7.2 离散型随机变量及其分布列 学案（ 含答案）-2024春高中数学选择性必修3（人教版）

7.2　离散型随机变量及其分布列
[学习目标]　
1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.
2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.
3.理解两点分布．
一、随机变量的概念及判定
问题1　(1)某人在射击训练中，射击一次命中的环数，能否用数值表示相应结果呢？
(2)篮球运动员每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结果可能是什么？
(3)掷一枚骰子，出现正面向上的点数共有几种不同的数字？能否用数值表示相应结果呢？
(4)抛掷一枚硬币，可能会出现哪几种结果？能否用数值来表示随机试验的结果呢？
知识梳理
1．随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有________的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.
2．离散型随机变量：可能取值为________或可以____________的随机变量，我们称之为离散型随机变量，通常用________________表示随机变量，例如X，Y，Z；用________________表示随机变量的取值，例如x，y，z.
例1　(1)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个球，可以作为随机变量的是(　　)
A．至少取到1个白球
B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数
D．取到的球的个数
(2)下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由．
①某机场一年中每天运送乘客的数量；
②某单位办公室一天中接到电话的次数；
③明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；
④一瓶果汁的容量为500±2 mL.
反思感悟　判断离散型随机变量的方法
(1)明确随机试验的所有可能结果．
(2)将随机试验的结果数量化．
(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
跟踪训练1　指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．
(1)从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；
(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
(3)某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度；
(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差．
二、离散型随机变量的分布列
问题2　在掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中，X表示向上的点数，X的取值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？
知识梳理
1．离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率______________________为X的概率分布列，简称分布列．
离散型随机变量的分布列也可以用表格表示：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
离散型随机变量的分布列的性质：
(1)________________；
(2)________________．
2．对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示．
X 0 1
P 1－p p
我们称X服从________分布或0－1分布．
例2　从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个自然数中，任取3个不同的数．设X为所取的3个数中奇数的个数，求随机变量X的分布列．
反思感悟　求离散型随机变量的分布列的关键
(1)随机变量的取值．
(2)每一个取值所对应的概率．
(3)用所有概率之和是否为1来检验．
跟踪训练2　某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列．
三、分布列的性质及应用
例3　设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P.
延伸探究　本例条件不变，求P.
反思感悟　分布列的性质及其应用
(1)验证分布列是否正确．
(2)求参数的值或取值范围．
(3)求随机变量在某个范围内取值的概率．
跟踪训练3　设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，求：
(1)P(X＝1或X＝2)；
(2)P.
1．知识清单：
(1)随机变量的概念及判定．
(2)离散型随机变量的概念．
(3)离散型随机变量分布列的概念及其性质．
(4)两点分布．
2．方法归纳：转化化归．
3．常见误区：随机变量的取值不明确导致分布列求解错误．
1．下列叙述中，X不可以做离散型随机变量的是(　　)
A．某座大桥一天经过的车辆数X
B．某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数X
C．一天之内的温度X
D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分
2．下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是(　　)
A.
X 0 1 2
P 0.7 0.15 0.15
B.
X －2 0 2 4
P 0.5 0.2 0.3 0
C.
X 1 2 3
P －
D.
X 1 2 3
P lg 1 lg 2 lg 5
3．某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则P(X＝1)等于(　　)
A．0 B.
C. D.
4．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量X，则P＝______.
7.2　离散型随机变量及其分布列
问题1　(1)射击一次，可能命中1环，命中2环，…，命中10环，可以用1,2，…，10来表示相应结果．
(2)投进零个球——0分，投进一个球——1分，投进两个球——2分，投进三个球——3分．
(3)共有6种，可以用1,2,3,4,5,6来表示相应结果．
(4)掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．可以用1表示正面向上，0表示反面向上．
知识梳理
1．唯一
2．有限个　一一列举　大写英文字母　小写英文字母
例1　(1)C　[根据离散型随机变量的定义可得，选项C是离散型随机变量，其结果可以一一列出，用随机变量X表示取到白球的个数，则X的可能取值为0,1,2.]
(2)解　①某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．
②某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．
③明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．
④由于果汁的容量在498 mL～502 mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量．
跟踪训练1　解　(1)是离散型随机变量．只要取出一张卡片，便有一个号码，因此被取出的卡片的号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．
(2)是离散型随机变量．从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．
(3)不是离散型随机变量．林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，故不是离散型随机变量．
(4)不是离散型随机变量．实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，故不是离散型随机变量．
问题2　列成表的形式
X 1 2 3 4 5 6
P
知识梳理
1．P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1
2．两点
例2　解　根据题意，X＝0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
跟踪训练2　解　将O，A，B，AB四种血型分别编号为1,2,3,4，则X的可能取值为1,2,3,4.
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
故X的分布列为
X 1 2 3 4
P
例3　解　由题意，得X的分布列为
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
(1)由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
解得a＝.
(2)方法一　P
＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝.
方法二　P
＝1－P
＝1－＝.
延伸探究　解　∵∴X＝，，.
∴P
＝P＋P
＋P＝＋＋＝.
跟踪训练3　解　(1)由题意知
P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，
∴＝1，∴a＝10，
∴P(X＝1或X＝2)＝＝.
(2)P
＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)
＝＝＝.
随堂演练
1．C　[A，B，D中的X的可能取值可以一一列举出来，而C中的X可以取某一区间内的一切值，属于连续型的．]
2．C　[C选项中，P(X＝1)<0不符合P(X＝xi)≥0的特点，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1的特点，所以C选项不是随机变量的分布列．]
3．D　[设失败率为p，则成功率为2p，分布列为
X 0 1
P p 2p
由p＋2p＝1，得p＝，
所以P(X＝1)＝2p＝.]
4.
解析　设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有个，总数为个．
∴X的分布列为
X 1 2 3
P
∴P＝P(X＝1)＝.