第2课时 条件概率的性质及应用
[学习目标]
1.了解事件的独立性与条件概率的关系，掌握概率的乘法公式.
2.会求互斥事件的条件概率，理解条件概率的性质．
一、概率的乘法公式
问题1 三张奖券中只有一张能中奖，现分别由甲、乙两名同学有放回地抽取，事件A为“甲没有抽到中奖奖券”，事件B为“乙抽到中奖奖券”， 事件A的发生会不会影响事件B发生的概率？P(B|A)与P(B)有什么关系？
知识梳理
概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝____________.
例1 (1)某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________．
(2)一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次．求：
①第一次取得白球的概率；
②第一、第二次都取得白球的概率；
③第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．
反思感悟 应用乘法公式求概率的关注点
(1)功能：是一种计算“积事件”概率的方法，即当不容易直接计算P(AB)时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解．
(2)推广：设A，B，C为三个事件，且P(AB)>0，则有P(ABC)＝P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)·P(B|A)P(A)．
跟踪训练1 10个考签中有4个难签，2人参加抽签(不放回)，甲先，乙后，求：
(1)甲抽到难签的概率；
(2)甲、乙都抽到难签的概率；
(3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率．
二、互斥事件的条件概率
问题2 在必修第二册中，我们已经学习了概率的基本性质，基本性质包括什么？
知识梳理
条件概率的性质
设P(A)>0，则
(1)P(Ω|A)＝________.
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝________________.
(3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝____________.
例2 (1)某人一周晚上值班2次，在已知他周日晚上一定值班的条件下，他在周六晚上或周五晚上值班的概率为________．
(2)在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．
反思感悟 (1)利用加法公式可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“两个事件互斥”．
(2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．
跟踪训练2 抛掷两颗质地均匀的骰子各一次．
(1)两颗骰子向上的点数之和为7时，其中有一个的点数是2的概率是多少？
(2)两颗骰子向上的点数不相同时，向上的点数之和为4或6的概率是多少？
1．知识清单：
(1)概率的乘法公式．
(2)互斥事件的条件概率．
2．方法归纳：公式法、正难则反．
3．常见误区：判断两个事件是否是互斥事件．
1．已知事件A，B相互独立，P(A)＝0.8，P(B)＝0.3，则P(A|B)等于( )
A．0.24 B．0.8 C．0.3 D．0.16
2．某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为( )
A．0.02 B．0.08
C．0.18 D．0.72
3．若B，C是互斥事件且P(B|A)＝，P(C|A)＝，则P(B∪C|A)等于( )
A. B. C. D.
4．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为________．
第2课时 条件概率的性质及应用
问题1 不会，事件A与事件B是相互独立事件；有放回地抽取奖券时，乙也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此P(B|A)＝P(B)．
知识梳理
P(A)P(B|A)
例1 (1)0.4
解析 由题意，记“射中第一个目标”为事件A，
“射中第二个目标”为事件B，
则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5，
∴P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.8×0.5＝0.4.
即这个选手过关的概率为0.4.
(2)解 设A＝“第一次取得白球”，B＝“第二次取得白球”，则＝“第一次取得黑球”，由题意，得
①P(A)＝＝.
②P(AB)＝P(A)P(B|A)
＝×＝.
③P(B)＝P()P(B|)
＝×＝.
跟踪训练1 解 记事件A，B分别表示甲、乙抽到难签，则
(1)P(A)＝＝.
(2)P(AB)＝P(A)P(B|A)
＝×＝.
(3)P(B)＝P()P(B|)
＝×＝.
问题2 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为 A Ω，所以0≤P(A)≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
知识梳理
(1)1 (2)P(B|A)＋P(C|A)
(3)1－P(B|A)
例2 (1)
解析 设事件A为“周日晚上值班”，事件B为“周五晚上值班”，事件C为“周六晚上值班”，
则P(A)＝，P(AB)＝，
P(AC)＝，
所以P(B|A)＝＝，
P(C|A)＝＝，
故他在周六晚上或周五晚上值班的概率为P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝.
(2)解 方法一 设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，则P(A)＝，
P(AB)＝＝，
P(AC)＝＝.
∴P(B|A)＝＝＝，
P(C|A)＝＝＝.
∴P(B∪C|A)
＝P(B|A)＋P(C|A)
＝＋＝.
∴所求概率为.
方法二 ∵n(A)＝1×C＝9，
n(B∪C|A)＝C＋C＝5，
∴P(B∪C|A)＝＝.
∴所求概率为.
跟踪训练2 解 (1)记事件A表示“两颗骰子中，向上的点数有一个是2”，事件B表示“两颗骰子向上的点数之和为7”，则事件AB表示“向上的点数之和为7，其中有一个的点数是2”，则P(B)＝＝，
P(AB)＝＝，
所以P(A|B)＝＝.
(2)记事件Mi表示“两颗骰子向上的点数之和为i”，则事件“向上的点数之和为4或6”可表示为M＝M4∪M6，其中事件M4与M6互斥，记事件N表示“两颗骰子向上的点数不相同”，则事件MiN表示“两颗骰子向上的点数不相同，且向上的点数之和为i”．
因为P(N)＝＝，
P(M4N)＝＝，
P(M6N)＝＝，
所以P(M|N)＝P(M4∪M6|N)＝P(M4|N)＋P(M6|N)
＝＋
＝＋＝.
随堂演练
1．B [因为事件A，B相互独立，所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以P(A|B)＝＝P(A)＝0.8.]
2．D [记“水稻种子发芽”为事件A，“发芽的种子成长为幼苗”为事件B，P(B|A)＝.
∴P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.9×0.8＝0.72.]
3．D [因为B，C是互斥事件，所以
P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.]
4.
解析 设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，
则D＝B∪C，且B与C互斥．
又P(A)＝＝，
P(AB)＝＝，
P(AC)＝＝，
故P(D|A)＝P(B∪C|A)
＝P(B|A)＋P(C|A)
＝＋
＝＝＋＝.第七章 随机变量及其分布
§7.1 条件概率与全概率公式
7.1.1 条件概率
第1课时 条件概率
[学习目标]
1.结合古典概型，了解条件概率的定义.
2.掌握条件概率的计算方法.
3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．
一、条件概率的理解
问题 抛掷一枚质地均匀的硬币两次．
(1)两次都是正面向上的概率是多少？
(2)如果已知有一次出现正面向上，两次都是正面向上的概率是多少？
(3)在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？
知识梳理
1．条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝______为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称____________．
2．计算公式：
(1)事件个数法：P(B|A)＝.
(2)定义法：P(B|A)＝.
例1 判断下列几种概率哪些是条件概率：
(1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，则该名女生是高一的概率．
(2)掷一枚骰子，求掷出的点数为3的概率．
(3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率．
反思感悟 判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的．
跟踪训练1 下面几种概率是条件概率的是( )
A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，各投篮一次都投中的概率
B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率
C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，则小明在一次上学中遇到红灯的概率
二、利用定义求条件概率
例2 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
延伸探究 本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率．
反思感悟 利用定义计算条件概率的步骤
(1)分别计算概率P(AB)和P(A)．
(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．
跟踪训练2 (1)根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.02.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为________．
(2)在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为________．
三、缩小样本空间求条件概率
例3 集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．
延伸探究 在本例条件下，求乙抽到偶数的概率．
反思感悟 利用缩小样本空间法求条件概率的方法
(1)缩：将原来的样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB.
(2)数：数出A中事件AB所包含的样本点．
(3)算：利用P(B|A)＝求得结果．
跟踪训练3 (1)在单词“warbarrier”中不放回地任取2个字母，则在第一次取到“a”的条件下，第二次取到“r”的概率为( )
A. B. C. D.
(2)袋中共有5个大小相同的球，其中红色球1个，蓝色球、黑色球各2个，某同学从中一次任取2个球，若取得的2个中有一个是蓝色球，则另一个是红色球或黑色球的概率为( )
A. B. C. D.
1．知识清单：
(1)条件概率的理解．
(2)利用定义求条件概率．
(3)缩小样本空间求条件概率．
2．方法归纳：定义法、缩小样本空间法．
3．常见误区：分不清在“谁的条件”下，求“谁的概率”．
1．把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M＝“两次所得点数均为奇数”，N＝“至少有一次点数是3”，则P(N|M)等于( )
A. B.
C. D.
2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A．0.8 B．0.75
C．0.6 D．0.45
3．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少有一个被选中的概率是( )
A. B.
C. D.
4．一个盒子内装有大小相同的3个红球，5个白球，从盒子中任取2个球，已知其中一个球是白球，另一个球也是白球的概率为________．
7.1.1 条件概率
第1课时 条件概率
问题 (1)两次抛掷硬币，试验结果的样本点组成样本空间Ω＝，其中两次都是正面向上的事件记为B，则B＝，故P(B)＝.
(2)将两次试验中有一次正面向上的事件记为A，则A＝，那么，在A发生的条件下，B发生的概率为.在事件A发生的条件下，事件B发生的概率产生了变化．
(3)将第一次出现正面向上的事件记为C，则C＝，那么，在C发生的条件下，B发生的概率为.在事件C发生的条件下，事件B发生的概率产生了变化．
知识梳理
1. 条件概率
例1 解 由条件概率定义可知(1)(3)是，(2)不是．
跟踪训练1 B [由条件概率的定义知B为条件概率．]
例2 解 设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的样本点数n(Ω)＝A＝30.
根据分步乘法计数原理，得n(A)＝AA＝20，
所以P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝12，
所以P(AB)＝＝＝.
(3)由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)＝＝＝.
延伸探究 解 设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到语言类节目”为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件AC.
P(A)＝，P(AC)＝＝，
∴P(C|A)＝＝.
跟踪训练2 (1)0.08
解析 设发生中度雾霾为事件A，刮四级以上大风为事件B，所以P(A)＝0.25，P(B)＝0.4，P(AB)＝0.02，P(B|A)＝＝＝0.08.
(2)
解析 设事件A＝“第1次抽到代数题”，事件B＝“第2次抽到几何题”，
则P(A)＝，P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
例3 解 将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个．在这15个样本点中，乙抽到的数比甲抽到的数大的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝＝.
延伸探究 解 在甲抽到奇数的样本点中，乙抽到偶数的样本点有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝＝.
跟踪训练3 (1)B [在第一次取到“a”的条件下，还剩余9个字母，其中“r”有4个，故所求概率为.]
(2)D [设1个红色球为a,2个蓝色球为b，c,2个黑色球为d，e，从中随机任取2个，事件“取得的2个中有一个是蓝色球”包含的样本点有(b，a)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，d)，(c，e)，共7个，
其中“另一个是红色球或黑色球”有6个，
所以所求概率为.]
随堂演练
1．B [事件M＝“两次所得点数均为奇数”，则事件M包含的样本点有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，故n(M)＝9；N＝“至少有一次点数是3”，则事件MN包含的样本点有(1,3)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,3)，
故n(MN)＝5，所以P(N|M)＝.]
2．A [设某天的空气质量为优良为事件A，随后一天的空气质量为优良为事件B，则P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6，所以P(B|A)＝＝＝0.8.]
3．D [男生甲被选中记作事件A，男生乙和女生丙至少有一个被选中记作事件B，
则P(A)＝＝，
P(AB)＝＝，
由条件概率公式可得
P(B|A)＝＝.]
4.
解析 取出2个球，记事件A＝“其中一个球是白球”，
则P(A)＝＝，
取出2个球，记事件B＝“另一个球也是白球”，
则P(AB)＝＝＝，
由条件概率公式得
P(B|A)＝＝＝，
所以已知其中一个球是白球，另一个球也是白球的概率为.
