6.3.2 二项式系数的性质
第1课时 二项式系数的性质
[学习目标]
1.理解二项式系数的性质并灵活运用.
2.掌握“赋值法”并会灵活应用．
一、二项式系数的性质
知识梳理
1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数________，即C＝C.
2．增减性与最大值：
(1)若n为奇数，当k≤时，C C，此时递增，当k≥时，C C，此时递减；若n为偶数，当k≤时，C C，此时递增；当k≥时，C C，此时递减．
(2)当n是偶数时，中间的一项________取得最大值；
当n是奇数时，中间的两项__________与________相等，且同时取得最大值．
例1 已知在(x－2)n(n∈N*)的展开式中，第2项与第8项的二项式系数相等．
(1)求n的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项．
反思感悟 通过二项式系数的性质，利用对称性二项式系数相等；利用对(a＋b)n的n的值进行讨论，求解二项式系数最大问题．
跟踪训练1 (1)已知(a＋b)2n的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则(2x－1)n的展开式中x3的系数为( )
A．80 B．40
C．－40 D．－80
(2)如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于( )
A．20 B．21 C．22 D．23
二、各二项式系数的和
问题 在二项展开式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn中，令a＝b＝1，可得到什么结论？令a＝1，b＝－1，可得到什么结论？
知识梳理
1．C＋C＋…＋C＝________.
2．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝________.
例2 (1)8的展开式中所有二项式系数的和是________；展开式中所有偶数项的二项式系数和是________．(用数字作答)
(2)已知(x－my)n的展开式中二项式系数之和为64，x3y3的系数为－160，则实数m＝________.
反思感悟 (a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为2n.
跟踪训练2 已知(1＋2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A．512 B．210
C．211 D．212
三、二项展开式的各项系数的和
例3 若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.
反思感悟 求展开式的各项系数之和常用赋值法
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
跟踪训练3 设(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023(x∈R)．
(1)求a0的值；
(2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 023的值；
(3)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 023的值．
1．知识清单：
(1)二项式系数的性质．
(2)各二项式系数的和．
(3)二项展开式的各项系数的和．
2．方法归纳：赋值法．
3．常见误区：系数与二项式系数的区别，中间项的个数，含绝对值的系数．
1．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( )
A．第15项 B．第16项
C．第17项 D．第18项
2.11的展开式中二项式系数最大的项是( )
A．第3项 B．第6项
C．第6,7项 D．第5,7项
3．若n的展开式中所有二项式系数的和为64，则展开式中的常数项是( )
A．240 B．－240
C．160 D．－160
4．若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，则a0＋a1＋a2＋…＋a6的值为________．
6.3.2 二项式系数的性质
第1课时 二项式系数的性质
知识梳理
1．相等
2．(1)< > < > (2)
例1 解 (1)依题意得，C＝C，解得n＝8.
(2)因为n＝8，展开式中共有9项，根据二项式系数的性质，可得第5项的二项式系数最大，于是展开式中二项式系数最大的项为Cx4(－2)4＝1 120x4.
跟踪训练1 (1)A [由题意C＝C，所以3＋7＝2n，解得n＝5，
则(2x－1)5的展开式的通项为
Tk＋1＝C(2x)5－k(－1)k
＝(－1)k25－kCx5－k，
由5－k＝3，得k＝2，所以x3的系数为(－1)2×C×23＝80.]
(2)C [由a＝7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为11＋5，即16，所以b＝6＋16＝22.]
问题 C＋C＋C＋…＋C＝2n；
C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
知识梳理
1．2n 2.2n－1
例2 (1)256 128
解析 8的展开式中所有二项式系数的和是28＝256，展开式中所有偶数项的二项式系数和是27＝128.
(2)2
解析 由题意得，2n＝64，解得n＝6，而(x－my)6的通项公式为Cx6－k(－my)k，0≤k≤6，k∈N，所以x3y3的系数为C(－m)3＝－160，解得m＝2.
跟踪训练2 A [∵(1＋2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，
∴C＝C，解得n＝10，各二项式系数之和为210，
∵奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数的和相等，
∴(1＋2x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210＝29＝512.]
例3 解 (1)令x＝0，得a0＝－1.
令x＝1，
得a0＋a1＋…＋a7＝27＝128，①
∴a1＋a2＋…＋a7＝129.
(2)令x＝－1，则a0－a1＋…＋a6－a7＝(－4)7，②
由①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，
∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256.
(3)∵Tk＋1＝C(3x)7－k(－1)k，
∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|
＝－a0＋a1－a2＋a3－…－a6＋a7＝47＝16 384.
跟踪训练3 解 (1)在(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023中，令x＝0，得1＝a0，∴a0＝1.
(2)令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 023，
∴a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝－2.
(3)分别令x＝－1，x＝1，
得
②－①，得－1－32 023＝2(a1＋a3＋…＋a2 023)．
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 023
＝.
随堂演练
1．B [第6项的二项式系数为C，又C＝C，所以第16项符合条件．]
2．C [11的展开式中第＋1项和＋1项，即第6,7项的二项式系数相等，且最大．]
3．A [由二项式系数的性质可知，二项式系数和为2n＝64，所以n＝6，6的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)6－kk
＝(－1)kC26－kx6－3k，令6－3k＝0，则k＝2，则常数项为T3＝(－1)2C24＝240.]
4．129
解析 令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27＝128，
又(2－x)7＝[3－(x＋1)]7，
则a7(1＋x)7＝C·30·[－(x＋1)]7，
解得a7＝－1.
故a0＋a1＋a2＋…＋a6＝128－a7＝128＋1＝129.第2课时 二项式定理的综合应用
[学习目标]
1.熟练掌握二项式定理.
2.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题.
3.掌握二项展开式中系数最大(小)问题.
4.能利用二项式定理解决整除(余数)问题．
一、两个二项式积与三项展开式问题
例1 (1)已知(2x－a)6的展开式中x2的系数为－240，则该二项展开式中的常数项为________．
(2)5的展开式中的常数项是________．
反思感悟 求解两个二项式积的问题时，分别对每个二项展开式进行分析，找到构成展开式中特定项的组成部分，分别求解再相乘，求和即得；求解三项展开式时，应根据式子的特点，转化为二项式(或二项式积)来解决．
跟踪训练1 (1)若5的展开式中各项系数的和为2，则a＝________，该展开式中的常数项为________．
(2)在(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________．
二、整除和余数问题
例2 (1)今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期( )
A．一 B．二 C．三 D．四
(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．
反思感悟 (1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了．
(2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．
跟踪训练2 (1)1.026的近似值(精确到0.01)为________．
(2)设a∈Z，且0≤a<13，若512 023＋a能被13整除，则a＝________.
三、二项展开式中的系数最值问题
例3 (1)在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为( )
A．－126
B．－70
C．－56
D．－28
(2)6的展开式中二项式系数最大的项为第____________项，系数最大的项为________．
反思感悟 求解二项展开式中系数的最值策略
(1)求二项式系数的最大值，依据(a＋b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解．
(2)求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组
即得结果．
跟踪训练3 (多选)已知n的二项展开式中二项式系数之和为64，下列结论正确的是( )
A．二项展开式中各项系数之和为36
B．二项展开式中二项式系数最大的项为
C．二项展开式中无常数项
D．二项展开式中系数最大的项为90x3
1．知识清单：
(1)两个二项式积与三项展开式问题．
(2)整除和余数问题．
(3)二项展开式中的系数最值问题．
2．方法归纳：分类讨论、方程思想等．
3．常见误区：分类不当，重复或遗漏．
1．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )
A．30 B．20 C．15 D．10
2．9192被100除所得的余数为( )
A．1 B．81 C．－81 D．992
3．(x＋y＋3)5展开式中不含y的各项系数之和为( )
A．25
B．35
C．45
D．(x＋3)5
4．在5的展开式中，x3的系数等于－5，则该展开式各项的系数中最大值为________．
第2课时 二项式定理的综合应用
例1 (1)－640
解析 6的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx6－kk
＝C2kx6－2k(k＝0,1,2,3,4,5,6),
令6－2k＝1，得k＝(舍去)；
令6－2k＝2，得k＝2.
故(2x－a)6的展开式中x2的系数为
－aC22＝－240，解得a＝4.
令6－2k＝－1，得k＝(舍去)；
令6－2k＝0，得k＝3.
故(2x－4)6的展开式中的常数项为－4C×23＝－640.
(2)
解析 方法一 原式＝5，
∴展开式的通项为(k1＝0,1,2，…，5)．
当k1＝5时，T6＝()5＝4，
当0≤k1<5时，的展开式的通项为
＝(k2＝0,1,2，…，5－k1)．
令5－k1－2k2＝0，即k1＋2k2＝5.
∵0≤k1<5且k1∈Z，
∴或
∴常数项为4＋CC×2×＋CC××()3＝4＋＋20＝.
方法二 原式＝5＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10.
求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5项的系数，即C()5.
∴所求的常数项为＝.
跟踪训练1 (1)1 40
解析 令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1，
故5的展开式中的常数项即为5的展开式中与x的系数之和．
5的展开式的通项为
Tk＋1＝(－1)k25－kCx5－2k，
令5－2k＝1，得k＝2，
∴展开式中x的系数为
C×25－2×(－1)2＝80.
令5－2k＝－1，得k＝3，
∴展开式中的系数为
C×25－3×(－1)3＝－40，
∴5的展开式中的常数项为80－40＝40.
(2)30
解析 方法一 (x2＋x＋y)5
＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C(x2＋x)3y2，
而(x2＋x)3中含x5的项为
Cx4x＝Cx5，
所以x5y2的系数为CC＝30.
方法二 (x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可得含x5y2的项，所以x5y2的系数为CCC＝30.
例2 (1)A [求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数．
因为810＝(7＋1)10＝710＋C×79＋…＋C×7＋1＝7M＋1(M∈N*)，所以第810天相当于第1天，故为星期一．]
(2)证明 32n＋2－8n－9
＝(8＋1)n＋1－8n－9
＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋C8＋C－8n－9
＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋8(n＋1)＋1－8n－9
＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82.
上式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除．
跟踪训练2 (1)1.13
解析 由二项式定理得，1.026＝(1＋0.02)6＝1＋C×0.02＋C×0.022＋C×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13.
(2)1
解析 因为512 023＋a＝(52－1)2 023＋a＝C522 023－C522 022＋C522 021－…＋C×521－1＋a能被13整除，故－1＋a能被13整除，又0≤a<13，故a＝1.
例3 (1)C [因为只有第5项的二项式系数最大，所以n＝8，8的展开式的通项为
Tk＋1＝(－1)kC(k＝0,1,2，…，8)，
所以展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为(－1)3C＝－56.]
(2)4 240x－8y2
解析 因为6的展开式中二项式系数的最大值为C，所以二项式系数最大的项为第4项．
因为6的展开式的通项为
Tk＋1＝Cy6－kk
＝C(－2)kx－2ky6－k，所以展开式中系数最大的项为奇数项．
方法一 设第r＋1项的系数最大，则
因为r∈Z,2≤r≤4，且r为偶数，
所以r＝4，
则T5＝C·(－2)4x－8y2
＝240x－8y2，
所以展开式中系数最大的项为240x－8y2，
方法二 展开式中第1,3,5,7项的系数分别为C·(－2)0，C·(－2)2，C·(－2)4，C·(－2)6，即1,60,240,64，所以展开式中系数最大的项为240x－8y2.
跟踪训练3 AB [因为n的二项展开式中二项式系数之和为64，所以2n＝64，得n＝6，
二项式6的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)6－kk＝，
对于A，令x＝1，可得二项展开式中各项系数之和为36，所以选项A正确；
对于B，第4项的二项式系数最大，此时k＝3，则二项展开式中二项式系数最大的项为T4＝，所以选项B正确；
对于C，令6－k＝0，得k＝4，所以二项展开式中的常数项为＝60，所以选项C错误；
对于D，令第k＋1项的系数最大，则解得≤k≤，
因为k∈N*，所以当k＝2时，二项展开式中系数最大，则二项展开式中系数最大的项为
T3＝C24x3＝240x3，所以选项D错误．]
随堂演练
1．C [因为(1＋x)6的展开式的通项为Tk＋1＝Cxk，所以x(1＋x)6的展开式中含x3的项为Cx3＝15x3，所以含x3项的系数为15.]
2．B [9192＝(90＋1)92＝C×9092＋C×9091＋…＋C×902＋C×90＋C.
前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得的余数为81.
故9192被100除所得的余数为81.]
3．C [由(x＋y＋3)5＝[(x＋3)＋y]5，则展开式的通项为
Tk＋1＝C(x＋3)5－kyk，
当k＝0时，不含y的项，
T1＝C(x＋3)5＝(x＋3)5，
令x＝1，可得不含y的各项系数之和为45.]
4．10
解析 5的展开式的通项
Tk＋1＝Cx5－kk
＝(－a)kCx5－2k，
令5－2k＝3，得k＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1，
展开式中第2,4,6项的系数为负数，第1,3,5项的系数为正数，
故各项的系数中最大值为C＝10.
