5种可能；
当x＝3时，y＝0,1,2,3，共有4种可能，利用分类加法计数原理，得共有6＋5＋4＝15(种)可能，故满足条件的不同的有序自然数对有15个．]
问题2 编写一个号码要先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字，由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6×9＝54(个)不同的号码．
知识梳理
N＝m×n
例2 D [因为备有6种素菜，5种荤菜，3种汤，
第1步，素菜有6种选法；
第2步，荤菜有5种选法；
第3步，汤有3种选法，
所以要配成一荤一素一汤的套餐，可
以配成不同套餐的种数为
6×5×3＝90.]
跟踪训练2 (1)B [要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，四人都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝34(种)报名方法．]
(2)18 6
解析 一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有不同的二次函数3×3×2＝18(个)．
若二次函数为偶函数，则b＝0.a的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有不同的偶函数3×2＝6(个)．
例3 解 (1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法．
(2)分为三步：第1步，从国画中选1幅，有5种选法；第2步，从油画中选1幅，有2种选法；第3步，从水彩画中选1幅，有7种选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法．
(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，有5×2＝10(种)不同的选法；
第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，
有5×7＝35(种)不同的选法；
第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，
有2×7＝14(种)不同的选法．
所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法．
跟踪训练3 解 (1)可分为两类：A中元素为x，B中元素为y或A中元素为y，B中元素为x，则共得到3×4＋4×3＝24(个)不同的点．
(2)第一象限内的点，即x，y均为正数，所以只能取A，B中的正数，共有2×2＋2×2＝8(个)不同的点．
随堂演练
1．B [根据分类加法计数原理可得，一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为3＋4＋2＝9.]
2．A [先从3名老师中任选1名，有3种选法，再从10名学生中任选1名，有10种选法．由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为3×10＝30.]
3．C [分3类：买1本书，买2本书和买3本书．各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．]
4．A [第一名同学有5种选择方法，第二名也有5种选择方法，…，依次，第六名同学有5种选择方法，综上，根据分步乘法计数原理，6名同学共有56种不同的选法．]
